深度研讀教材，精準表達數學概念
——以“比”和“比例”的理解為例

江蘇省泰興師范附屬小學教育集團東陽分校 趙小進

當我們把課堂教學目標的實現更多地聚集于學的行為時，顯然，對教的行為提出了更為嚴苛的要求，學的自覺更多地要求教的主體性的自覺與自省，深度地學對深度地教提出了更高的要求。如何把更多的時間讓給學生自覺地思維與表達，是對教師綜合能力的挑戰。課堂教學中，師生協同、生生協同生長成為當下社會高度關注與研究的問題。協同學習的基本前提是教師與教材的協同，教師對教材的認知深度影響著教學目標的確定，影響著課堂中問題情境的創設。在實踐中，我們認為，鮮明的教學主題與清晰的數學言語，更能喚起學生學的激情和探究的欲望。

一、問題提出

教材是課堂中教師教學信息傳遞的重要來源，是“他者知識”和眾多學者專家智慧的結晶。研讀教材的深度是課堂教學質量高低的基本保證，讀細、讀活、讀透教材也是教師的基本功之一。

“雙周一研”是筆者所在學校教師專業成長的重要平臺之一，研討課之后的“教研沙龍”也是教研組思維碰撞的高光時刻。在一次研討活動中，六年級教研組對一位青年教師執教“圖形的放大與縮小”一課的現場進行了討論。一位教師對例題中的描述產生了疑問：“教材例題描述‘把左邊的三角形按比例縮小后得到右邊的三角形’，題中‘按比例縮小’是不是應為‘按比縮小’？類似地，是‘按比例分配’還是‘按比分配’？”

這一問題的提出，激起所有教師的熱烈討論。大家議論紛紛，各執一詞。一直以來，大家對“比”和“比例”這兩個概念的理解，都會聚焦于“比表示兩個數相除，是描述兩個量之間的關系”和“比例是等式”的概念描述，于是自然地會產生這樣的疑問：“難道‘比’和‘比例’在另一個語境中會有同樣的意義嗎？”在討論之后，筆者把教師們的想法歸納為兩類：一類認為教材中既然有了“按比例分配”這樣的表達，就說明“比”和“比例”這兩個概念在特定的認知階段（小學階段）或特定的語境中是可以理解為相通的；另一類認為數學概念雖然有數學表達和生活表達兩種不同的形式，“比”和“比例”這兩個概念有聯系但是具有不同的內涵，不可混為一談。為此，筆者進行了相關資料的查閱學習。

二、資料查閱

為了對“比”和“比例”這兩個數學概念有更清晰的認識，筆者對不同版本教材的相關內容進行了整理、比較。（見表1）

從表1中所羅列的關于“比”和“比例”這兩個概念的描述中，我們可以看出，不同版本教材中關于“比”和“比例”這兩個概念的定義是一致的，都表述為“兩個數的比表示兩個數相除”和“表示兩個比相等的式子叫作比例”。但在仔細解讀不同版本教材的內容時，我們發現蘇教版教材六年級上、下冊都出現了“按比例分配”的表述，而另外兩種版本的教材均未出現“按比例分配”的相關表述。

與蘇教版小學數學教材配套的六年級上冊《教師教學用書》中指出“按比例分配的實際問題”教學要求，在教材說明板塊指出“這部分內容主要教學應用比的意義和基本性質解答有關按比例分配的實際問題”。筆者認為，教師們對“比”還是“比例”的問題討論，根源可能就在這里了。而問題產生的情境就是在蘇教版數學六年級下冊教材中，“圖形的放大和縮小”一節中出現了兩段表述：“放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是2 ：1，就是把原來的長方形按2 ：1的比放大”“把左邊的三角形按比例縮小后得到右邊的三角形”。同一知識點有兩種不同的表述，我們可能會理解為，這兩句表述似乎表明“比”和“比例”是同一個概念，是不是這樣的呢？

筆者在閱讀其余兩個版本教材的相關內容時，均未發現有類似于“按比例分配”的表述。

關于“比”，史寧中教授在《小學數學教科書中的比及其教學》一文中進行了深度研究和具體描述，他指出，教學“比”這一概念時，要結合具體情境、舉例說明，舉出的例子要明確針對的是表達的比，還是度量的比，論證了比的本質是兩個數量倍數關系的表達與度量。史寧中教授還指出了“比”與“比例”的關系：用兩個比相等的式子來表示比例，蘊含了兩個變量倍數關系的不變性。小學階段學習“比”和“比例”，一是為了日常生活的需要，二是為學生今后學習函數做鋪墊。因此，這些內容的教學應該讓學生感悟變量，以及變量之間的關系。

潘小福老師認為，學生在學習中，容易出現比的數學化表達與生活化理解的辨別問題，即數學中的比與生活中的比的認識盲區。此時，教師需要借助具體實例來豐富其概念。

這樣看來，“比”和“比例”作為數學概念有本質區別，且與生活有著緊密的聯系。數學語言是有生活表達和數學表達兩個層面的含義的，那么，“比”和“比例”在生活中是否有相似的意義呢？“按比分配”與“按比例分配”是否有其數學表達意義的一致性？

新課標對“比”和“比例”有這樣的表述：在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。由此，筆者以為教材中關于“按比例分配”的說法是有依據的。

數學語言作為數學思維的最佳載體，其特點是準確、嚴密、簡明。因此，數學概念的教與學就成了數學課堂教學的難點之一。教材借助于數學語言以文字、符號和圖形等多元形式呈現給師生，數學語言高度的抽象性、嚴密的邏輯性又會與小學生的認知現實產生不可避免的“碰撞”。那么，一線教師如何解釋這些“碰撞現象”，或如何科學地利用這些“碰撞”，就顯得尤為重要了。

三、解讀感悟

教師與教材的協同，是課堂教學質量的重要保證。

教材內容是課堂教學設計的重要依據之一，教材內容的表達對教師的課堂問題的提出及問題的解決都具有指導性意義。教材也是一線教師組織教學活動的重要依據，數學概念的表述應保持穩定性和一致性，以盡量排除師生理解概念時的干擾。特別在小學階段，學生的思維特點是從具象思維走向形象思維，在這一發展過程中，理解概念離不開具體的情境，也離不開對具有科學性的數學語言的理解依賴。事實上，學生對概念抽象的理解一定是建立在更多的具體情境之上的。基于前文的分析與考量，筆者認為，如果把“按比例分配”這一說法修改為“按比分配”可能更為貼切。原因有二，其一，學生學習“比”這一概念時，要避免具有相同意義的“比例”一詞對學習產生干擾，在學習“比例”之前，可以統一用“比”這個概念來進行表述。作為常識的補充，因為生活中“比”和“比例”有時是同義的，教師可以列舉生活中的例子作一個說明，如引導學生認識足球比賽中的“比”一樣，比的含義不僅有表示兩個數的相除關系，還有兩個數量多少關系的表達。其二，嚴格意義上的數學概念的表述在不同學段應保持一致性。作為相通意義的“比”和“比例”，并不是嚴格的數學語言，而是實際生活中的約定俗成。筆者以為，作為數學表達的“比”和“比例”在教材中應有嚴格的區分，在例題或習題的文字描述中應是清晰的。教師在組織教學過程中，也應對“比”和“比例”在部分語境中的相通意義有具體的說明。

課堂實踐證明，精準的數學語言表達會直接影響思維的質量。因此，作為教材，文本的描述應具有一致性和準確性；作為教師，研討教材應更為深刻，應具有刨根問底的精神；作為教學過程，具體有效的學習情境要能讓學生充分領悟生活與數學的關系。教師只有充分認識到教師與教材協同的意義，才能詮釋課堂教學中教與學的協同價值。