GeoGebra輔助下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)實(shí)踐

葉婷

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，明確定義了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)．其中直觀想象是六大核心素養(yǎng)之一，要求學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)幾何直觀和空間想象思考問題的能力．同時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)提出了高中數(shù)學(xué)課程的四條主線，其中之一就是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與探究活動(dòng)．因此，在教學(xué)中借助GeoGebra軟件，適當(dāng)開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，能幫助學(xué)生更好地構(gòu)建形與數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)空間想象能力．

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課可以根據(jù)目的分成檢驗(yàn)結(jié)論和探究問題兩種類型．對(duì)結(jié)論確定或容易直觀感知的問題，可以讓學(xué)生借助電子信息技術(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解；而對(duì)難以想象、通過黑板不易呈現(xiàn)的空間問題，則需要教師對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，設(shè)置遞進(jìn)式的問題，逐步探究，以達(dá)到問題的解決，這個(gè)過程中信息技術(shù)的應(yīng)用顯得尤為重要．在各種數(shù)學(xué)軟件中，GeoGebra軟件非常適合高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，也方便學(xué)生自主操作，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．

空間幾何中截面問題是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，教師在黑板上畫出的圖形可視性不佳，直線與平面相互交錯(cuò)，部分空間想象力較差的學(xué)生無法感知其中的點(diǎn)線面關(guān)系，GeoGebra軟件的輔助可以很好地解決這個(gè)問題．本文以高三“正方體的截面問題”微專題課的教學(xué)實(shí)踐為例，闡釋相關(guān)認(rèn)識(shí)與做法．

1 GeoGebra輔助下檢驗(yàn)結(jié)論

課前教師在學(xué)生使用的課堂教學(xué)平板上安裝GeoGebra軟件，并制作了正方體相關(guān)的課件．課堂上教師提出以下問題．

問題1 正方體的截面圖形按照邊數(shù)分類有哪幾種？

教師要求學(xué)生試著拖動(dòng)正方體棱上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)MNP，，，得到不同形狀的截面圖形（如圖1～4）．

在拖動(dòng)過程中，學(xué)生通過觀察得出結(jié)論：截面的邊數(shù)與正方體表面的交線條數(shù)相對(duì)應(yīng)，即正方體的截面圖形可以是三角形、四邊形、五邊形和六邊形．

問題2 截面圖形的邊之間有何關(guān)系？

學(xué)生通過直觀感知得出：當(dāng)截面與正方體的兩平行平面相交時(shí)，交線互相平行（可利用平行平面的性質(zhì)定理證明）；當(dāng)截面與正方體兩相鄰平面均相交時(shí)，交線的交點(diǎn)必在正方體兩相鄰平面的公共棱上（可利用基本事實(shí)三加以證明）．

由上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出幾何體截

面圖形的兩種最常見的畫法：

（1）平行線拓展平面法，即已知平面ABC與面α的公共點(diǎn)A，若//BC面α，則在面α內(nèi)過A作BC的平行線AP，根據(jù)基本事實(shí)三及線面平行的性質(zhì)定理，可證出AP即為面ABC和面α的交線（如圖5）；

（2）相交線拓展平面法，即當(dāng)延長BC與面α相交于點(diǎn)P時(shí)，則AP為面ABC與面α的交線（如圖6）．

問題3 給出正方體1111ABCDABCD?棱上任意三點(diǎn)，如何作出截面圖形？

教師提議學(xué)生分組合作探究解決問題3，并給出一個(gè)研究方向的提示，即通過改變動(dòng)點(diǎn)MNP，，位置進(jìn)行分析，并要求學(xué)生畫出MNP，，三點(diǎn)在不同位置時(shí)相應(yīng)的截面圖形．對(duì)此，學(xué)生在GeoGebra課件中，通過改變MNP，，三點(diǎn)的位置，合作討論，探究得出以下幾種情況．

（1）當(dāng)三個(gè)點(diǎn)MNP，，所在的棱共頂點(diǎn)時(shí)（如圖7），此種類型最為簡單，截面圖形即為三角形MNP；

（2）MN，不動(dòng)，它們所在棱共頂點(diǎn)，將點(diǎn)P移動(dòng)至底面ABCD的棱上，此時(shí)有三種可能．

第一種可能（如圖8），點(diǎn)P在AD上，在面ABCD中過點(diǎn)P作//PQMN交棱CD于點(diǎn)Q．即可以利用平行線拓展平面法，得到與正方體的截面圖形PQNM．

第二種可能（如圖9），點(diǎn)P在AD上，在面ABCD中過點(diǎn)P作//PQMN交棱BC于點(diǎn)Q．利用相交線拓展平面法，延長MN與直線11BC分別交于E，連結(jié)QE交1CC于點(diǎn)R，則五邊形MNRQP即為截面圖形．

其中，學(xué)生按要求畫出MNP，，三點(diǎn)在不同位置時(shí)相應(yīng)的截面圖形，這在教學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn)．因?yàn)榍懊鎲栴}1、2的鋪墊，學(xué)生在GeoGebra軟件的

幫助下對(duì)正方體中的截面圖形已經(jīng)有直觀的感受，對(duì)截面與正方體表面的交線之間的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)，因此學(xué)生在作圖中可以運(yùn)用平行線拓展平面或相交線拓展平面做出截面圖形．教師這時(shí)候應(yīng)留足時(shí)間讓學(xué)生完成自己的探究．

問題4 歸納出過正方體棱上不共線的三點(diǎn)MNP，，作截面圖形的類型．

本問題目的是引導(dǎo)學(xué)生歸納出：只要MNP，，三點(diǎn)的連線中至少有一條在正方體表面上，就可以快速地利用上述兩種方法得出截面圖形．通過這一“直觀感知——?dú)w納方法——實(shí)際應(yīng)用——再次直觀感知——?dú)w納檢驗(yàn)結(jié)論”的過程，學(xué)生對(duì)截面問題的理解必定會(huì)有一個(gè)質(zhì)的提升．

接下來，教師提出最后一個(gè)問題．

問題6 滿足問題5的條件且截面圖形為六邊形時(shí)，截面圖形的周長與面積是定值嗎？

這個(gè)問題從形轉(zhuǎn)到數(shù)，要求學(xué)生通過計(jì)算判斷結(jié)果．教師可以先讓學(xué)生思考并猜想結(jié)果，再由學(xué)生自己動(dòng)手，借助GeoGebra中的計(jì)算功能，選定截面圖形，進(jìn)行周長和面積的計(jì)算．那么在平面α移動(dòng)的過程中，可以看到截面圖形為六邊形時(shí)，周長保持不變，而面積隨著平面α的移動(dòng)而發(fā)生變化，并在截面圖形恰好為正六邊形時(shí)得到最大值（如圖16）．如果旋轉(zhuǎn)圖形后再平移點(diǎn)E，也可以從另一個(gè)視角觀察六邊形的變化（如圖17）．這一過程中，學(xué)生可以真實(shí)地感受到GeoGebra軟件呈現(xiàn)出的截面圖形的動(dòng)態(tài)變化，這是黑板所不能達(dá)到的效果．最后讓學(xué)生通過嚴(yán)密的邏輯推理和計(jì)算來獲得結(jié)論．

在這節(jié)微專題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，GeoGebra起到了至關(guān)重要的作用．首先，GeoGebra軟件操作簡便，學(xué)生可以在課堂上自主操作．同時(shí)教師通過課件既展示了直觀的空間感知、數(shù)與形之間的關(guān)系，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生對(duì)空間幾何體有更直觀的感受與理解，提升學(xué)生的空間想象力，獲得解決動(dòng)態(tài)幾何問題的經(jīng)驗(yàn)．其次在探究的過程中，教師提出適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生，為學(xué)生探究思考留足時(shí)間．學(xué)生通過改變課件中的部分參量進(jìn)行觀察、思考、研究，并猜想結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格推理驗(yàn)證猜想，逐步形成自身的認(rèn)知方法．

GeoGebra軟件是傳統(tǒng)教學(xué)的有力支持．教師根據(jù)教學(xué)課程的特點(diǎn)適當(dāng)借助GeoGebra軟件這一現(xiàn)代信息技術(shù)，幫助學(xué)生突破空間想象的限制，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提高學(xué)習(xí)的有效性．

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[3]劉亞利．正方體截面問題的幾何作圖法及案例分析——淺談《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”如何落地?cái)?shù)學(xué)課堂[J]．新課程（中學(xué)），2019（4）：58-59

（本文系福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于核心素養(yǎng)的GeoGebra數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FZ2021GH019）的研究成果）