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基于范希爾理論促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

2024-01-31 11:41:19陳文健魏世瓊
福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年7期
關(guān)鍵詞:理論數(shù)學(xué)研究

陳文健 魏世瓊

1 前言

平行四邊形是一類特殊的四邊形,它是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一,它除了具有一般四邊形所有的性質(zhì)外,還具有一些特有性質(zhì),這些性質(zhì)為解決線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系、角的數(shù)量關(guān)系等問題提供了新的路徑.同時從一般的平行四邊形到特殊的平行四邊形,研究的思路和流程一脈相承,這利于發(fā)展學(xué)生自主探究的能力,培養(yǎng)直觀想象、符號意識、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].因此,本課內(nèi)容綜合了平行線、全等三角形等知識,同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形等知識的基礎(chǔ),起著承上啟下的作用.范希爾理論被廣泛應(yīng)用于幾何教學(xué),對培育學(xué)生的幾何思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的理論價值和應(yīng)用價值.筆者基于范希爾理論,以人教版(2012年版)八年級下冊第18章第1節(jié)“平行四邊形的性質(zhì)”為例,探討如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2 范希爾幾何理論的簡述

20世紀(jì)50年代,范希爾夫婦在荷蘭一所中學(xué)任教時發(fā)現(xiàn)幾何教學(xué)存在普遍問題,其中最突出的是數(shù)學(xué)教材中的問題或作業(yè)所需要的專業(yè)知識往往超出了學(xué)生的幾何思維水平.后受皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論的影響,他們經(jīng)過長期研究提出了幾何思維水平5階段理論.其后,歐美學(xué)者也開始研究范希爾理論,并擴(kuò)展了范希爾理論.從20世紀(jì)80年代開始,范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注,并成為幾何教學(xué)的熱點話題[2].

2.1 范希爾幾何思維水平

范希爾將兒童幾何思維分為5個水平,分別為:水平0—視覺,處于該水平的學(xué)生通過外形來辨別圖形,形成視覺表象,不能從圖形特征出發(fā)分析圖形;水平1—分析,處于該水平的學(xué)生可以通過度量等方法探索幾何對象的性質(zhì),但不能描述性質(zhì)間的聯(lián)系;水平2—非形式化演繹,處于該水平的學(xué)生可以形成抽象的定義并描述性質(zhì)間的聯(lián)系,可以用定義和性質(zhì)作非形式化的論證,但還不理解邏輯演繹是證明結(jié)論正確性的必由路徑;水平3—形式演繹,處于該水平的學(xué)生可以從已知條件出發(fā),采用邏輯推理的方式證明定理,在公理體系中建立定理網(wǎng)絡(luò);水平4—嚴(yán)密性,處于該水平的學(xué)生能在不同的公理體系下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理[2].

2.2 范希爾幾何教學(xué)階段

范希爾認(rèn)為學(xué)生幾何思維從一個水平過渡到下一個水平的過程離不開教師的教學(xué)指導(dǎo),他們在幾何思維五水平的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出了五個教學(xué)階段,即學(xué)前咨詢、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合,用于指導(dǎo)教師教學(xué)[2].

3 學(xué)生掌握平行四邊形的性質(zhì)所需的階段及教學(xué)設(shè)計

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,初中階段圖形與幾何的教學(xué)要注重對圖形概念的理解,以及在此基礎(chǔ)上對圖形性質(zhì)的理解,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3].學(xué)生認(rèn)識事物需要經(jīng)歷由近及遠(yuǎn)、由已知到未知、由淺入深、從一般到特殊的層層遞進(jìn)的過程,范希爾幾何理論認(rèn)為學(xué)生的幾何思維發(fā)展是循序漸進(jìn)的,該理論為設(shè)計逐層漸進(jìn)的教學(xué)活動提供了理論框架.筆者以該理論為指導(dǎo),以人教版“平行四邊形的性質(zhì)”一節(jié)為主題,設(shè)計了包括5個階段的教學(xué)活動.

階段1 直觀感知——明確研究對象

應(yīng)用多媒體展示一組生活中的圖片,例如建筑圖、風(fēng)箏、剪紙、人字梯、柵欄、地磚、停車位等,將這些圖片的輪廓描繪出來,隱去圖片,留下一組數(shù)學(xué)意義上的四邊形.

問題1 你認(rèn)為圖中的四邊形有哪幾類?你是如何進(jìn)行分類的?

學(xué)生能夠根據(jù)四邊形對邊位置關(guān)系將四邊形分為以下三類:第一類兩組對邊都不平行的四邊形,即一般四邊形;第二類是只有一組對邊平行的四邊形,即梯形;第三類是兩組對邊都平行的四邊形,即平行四邊形.

設(shè)計意圖展示生活中的圖片,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,拉近學(xué)生與研究內(nèi)容的距離,激起研究興趣.經(jīng)歷四邊形分類的過程可以培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和抽象思維,這符合課標(biāo)要求,通過分類順勢引出本課的研究對象——平行四邊形.

階段2 類比三角形——明確研究框架及流程

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧以往學(xué)習(xí)三角形的研究內(nèi)容以及每一個研究內(nèi)容是從哪些角度來開展研究的,學(xué)生思考、討論、作答,教師對學(xué)生的回答加以評述并補(bǔ)充完善,共同完成研究三角形的研究框架和流程,如圖1.

與生活的密切聯(lián)系,拉近學(xué)生與研究內(nèi)容的距離,激起研究興趣.經(jīng)歷四邊形分類的過程可以培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和抽象思維,這符合課標(biāo)要求,通過分類順勢引出本課的研究對象——平行四邊形.

階段2 類比三角形——明確研究框架及流程

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧以往學(xué)習(xí)三角形的研究內(nèi)容以及每一個研究內(nèi)容是從哪些角度來開展研究的,學(xué)生思考、討論、作答,教師對學(xué)生的回答加以評述并補(bǔ)充完善,共同完成研究三角形的研究框架和流程,如圖1.

階段3 明晰概念,實踐操作,提出猜想

(教師給每個學(xué)生發(fā)一個平行四邊形紙片,同一個小組的紙片相同,不同小組的紙片不同)

問題3根據(jù)剛才的討論,我們知道研究幾何圖形需從概念入手,你能給平行四邊形下個定義嗎?

(結(jié)合圖3,學(xué)生回答,教師整理)①平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②平行四邊形的表示方法:平行四邊形ABCD表示為一ABCD ; ③平行四邊形的組成元素:平行四邊形ABCD有四條邊(AB.BC,CD,AD )、四個角(∠A∠B∠C∠D∠),AC,BD是一ABCD的對角線,AC.BD交于一點(部分學(xué)生對對角線的認(rèn)識不夠清晰,教師要做好必要的解釋和說明).

設(shè)計意圖在前兩個階段的基礎(chǔ)上,對平行四邊形再認(rèn)識,明晰概念,為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問題4 學(xué)習(xí)平行四邊形概念后,接下來我們應(yīng)該研究什么?從哪些角度來進(jìn)行研究?

學(xué)生回答平行四邊形的性質(zhì),從邊、角、對角線來進(jìn)行研究.

設(shè)計意圖通過平行四邊形的思維導(dǎo)圖,學(xué)生自然過渡到下一步的研究內(nèi)容和研究角度.

問題5 由平行四邊形的定義我們可知其兩組對邊互相平行,除此之外,平行四邊形的邊、角還具有哪些特點?你能得出哪些猜想?

各小組學(xué)生通過平移、度量、剪拼等方式,發(fā)現(xiàn)平行四邊形的邊、角的其他特點,進(jìn)而提出猜想.

學(xué)生回答對角、對邊相等,對角線互相平分等.

設(shè)計意圖提出猜想是進(jìn)行演繹推理、形成性質(zhì)的前奏,給學(xué)生提供探究材料,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究,可以提升鍛煉學(xué)生的實踐能力和操作能力,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力. 階段4 演繹推理,驗證結(jié)論問題6 每個小組的平行四邊形各不相同,那猜想一定正確嗎?你能證明這些猜想嗎? 學(xué)生積極討論,尋找證明思路,找到不同的方法驗證猜想的正確性.例如驗證對角是否相等,有的學(xué)生根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明對角相等;有的學(xué)生受到剪拼法的啟發(fā),連結(jié)平行四邊形其中一條對角線,運用角邊角定理證明兩個三角形全等,即ABC AADC或AABD? ACDB,所以么A= Lc ,LB= LD,從而證明對角相等(圖4).驗證對角線是否互相平分,學(xué)生通過連結(jié)兩條對角線交于點o,得到四個三角形(AAOB,ABOC,ACOD,4DOA),運用角角邊或角邊角定理證明AAOB ACOD或ABOC? ADOA,所以O(shè)A= oc , OB=OD ,即對角線互相平分(圖5).

設(shè)計意圖 證明是探索平行四邊形性質(zhì)的必要步驟,在證明之前讓學(xué)生體會證明的必要性對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是十分重要的,通過合情推理得到的猜想是否正確,必須要經(jīng)過嚴(yán)格的演繹推理來加以證明.因此設(shè)計問題“猜想一定正確嗎”,目的是想了解學(xué)生是否認(rèn)識到證明的必要性,這可以加深學(xué)生對合情推理和演繹推理關(guān)系的理解.提問“你能用演繹推理的方法來證明這些猜想嗎”是想讓學(xué)生經(jīng)歷完整的證明過程.在證明過程中要求學(xué)生先獨立思考、再小組討論,鼓勵學(xué)生從多角度思考、采用多種方法進(jìn)行證明,一方面滲透了重要數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化,另一方面培養(yǎng)了邏輯推理能力,同時還有利于發(fā)展語言表達(dá)能力和團(tuán)隊協(xié)作能力. 階段5 內(nèi)化知識,體悟思想方法問題7 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?我們從哪些角度對這些內(nèi)容進(jìn)行探究?在探究過程中運用了哪些方法?體現(xiàn)了何種數(shù)學(xué)思想?同學(xué)們還有什么問題? 設(shè)計意圖教師發(fā)揮引學(xué)者的作用,鼓勵學(xué)生踴躍發(fā)言,總結(jié)本節(jié)知識點,并對學(xué)生的回答作全面評述,完善知識體系,幫助學(xué)生將本節(jié)所學(xué)的知識點納入已有的知識結(jié)構(gòu),建構(gòu)新的知識體系.體會類比學(xué)習(xí)法,反思探究學(xué)習(xí)過程,領(lǐng)悟“轉(zhuǎn)化”思想. 4 小結(jié) 學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律通常是由近及遠(yuǎn)、由已知到未知、由淺到深、從一般到特殊,范希爾理論很好地揭示了學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律,筆者認(rèn)為該理論對指導(dǎo)教學(xué)實踐具有重要價值.本文以范希爾理論為指導(dǎo),設(shè)計了包括“直觀感知——明確研究對象” “類比三角形——明確研究框架及流程”“明晰概念,實踐操作,提出猜想”“演繹推理,驗證結(jié)論”“內(nèi)化知識,體悟思想方法”5個階段的教學(xué)活動.基于此,教師在教學(xué)時應(yīng)堅持以學(xué)生為本的理念,給學(xué)生提供自主探究的空間,加強(qiáng)推理論證的訓(xùn)練和思想方法的滲透,促進(jìn)學(xué)生對知識的深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍.基于數(shù)學(xué)整體性的“四邊形”課程、教材及單元教學(xué)設(shè)計[J].?dāng)?shù)學(xué)通報,2020,59(6):4-9,36

[2]鮑建生,周超.?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海:上海教育出版社,2009

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)版社,2022

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