在概念生成過(guò)程中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

潘艷梅

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與基礎(chǔ)．有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生在自主探究中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，理解概念的來(lái)龍去脈，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，不斷促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

二面角的平面角在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的內(nèi)容，也是一個(gè)較難突破的教學(xué)難點(diǎn)．在當(dāng)前的課堂上，我們經(jīng)常看到這樣一種現(xiàn)象：教師引領(lǐng)學(xué)生浮光掠影地掃過(guò)二面角的平面角概念，強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意點(diǎn)后，立即進(jìn)入運(yùn)用概念解題階段．這種概念教學(xué)讓位于習(xí)題教學(xué)的做法，忽視了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，回避了由具體到抽象、由感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，缺少學(xué)生自己的數(shù)學(xué)建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念一知半解，大多數(shù)學(xué)生只能機(jī)械記憶和模仿．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]．筆者在執(zhí)教二面角的平面角概念時(shí)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，經(jīng)歷觀察、操作實(shí)驗(yàn)、抽象概括、推理論證等必要的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，建構(gòu)二面角的平面角的概念，領(lǐng)悟化歸的數(shù)學(xué)思想，取得了較好的教學(xué)效果．下面筆者和各位同行分享“二面角的平面角”這一概念的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程和感悟．

2教學(xué)實(shí)錄

師：現(xiàn)在我把筆記本電腦慢慢打開(kāi)，請(qǐng)同學(xué)們觀察，隨著打開(kāi)的程度不同，筆記本電腦的鍵盤(pán)和顯示屏的相對(duì)位置在改變，你能把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化嗎？

設(shè)計(jì)意圖波利亞說(shuō)：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見(jiàn)、摸得著．”上課伊始教師的操作和提問(wèn)，意在為學(xué)生提供直觀具體的形象性材料，將新知識(shí)與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

生1：這個(gè)實(shí)際問(wèn)題相當(dāng)于二面角的一個(gè)面以二面角的棱為軸旋轉(zhuǎn)，二面角的大小在改變．

師：生1提出了“二面角的大小”的概念，二面角是空間角，如何度量它的大小呢？

生2：一時(shí)想不到辦法．

師：有什么經(jīng)驗(yàn)可以借鑒嗎？

生3：可以找一個(gè)平面角來(lái)度量二面角．

師：你是怎么想到的？

生3：因?yàn)榍懊嫖覀儗W(xué)習(xí)過(guò)異面直線所成角和斜線與平面所成角，這兩種空間角都是轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)度量的！

師（追問(wèn)）：具體來(lái)講，是如何轉(zhuǎn)化的？

生3：異面直線所成角是用兩條相交直線所成的銳角或直角來(lái)度量的，斜線與平面所成角是用斜線和它在平面上的射影所成的銳角來(lái)度量的．

師：生3類(lèi)比前面解決過(guò)的問(wèn)題及獲得的方法，將空間問(wèn)題平面化——降維，活學(xué)活用，值得稱(chēng)贊！那么，怎樣作出一個(gè)平面角來(lái)度量二面角呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)疑，產(chǎn)生問(wèn)題和認(rèn)知沖突，使學(xué)生陷入困惑之中，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和探索新知的積極性[2]．

師：請(qǐng)大家拿出你們的二面角模型，再加兩支筆，你能找到這個(gè)平面角嗎？（師生共同做實(shí)驗(yàn)，兩分鐘后請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)交流）

生4：我發(fā)現(xiàn)角的頂點(diǎn)及兩條邊都不固定，難以作出平面角來(lái)度量二面角．

生5：我在棱上取了一點(diǎn)0，將兩支筆當(dāng)作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個(gè)面上，這樣，角的頂點(diǎn)固定了，角的兩邊活動(dòng)范圍也相對(duì)固定，如圖1，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OA，OB繞著點(diǎn)О分別在它們所在半平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來(lái)度量二面角.

生5：我在棱上取了一點(diǎn)0，將兩支筆當(dāng)作角的兩邊OA，OB分別緊貼在二面角的兩個(gè)面上，這樣，角的頂點(diǎn)固定了，角的兩邊活動(dòng)范圍也相對(duì)固定，如圖1，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OA，OB繞著點(diǎn)О分別在它們所在半平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，LAOB就可以由0變化到180，這樣4OB的大小就不確定了，因此，不能用它來(lái)度量二面角.

面內(nèi)的所有直線所成角中的最小角．

師：說(shuō)得很好！事實(shí)上，除了這樣定義的角具有唯一性外，它還具有什么性質(zhì)？

生8：最值性（最小性）．

師：這就是數(shù)學(xué)所說(shuō)的“不變量”和“不變性”．

根據(jù)這兩點(diǎn)，讓我們繼續(xù)尋找平面角來(lái)度量二面角，請(qǐng)大家小組合作探究．（兩分鐘后匯報(bào)交流）

生（眾）：還是找不到這樣的最小角．

師：一步將二面角轉(zhuǎn)化為線線角，似乎走得太急，我們不妨先退一步，將它化為線面角，這樣做是否可以？如果可以，該怎樣選取這條直線和平面呢？[3]

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生根據(jù)“不變量”和“不變性”尋找平面角受阻的“憤、悱”之時(shí)，教師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生思考先退一步將二面角轉(zhuǎn)化為線面角，降低了問(wèn)題的難度，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情．

生9：我想這條直線應(yīng)選在二面角的其中一個(gè)面內(nèi)，然后考查這條直線與另一個(gè)半平面所成的角．

師（追問(wèn)）：這條直線與二面角的棱是什么位置關(guān)系？

生9：只能相交，不能平行或重合，否則，這條直線與另一個(gè)面所成的角就恒為0，就不能反映二面角大小了．

師：經(jīng)過(guò)我們的共同探究，我們發(fā)現(xiàn)與棱垂直的那條射線與另一個(gè)面所成的角是這無(wú)數(shù)個(gè)線面角中的最大角．

師：有資格做二面角的平面角嗎？∠AOBαβ??l

生（眾）：有．

師：請(qǐng)大家總結(jié)一下二面角的平面角有什么特征？

生14：有三個(gè)特征：（1）頂點(diǎn)在棱上；（2）兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)；（3）兩邊都與棱垂直．

師：誰(shuí)能總結(jié)一下二面角平面角的尋找過(guò)程？

生15：我們先將二面角轉(zhuǎn)化為線面角，然后繼續(xù)將線面角轉(zhuǎn)化為線線角．根據(jù)“唯一性”“最值性”，最終找到度量二面角的平面角，它的大小僅隨著兩個(gè)半平面的相對(duì)位置變化而變化． 設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)直覺(jué)是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直接洞察和感悟，具有創(chuàng)造性．教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，催發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)，將數(shù)學(xué)直覺(jué)與數(shù)學(xué)邏輯有機(jī)融合，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)得到有效培育． 師：二面角的平面角的大小與點(diǎn)o在棱上的位置有關(guān)系嗎？為什么？

生16：無(wú)關(guān)，用等角定理證明：在棱1上另任取點(diǎn)o'，按同樣方法作出LA'O'B'，如圖4，因?yàn)镺A，O'A'， OB，O'B'都垂直于棱1，所以O(shè)AI/o'A' ，OBIO'B'，且LAOB和LA'O'B'的兩邊分別平行且方向相同，根據(jù)等角定理，LAOB= LA'O'B'，即平面角大小與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)．

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)等角定理，進(jìn)一步體會(huì)平面角的唯一性，理解二面角平面角定義的合理性．

3教學(xué)感悟3.1教師要從“教教材”轉(zhuǎn)向“二次開(kāi)發(fā)教材” 教材是教師確定教學(xué)目標(biāo)、組織學(xué)習(xí)活動(dòng)、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的重要依據(jù)．課程改革對(duì)教師如何使用教材提出了新的更高的要求，即建議教師要從“教教材”轉(zhuǎn)向“二次開(kāi)發(fā)教材”．教材的二次開(kāi)發(fā)是對(duì)教材隱含的能夠促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的元素進(jìn)行重組、拓展、延伸，并加以經(jīng)驗(yàn)化和體驗(yàn)化的教學(xué)設(shè)計(jì)[4]． 數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)概念的確立，不是來(lái)自權(quán)威，而是來(lái)自實(shí)踐，出自合理，在此過(guò)程中，學(xué)生才能學(xué)會(huì)如何給數(shù)學(xué)概念下定義，學(xué)到研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想和方法，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．基于此，筆者在二次開(kāi)發(fā)教材的基礎(chǔ)上，將二面角平面角定義的合理性作為教學(xué)設(shè)計(jì)的首要考慮．

當(dāng)二面角為銳角時(shí)，把二面角的一個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線與另一個(gè)面所成的角定義為二面角的平面角，是基于以下命題的真實(shí)性：銳二面角的一個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線與另一個(gè)面所成的角，是銳二面角的一個(gè)面內(nèi)的所有直線與另一個(gè)面所成角中最大的角．因此，“把銳二面角的一個(gè)面內(nèi)所有直線與另一個(gè)面所成的最大角定義為二面角的平面角”等價(jià)于“以銳二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角”（課本的普遍定義）．事實(shí)上，基于這樣定義的角除了具有唯一性外，還具有最值性，這就是數(shù)學(xué)中所說(shuō)的“不變量”和“不變性”．本節(jié)課，筆者引導(dǎo)學(xué)生充分展開(kāi)討論，探究二面角的平面角定義的多種構(gòu)想，理解二面角的平面角的定義的唯一性和最值性，感受了立體幾何“轉(zhuǎn)化”“降維”思想，體會(huì)了立體幾何研究的一般思路和方法，有助于學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升． 3.2 在概念的生成過(guò)程中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)概念是不斷抽象的結(jié)果，其形成過(guò)程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的每一個(gè)要素，因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的突破口．教材上關(guān)于二面角平面角的內(nèi)容隱去了概念形成的思維過(guò)程，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)立足于教材，著眼于學(xué)生的發(fā)展，引領(lǐng)學(xué)生有效開(kāi)展概念建構(gòu)活動(dòng)． 本節(jié)課采用了啟發(fā)探究、實(shí)驗(yàn)和討論多元結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)“憤悱”的教學(xué)情境，形成認(rèn)知和情感的不平衡態(tài)勢(shì)，啟發(fā)質(zhì)疑，同時(shí)運(yùn)用類(lèi)比的方法鋪墊，通過(guò)問(wèn)題串和兩個(gè)主要探究活動(dòng)（二面角平面角的唯一性和最值性），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考、探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從感性到理性的過(guò)渡，從而完成二面角的平面角概念的建構(gòu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程．學(xué)生通過(guò)直覺(jué)思維和類(lèi)比的數(shù)學(xué)方法對(duì)二面角的平面角定義作出猜想，然后再加以論證．學(xué)生在親身經(jīng)歷概念的形成過(guò)程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法（類(lèi)比、化歸）的重要性，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)自然生成．

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]謝國(guó)生．二面角及其平面角．名師授課錄（中學(xué)數(shù)學(xué)高中版）[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]明強(qiáng)，方異平．掀起你的蓋頭來(lái)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（4）：16-18

[4]李冰雪．教材二次開(kāi)發(fā)的內(nèi)容向度及其實(shí)踐追求[J]．基礎(chǔ)教育課程，2021（19）：47-55