耐張型懸索支撐輸電結構風振非線性有限元分析

李正良, 王邦杰, 王 濤

(1. 重慶大學 土木工程學院,重慶 400045; 2. 重慶大學 風工程及風資源利用重慶市重點實驗室,重慶 400045; 3. 哈爾濱工業大學 交通科學與工程學院,哈爾濱 150040; 4. 哈爾濱工業大學 重慶研究院,重慶 401151)

作為電力能源基礎設施,高壓輸電塔-線體系[1]是電網中輸配電系統的重要組成部分。隨著電網建設的蓬勃發展,架設在山區地形中的輸電結構不斷增多[2]。然而,山區輸電線路走廊所需路徑愈發緊張,塔位選擇亦愈發困難。如輸電塔-線體系在廣西喀斯特地貌、新疆丹霞地貌等特殊、復雜山區地形走線時,塔位受地形地貌限制經常難以成立,以至于造成線路大范圍改線。

為此,電力行業在近年來開始探索適用于山區的新型輸電結構,耐張型懸索支撐輸電結構是其中一種新型架空輸電結構。該輸電結構主要由導線、地線、支撐導線懸索、支撐地線懸索、耐張絕緣子串和固定支架等組成,其工程效果圖和結構示意圖如圖1所示。其中,由高強度鋼絞線制成的懸索為主要承重結構,其通常固定在山體巖石中或剛性固定支架上;輸電線通過連接金具與懸索形成耦聯系統。

圖1 耐張型懸索支撐輸電結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the tension suspension-braced transmission structure

耐張型懸索支撐輸電結構中支撐懸索和輸電線均為大跨度、高柔空間懸索結構,其為典型的風敏感結構;另外,該結構具有變形大、應變小等力學特點,幾何非線性效應顯著。耐張型懸索支撐輸電結構與傳統輸電塔-線體系相比,既有相似特征,也有明顯的不同之處。相似之處在于該結構和輸電塔-線體系均具有高柔特征,均為風敏感結構。而不同之處在于該結構的輸電線與支撐懸索形成耦聯系統,其幾何非線性效應更加顯著。

針對輸電線[3-4]和輸電塔-線體系的風致非線性振動問題,學者們已開展了一系列的研究。馮珂等[5]建立了基于整體坐標系下三節點索單元的輸電導線非線性動力學分析模型,并采用Newmark-β法進行了下擊暴流作用下輸電導線風致響應分析,結果表明在下擊暴流風荷載作用下輸電導線的動力響應非常顯著;左太輝[6]采用ANSYS軟件中的Link8單元建立了導線-絕緣子串耦合體系有限元模型,針對兩跨導線結構體系在風荷載作用下的非線性響應開展了研究,建議增大導線設計風荷載;鄧洪洲等[7]通過非線性有限元分析方法建立了跨越輸電塔-線體系動力學模型,并選用Newmark-β法進行相應的時程分析,指出大跨越輸電塔-線體系風致非線性振動分析應考慮塔線耦合影響。整體而言,就輸電線和輸電塔-線體系的動力學分析模型及其風致非線性振動問題,學者們通過理論研究和數值模擬進行了較為細致的分析,亦取得了較為顯著的研究成果。然而,耐張型懸索支撐輸電結構的非線性動力學模型及風致振動分析鮮有文獻報道。

為此,本文基于三維桿單元建立了耐張型懸索支撐輸電結構有限元模型;然后形成了該結構非線性動力方程,并給出了結合Newton-Raphson法的Newmark-β法迭代求解過程;而后以兩跨耐張型懸索支撐輸電結構為例,進行了模態分析、位移時程分析,并分析了風速和風向角對結構響應的影響。

1 耐張型懸索支撐輸電結構簡化力學模型

1.1 結構參數及邊界條件

耐張型懸索支撐輸電結構簡化模型和結構參數,如圖2所示。ls為同一懸索兩側固定點的水平距離;lc為相鄰兩跨懸索的水平距離;hs為同一懸索兩側固定端的高差;hc為同一跨導線或者地線在相鄰懸索掛點位置之間的高差;hwg為支撐地線懸索端點與對應的支撐導線懸索端點之間的高差。

圖2 耐張型懸索支撐輸電結構簡化模型及結構參數Fig.2 Simplified model and structural parameters of the tension suspension-braced transmission structure

支撐懸索的端部與固定支架的連接點和輸電線與相應懸索在邊界處的連接點,連接方式均為鉸接。因此,耐張型懸索支撐輸電結構邊界處均可考慮為固定鉸支座。

1.2 結構初始形狀

為了建立考慮幾何非線性效應的耐張型懸索支撐輸電結構有限元模型,需要先獲得其在重力荷載作用下的初始位形和初始內力。對于耐張型懸索支撐輸電結構的支撐懸索和輸電線,其初始形狀可簡化為拋物線模型,建立該拋物線模型所需的函數表達式為

y=4xfm(1-x/l)/l

(1)

式中:y為計算點到起點的垂直距離;x為計算點到起點的水平距離;l為終點到起點的水平距離;fm為跨中弧垂,按式(2)計算

(2)

式中:q為支撐懸索或輸電線單位體積內的重力荷載;σ0為懸索水平應力;β為高差角,tanβ=h/l,其中h為hs或hc,l為相應的ls或lc。

1.3 結構受力特性

在耐張型懸索支撐輸電結構中,支撐懸索和輸電線主要承受張力作用,其次還會承受彎矩和扭矩作用。在不考慮扭轉的風振響應分析中,忽略其抗彎能力和抗扭能力是合理的[8]。因此,在耐張型懸索支撐輸電結構風致振動分析中,支撐懸索和輸電線主要考慮軸向抗拉能力。

2 耐張型懸索支撐輸電結構風振非線性有限元分析模型

2.1 支撐懸索和輸電線單元剛度矩陣

根據耐張型懸索支撐輸電結構的力學特點,其支撐懸索和輸電線風振屬于大變形小應變問題。結合該輸電結構受力特性,可采用考慮幾何非線性效應的三維桿單元建立如圖3所示的有限元模型。一般而言,單元剛度矩陣可通過局部坐標系和整體坐標系兩種方式進行建立。相較于局部坐標系下建立的剛度矩陣[9-10],整體坐標系下的單元剛度矩陣[11-15]可直接組集為體系剛度矩陣且有效避免坐標轉換處理,提高計算精度。對于整體坐標系下的三維桿單元,其剛度矩陣的推導方式大多為虛功原理和對桿端力求導。然而虛功原理需要進行多重積分,且其結果往往為隱式剛度矩陣,難以直接應用;桿端力求導則需要進行較為繁雜的向量運算。為此,本文通過三維桿單元應變能和其變形之間的關系簡化運算,在整體坐標系下推導三維桿單元顯式剛度矩陣。

圖3 簡化有限元模型及節點位移Fig.3 Simplified finite element model and node displacements

在圖3中,初始時刻(即C0狀態)的物理量為已知量,此時,整體坐標系下的單元兩端節點向量為

0ai={xiyizi}T,
0aj={xjyjzj}T

(3)

再利用矢量相減原理可得到整體坐標系下桿單元的單元向量

0ae=0aj-0ai={xj-xiyj-yizj-zi}T

(4)

經過t時間后,桿單元發生位移變形運動至C1狀態,在該時刻下,整體坐標系下的單元兩端節點位移向量為

ui={uiviwi}T,
uj={ujvjwj}T

(5)

由式(3)和式(5)可得整體坐標系下的單元兩端節點向量分別為

tai=0ai+ui,
taj=0aj+uj

(6)

因此,t時刻下桿單元的單元向量為

tae=0ae+uj-ui

(7)

根據節點位移向量,單元位移向量可表示為

ue={uiviwiujvjwj}T

(8)

利用式(8)可將式(7)進一步表示為

tae=0ae+[-I3×3I3×3]ue

(9)

式中,I3×3為3階單位矩陣。

C0狀態下桿單元無應變,其單元長度為

(10)

C1狀態下桿單元長度為

(11)

此時,桿單元的應變為

(12)

t時刻桿單元應變能tU可按式(13)計算

(13)

式中:σ(ε)為桿單元的應力,在線彈性范圍內,應力與應變的關系為σ(ε)=Eε,E為單元彈性模量;V為單元體積;當桿單元橫截面積為定值A時,式(13)可進一步表示為

(14)

整體坐標系下,t時刻單元切線剛度矩陣可利用海森矩陣計算得到

(15)

t時刻單元切線剛度矩陣最終結果為

(16)

因式(16)所示的單元切線剛度矩陣tKe在推導過程中僅引入了線彈性假定,而沒有引入小變形假定,其為任意位移下的精確切線剛度矩陣,故而其適用于任意大變形小應變的情況。

2.2 單元質量矩陣和阻尼矩陣

耐張型懸索支撐輸電結構有限元模型質量矩陣采用一致質量矩陣構建,其單元一致質量矩陣[16]為

(17)

式中:0l為單元初始長度;ρ為單元的質量密度。

利用Rayleigh阻尼構建單元阻尼矩陣

tCe=αvMe+βvtKe

(18)

式中,αv和βv為Rayleigh阻尼常數,分別按式(19)和式(20)計算

αv=2ξk1ωk1ωk2/(ωk1+ωk2)

(19)

(20)

式中:ωk1和ωk2分別為k1階和k2階模態的固有頻率;ξk1和ξk2分別為對應于k1階和k2階模態的阻尼比。懸索結構具有強幾何非線性,剛度矩陣tKe會不斷變化,可取βv=0,位移結果是偏安全的,此時,tCe不受結構位移變化的影響,即為Ce。

2.3 等效節點荷載向量

耐張型懸索支撐輸電結構所承受的主要荷載為重力荷載和風荷載。該輸電結構的靜力和動力位移以重力荷載平衡位置為基準,因此,在計算結構等效節點荷載向量時,重力荷載等效為基準位置的內部節點荷載向量。對于耐張型懸索支撐輸電結構有限元模型的桿單元,其單位長度上的風荷載按式(21)計算

(21)

式中:ρair為空氣密度;Vz為風速;CD為阻力系數;Am為桿單元單位長度上順風向投影面積,對于支撐懸索:Am=dcosθ,對于輸電線:Am=dsinθ,d為桿單元直徑,θ為風向角,如圖4所示。

圖4 風向角θ示意圖Fig.4 Schematic diagram of wind direction angle θ

Vz按式(22)計算

Vz=Vs(z)+V(t)

(22)

式中:Vs(z)為平均風速;V(t)為脈動風速。

脈動風速V(t)可采用諧波合成法[17]獲得。平均風速Vs(z)可根據指數律按式(23)計算

(23)

式中:V10為10 m高度處的參考平均風速;z為高度;α為地面粗糙度系數,由于耐張型懸索支撐輸電結構處于山地地形,其地面粗糙度類別可考慮為C類,根據GB 50009—2012《建筑結構荷載規范》[18],α取為0.22。

將單元上的風荷載轉換為單元等效節點荷載,即

(24)

式中,Fix為風荷載在i節點上X方向的等效節點荷載,其余以此類推。

2.4 非線性動力方程的建立

將耐張型懸索支撐輸電結構的各個單元的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和等效節點荷載向量分別進行組集,基于更新的Lagrange列式,在基準位置處建立結構非線性動力方程

(25)

當Δt足夠小時,結構在一個時間步內的位移增量很小,t+ΔtQ和tK可近似為如下線性關系

t+ΔtQ=tQ+tKu

(26)

式中:tQ為t時刻的內部節點荷載向量;tK為結構在t時刻的剛度矩陣;u為結構在Δt內的位移增量, 即u=t+Δtu-tu。

結合式(25)和式(26),可得位移增量形式的非線性動力方程

(27)

2.5 非線性動力方程的求解

本文采用Newmark-β法求解式(27)所示的非線性有限元方程。由于式(26)為線性近似結果,隨著時間步的增加,求解的位移增量會產生較大的誤差累積。因此,為了提高解的精度和避免數值不穩定性的累積,在每個時間步內,本文采用Newton-Raphson迭代法進行平衡迭代計算。求解過程歸納如下:

步驟1根據單元初始位形和應變計算各個單元特性矩陣0Ke,Me和Ce,再進行組集得到結構的特性矩陣0K,M和C。

式中:tQ(0)為第一次迭代前的內部節點荷載向量;t+Δtu(0)為第一次迭代前的位移,即tu。

求解t+Δt時刻第一次迭代后的位移增量u(1)

t+Δtu(1)=t+Δtu(0)+u(1)

并計算第二次迭代后的位移增量u(2)

3 算例分析

本文以如圖5所示的兩跨耐張型懸索支撐輸電結構為研究對象,進行模態分析和位移時程分析,并研究風速V10和風向角θ對結構風振響應的影響。兩跨耐張型懸索支撐輸電結構的結構參數分別為:ls=1 000 m,lc=800 m,hwg=20 m,hs=0和hc=0,支撐導線懸索的端點考慮為固定在300 m高處。本文分析所需的計算均在Intel i5-9400F CPU、32 GB RAM的計算機上進行。

圖5 兩跨耐張型懸索支撐輸電結構Fig.5 The two-span tension suspension-braced transmission structure

3.1 模態分析

通過本文模型,可計算該輸電結構的前五階固有頻率和前三階振型分別如表1和圖6所示。通過表1頻率分析結果可知,懸索支撐導線部分的前五階固有頻率分別為懸索支撐地線部分相應值的77.89%,78.65%,78.28%,78.30%和78.30%。懸索支撐導線部分的低階固有頻率比懸索支撐地線部分的低階固有頻率小。由圖6可得,第一階振型為反對稱豎彎,第二階振型為對稱側彎,第三階振型為反對稱側彎。

表1 結構前五階固有頻率Tab.1 First five orders natural frequency of the structure

圖6 本文模型(左)和ANSYS(右)求得的懸索支撐導線部分前三階振型Fig.6 First three orders mode of vibration of the suspension-braced conductor part obtained by the proposed model (left) and ANSYS (right)

為了驗證本文模型的正確性和計算精度,另外采用ANSYS進行模態分析,將兩者計算結果進行對比。在ANSYS模型中,支撐懸索和輸電線均采用Link180單元模擬,結構參數、邊界條件及其他參數均與本文模型一致。表1和圖6也分別給出ANSYS計算結果,可以發現,本文模型頻率結果相對誤差絕對值的最大值為0.001%,其精度較好,而振型結果亦基本準確。

3.2 位移時程分析

以風速V10=20 m/s和風向角θ=90°的工況為例,開展兩跨耐張型懸索支撐輸電結構的位移時程分析。通過本文模型可求得導線中點側向位移時程曲線和200 s時刻的結構變形分別如圖7和圖8所示,圖7中的側向位移時程結果平均值和最大值如表2所示。表2和圖7結果表明,輸電導線中點在該工況風荷載作用下產生的側向位移平均值為33.92 m,其最大值為48.49 m;該側向位移從最小值0到最大值48.49 m均有分布,變化幅度較大。由圖8可知,輸電線不僅側向位移較大,其豎向位移也較大。因此,可認為該輸電結構的輸電線位移響應受風荷載影響較顯著。

表2 本文模型和ANSYS得到的平均值和最大值Tab.2 Average and maximum values obtained by the proposed model and ANSYS

圖7 導線中點側向位移時程Fig.7 The lateral displacement time history of the conductor midpoint

圖8 200 s時刻的結構變形圖Fig.8 Structural deformation at 200 s

類似的,ANSYS計算結果亦被繪制在圖7和表2中,表3則給出了本文模型的計算效率。由圖7和表2可知,本文模型求得的側向位移時程結果平均值和最大值的相對誤差分別為-0.09%和-0.53%,其精度較高。同時,本文模型求得的側向位移時程曲線與ANSYS結果具有一致的趨勢,其吻合度較高。表3結果表明,ANSYS進行導線中點側向位移時程分析所需的計算時間為28.12 min,而本文模型計算時間為1.85 min,其計算成本僅為前者的6.58%。因此,本文模型能較為高效地應用于耐張型懸索支撐輸電結構風振非線性有限元分析。

表3 本文模型和ANSYS計算效率Tab.3 Calculation efficiency obtained by the proposed model and ANSYS

3.3 風速影響分析

在θ=90°時,輸電線最大側向位移和支撐懸索最大張力隨風速V10的變化情況,如圖9所示。圖9(a)中可以看出輸電線最大側向位移隨著V10增大而增大,增大幅度呈現先快后慢的趨勢,這一現象在導線上更加明顯。在圖9(b)中,支撐懸索最大張力隨著V10的增大而一直增大。輸電線最大側向位移增大幅度的變化是由于結構的應力剛化效應,根據式(16),單元切線剛度會隨著位移的增加而增大,結構的側向剛度也會隨著位移的增加而逐漸增大,當側向剛度較大時,輸電線側向位移增大幅度會減緩。

圖9 風速的影響Fig.9 The influence of wind speed

輸電線最大側向位移以導線最大側向位移為例,風速為5 m/s,10 m/s,15 m/s,20 m/s,25 m/s和30 m/s,導線最大側向位移分別為2.83 m,11.03 m,22.48 m,32.96 m,40.16 m和44.78 m,風速從5 m/s開始,每提高5 m/s,導線最大側向位移分別增加8.20 m,11.45 m,10.48 m,7.21 m和4.62 m。因此,在風速較小時,風速的增大,會較顯著地增加輸電線最大側向位移,而在風速較大時,輸電線最大側向位移受風速影響較小。支撐懸索最大張力的變化是由于懸索張力需要平衡等效節點荷載,風速增大,懸索張力也會一直增大。

支撐懸索最大張力以支撐導線懸索最大張力為例,風速從5 m/s開始,每提高5 m/s,支撐導線懸索最大張力分別增加6.59 kN,11.05 kN,15.62 kN,20.38 kN和25.47 kN,最大張力增量與風速近似成線性相關,最大張力與風速的二次方近似成線性相關;在風速較小時,支撐懸索最大張力受風速影響較小,而在風速較大時,支撐懸索最大張力受風速影響較顯著。

因此,在風速較小時,輸電線側向位移受風速影響較支撐懸索張力更大,在風速較大時,支撐懸索張力受風速影響較輸電線側向位移更值得注意。

3.4 風向角影響分析

在V10=20 m/s時,輸電線最大側向位移和支撐懸索最大張力隨風向角θ的變化情況如圖10所示。圖10(a)中可以看出輸電線最大側向位移隨著θ增大而增大,增大幅度呈現先快后慢的趨勢,在圖10(b)中,支撐懸索最大張力隨著θ的增大而增大。輸電線最大側向位移增大幅度的變化同樣是由于結構的應力剛化效應。以導線為例,風向角為0°,45°,60°和90°,導線最大側向位移分別為0.007 1 m,21.15 m,28.12 m和32.96 m,輸電線最大側向位移的最不利風向角為90°。支撐懸索最大張力隨著風向角增大而增大的原因是輸電線的順風向投影面積比支撐懸索的順風向投影面積大,隨著風向角增大,結構所受的整體風荷載也增大。因此,風向角對輸電線側向位移和支撐懸索張力影響都較顯著,兩跨耐張型懸索支撐輸電結構最不利風向角為90°。

圖10 風向角θ的影響Fig.10 The influence of wind direction angle θ

4 結 論

耐張型懸索支撐輸電結構是一類適用于山地地形的新型輸電結構。本文采用非線性有限元方法建立了耐張型懸索支撐輸電結構風振非線性有限元分析模型,針對兩跨耐張型懸索支撐輸電結構,進行模態分析和位移時程分析,并討論了風速和風向角對結構響應的影響。可得出主要結論如下:

(1) 對比結果顯示本文模型所計算的固有頻率和位移時程結果精度較高,能夠準確計算結構動力特性和動力響應。本文模型亦具有較高的計算效率,其獲得動力響應的計算成本僅為ANSYS的6.58%。

(2) 懸索支撐導線部分的低階固有頻率比懸索支撐地線部分的低階固有頻率更低,但兩者數值仍處于同一數量級。懸索支撐導線部分前三階振型分別為反對稱豎彎、對稱側彎和反對稱側彎。

(3) 在風荷載作用下,輸電導線中點側向位移和豎向位移均較大,且其側向位移變化幅度較大。因此,風荷載對該輸電結構的輸電線位移響應影響較為顯著。

(4) 對于平均風荷載作用,在較小風速下,輸電線側向位移受風速影響較支撐懸索張力更大;在較大風速下,支撐懸索張力受風速影響較輸電線側向位移更值得注意。輸電線側向位移和支撐懸索張力受風向角影響均較顯著,結構最不利風向角為90°。