GeoGebra輔助下數學實驗課的教學實踐

葉婷

在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，明確定義了數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現．其中直觀想象是六大核心素養之一，要求學生通過高中數學課程的學習，提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力，增強幾何直觀和空間想象思考問題的能力．同時，課程標準提出了高中數學課程的四條主線，其中之一就是數學建模活動與探究活動．因此，在教學中借助GeoGebra軟件，適當開設數學實驗課，能幫助學生更好地構建形與數的關系，培養空間想象能力．

數學實驗課可以根據目的分成檢驗結論和探究問題兩種類型．對結論確定或容易直觀感知的問題，可以讓學生借助電子信息技術進行檢驗，加深對知識點的理解；而對難以想象、通過黑板不易呈現的空間問題，則需要教師對學生加以引導，設置遞進式的問題，逐步探究，以達到問題的解決，這個過程中信息技術的應用顯得尤為重要．在各種數學軟件中，GeoGebra軟件非常適合高中數學的課堂教學，也方便學生自主操作，激發學生學習興趣．

空間幾何中截面問題是一個教學難點，教師在黑板上畫出的圖形可視性不佳，直線與平面相互交錯，部分空間想象力較差的學生無法感知其中的點線面關系，GeoGebra軟件的輔助可以很好地解決這個問題．本文以高三“正方體的截面問題”微專題課的教學實踐為例，闡釋相關認識與做法．

1 GeoGebra輔助下檢驗結論

課前教師在學生使用的課堂教學平板上安裝GeoGebra軟件，并制作了正方體相關的課件．課堂上教師提出以下問題．

問題1 正方體的截面圖形按照邊數分類有哪幾種？

教師要求學生試著拖動正方體棱上的三個動點MNP，，，得到不同形狀的截面圖形（如圖1～4）．

在拖動過程中，學生通過觀察得出結論：截面的邊數與正方體表面的交線條數相對應，即正方體的截面圖形可以是三角形、四邊形、五邊形和六邊形．

問題2 截面圖形的邊之間有何關系？

學生通過直觀感知得出：當截面與正方體的兩平行平面相交時，交線互相平行（可利用平行平面的性質定理證明）；當截面與正方體兩相鄰平面均相交時，交線的交點必在正方體兩相鄰平面的公共棱上（可利用基本事實三加以證明）．

由上，教師可以引導學生歸納總結出幾何體截

面圖形的兩種最常見的畫法：

（1）平行線拓展平面法，即已知平面ABC與面α的公共點A，若//BC面α，則在面α內過A作BC的平行線AP，根據基本事實三及線面平行的性質定理，可證出AP即為面ABC和面α的交線（如圖5）；

（2）相交線拓展平面法，即當延長BC與面α相交于點P時，則AP為面ABC與面α的交線（如圖6）．

問題3 給出正方體1111ABCDABCD?棱上任意三點，如何作出截面圖形？

教師提議學生分組合作探究解決問題3，并給出一個研究方向的提示，即通過改變動點MNP，，位置進行分析，并要求學生畫出MNP，，三點在不同位置時相應的截面圖形．對此，學生在GeoGebra課件中，通過改變MNP，，三點的位置，合作討論，探究得出以下幾種情況．

（1）當三個點MNP，，所在的棱共頂點時（如圖7），此種類型最為簡單，截面圖形即為三角形MNP；

（2）MN，不動，它們所在棱共頂點，將點P移動至底面ABCD的棱上，此時有三種可能．

第一種可能（如圖8），點P在AD上，在面ABCD中過點P作//PQMN交棱CD于點Q．即可以利用平行線拓展平面法，得到與正方體的截面圖形PQNM．

第二種可能（如圖9），點P在AD上，在面ABCD中過點P作//PQMN交棱BC于點Q．利用相交線拓展平面法，延長MN與直線11BC分別交于E，連結QE交1CC于點R，則五邊形MNRQP即為截面圖形．

其中，學生按要求畫出MNP，，三點在不同位置時相應的截面圖形，這在教學中是一個難點．因為前面問題1、2的鋪墊，學生在GeoGebra軟件的

幫助下對正方體中的截面圖形已經有直觀的感受，對截面與正方體表面的交線之間的關系有了一定的認識，因此學生在作圖中可以運用平行線拓展平面或相交線拓展平面做出截面圖形．教師這時候應留足時間讓學生完成自己的探究．

問題4 歸納出過正方體棱上不共線的三點MNP，，作截面圖形的類型．

本問題目的是引導學生歸納出：只要MNP，，三點的連線中至少有一條在正方體表面上，就可以快速地利用上述兩種方法得出截面圖形．通過這一“直觀感知——歸納方法——實際應用——再次直觀感知——歸納檢驗結論”的過程，學生對截面問題的理解必定會有一個質的提升．

接下來，教師提出最后一個問題．

問題6 滿足問題5的條件且截面圖形為六邊形時，截面圖形的周長與面積是定值嗎？

這個問題從形轉到數，要求學生通過計算判斷結果．教師可以先讓學生思考并猜想結果，再由學生自己動手，借助GeoGebra中的計算功能，選定截面圖形，進行周長和面積的計算．那么在平面α移動的過程中，可以看到截面圖形為六邊形時，周長保持不變，而面積隨著平面α的移動而發生變化，并在截面圖形恰好為正六邊形時得到最大值（如圖16）．如果旋轉圖形后再平移點E，也可以從另一個視角觀察六邊形的變化（如圖17）．這一過程中，學生可以真實地感受到GeoGebra軟件呈現出的截面圖形的動態變化，這是黑板所不能達到的效果．最后讓學生通過嚴密的邏輯推理和計算來獲得結論．

在這節微專題的數學實驗課中，GeoGebra起到了至關重要的作用．首先，GeoGebra軟件操作簡便，學生可以在課堂上自主操作．同時教師通過課件既展示了直觀的空間感知、數與形之間的關系，還體現了數學的美，激發學生學習數學的興趣，讓學生對空間幾何體有更直觀的感受與理解，提升學生的空間想象力，獲得解決動態幾何問題的經驗．其次在探究的過程中，教師提出適當的問題引導學生，為學生探究思考留足時間．學生通過改變課件中的部分參量進行觀察、思考、研究，并猜想結論，再進行嚴格推理驗證猜想，逐步形成自身的認知方法．

GeoGebra軟件是傳統教學的有力支持．教師根據教學課程的特點適當借助GeoGebra軟件這一現代信息技術，幫助學生突破空間想象的限制，讓學生更好地理解數學，掌握數學知識的本質，提高學習的有效性．

參考文獻

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[3]劉亞利．正方體截面問題的幾何作圖法及案例分析——淺談《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“數學學科核心素養”如何落地數學課堂[J]．新課程（中學），2019（4）：58-59

（本文系福州市教育科學研究“十四五”規劃2021年度課題“基于核心素養的GeoGebra數學實驗教學的實踐研究”（項目編號：FZ2021GH019）的研究成果）