基于產狀Fisher分布的巖石節理最小樣本容量確定方法

楊梓楓，夏華宗，杜玉芳，王曉明，3

1.河北地質大學 城市地質與工程學院，河北 石家莊 050031；2.河北地礦建設工程集團有限責任公司，河北 石家莊 050000；3.河北省地下人工環境智慧開發與管控技術創新中心，河北 石家莊 050031

0 引言

節理是巖體中普遍發育的一種結構面，這些結構面將完整巖體切割成大小不等、形狀各異的巖石塊體，而且節理通常強度低、易變形，同時能夠為地下水提供存儲空間和運移通道，對巖體的完整性、力學特性、滲流特性及穩定性起著控制作用。節理產狀是影響巖體結構及其工程性質的關鍵參數之一，其平均值及離散性對邊坡、地下洞室等工程巖體的穩定性及可靠性具有顯著影響[1，2]。因此，準確計算節理的平均產狀及其離散性對掌握巖體的工程特性進而開展工程巖體的評價、設計及施工具有重要意義。

節理平均產狀的準確性受樣本容量(即采樣數量)和離散性的影響，產狀離散性越大，則節理的采樣數量應越大，反之亦然。為保證統計結果的準確性，節理樣本應不少于某一數量，該數量即為最小樣本容量。在實際工程中，受采樣條件的限制，如節理露頭較少或測量困難而造成采樣數量較少，平均產狀的統計準確性勢必會受到影響。因此，確定節理的最小樣本容量對于節理統計分析具有現實意義。

巖體中的節理往往具有一定的方向性，通常會沿2～5個優勢方向發育，產狀相近的節理應劃分為同一組。節理的產狀一般用傾向(或走向)和傾角表示，同一組節理的產狀通常服從一定的分布形式。常見的節理分布類型包括Fisher分布、Bingham分布和雙正態分布等[3-6]。其中，Fisher分布由于僅包含1個參數且為可積分函數便于實現Monte Carlo模擬，得到了廣泛應用[7-12]。此外，一些研究表明，實測節理產狀能夠較好地擬合Fisher分布[13，14]。由于節理發育的隨機性和離散性，在工程實踐中通常將節理進行分組統計來確定每組節理的平均產狀[15-17]。

基于節理產狀服從Fisher分布，本文探討產狀離散性對節理采樣數量的影響。通過Monte Carlo隨機模擬技術產生具有不同離散性的產狀隨機數，在保證準確性的條件下確定節理的最小樣本容量，并建立最小樣本容量與產狀離散性的經驗關系，最后通過算例驗證其適用性。

1 Fisher分布及產狀離散性

該分布于1953年由Fisher提出，是一種將節理產狀視為球面上關于平均產狀對稱的分布形式[3]。Fisher分布的概率密度函數為：

(1a)

(1b)

式中，θ′和φ′分別是當把坐標系z軸旋轉至節理的平均矢量方向(θm，φm)后在新坐標系中的方向角；參數κ反映了節理產狀分布的離散性或集中程度，κ越大表明節理的產狀圍繞平均產狀越集中，即離散性小。如果κ=0，則Fisher分布轉化為球面上的均勻分布。均質巖體中的構造節理產狀通常較為集中，具有較大的κ值；而非均質巖體中的節理產狀往往具有較大的離散性，其κ值通常較小。κ可按下式計算[3]：

(2)

式中，N為節理的數量；rN為節理的和向量，其方向即為節理的平均產狀，其計算過程將在2.2節中詳述。Watson的研究認為當κ>3時，公式(2)的計算結果具有足夠精度[18]。眾多研究表明[10-12]，同一組節理的κ一般大于3，因此公式(2)具有較好的適用性。

2 研究方法

2.1 Fisher分布產狀的隨機生成

節理的方向是以其單位法向量表示的，一般取指向上方的法向量。在直角坐標系中(圖1)，假設OP為某節理的單位法向量，點N為P點在xOy平面上的垂直投影，θ為OP與z軸正方向的夾角，φ為x軸正方向沿逆時針方向與ON的夾角。

Fisher分布是當把z軸旋轉至節理的平均矢量方向(θm，φm)之后的形式，此時它的兩個變量θ′和φ′是獨立的，其概率密度函數見公式(1)。其中φ′服從(0，2π)之間的均勻分布，可直接利用公式(3)產生，u為(0，1)范圍內的均勻分布隨機數。

φ′=2πu

(3)

θ′的密度函數是一個可積分函數，其累計分布函數為：

(4)

這樣可利用逆變換法產生Fisher分布的隨機數，即：

(5)

得到：

(6)

如果稱旋轉前(z軸鉛直向上)的坐標系為舊坐標系，它的變量為(φ，θ)；稱旋轉后(z軸與節理的平均矢量一致)的坐標系為新坐標系，它的變量為(φ′，θ′)，則兩個坐標系的變化關系為[7，9]：

式中：(l，m，n)和(l′，m′，n′)分別為對應(φ，θ)和(φ′，θ′)的方向余弦。l，m，n分別為：

(8)

地質學中，節理的方向是用傾向和傾角(α，β)表示的，而非(φ，θ)。如果采用圖3中的坐標系，(α，β)和(φ，θ)的關系可以用下式計算：

(9)

綜合上述分析，產生一組N個Fisher分布的隨機節理產狀的過程如圖2所示。

圖2 Fisher分布隨機節理產狀的產生流程Fig.2 Generation flowchart of random joint orientation obeying Fisher distribution

2.2 節理平均產狀計算

節理平均產狀是指節理組中每一條節理面的單位法向量之和所在的方向。假設一組節理包含N條節理，每一條節理的傾向和傾角分別為φi和θi，通過公式(8)可以得到每條節理的單位法向量。由于節理產狀的離散性，節理產狀的分布范圍有時較大，當采用上半球赤平極射投影時可能出現“超越上半球投影的產狀”(OEBEUHP)[9，13]。圖3為200個隨機產生的服從Fisher分布的節理產狀，其平均產狀為45°∠60°，κ=10，其中11個節理極點為OEBEUHP。

圖3 平均產狀為45°∠60°的節理產狀極點圖(κ=10)Fig.3 Pole diagram of joint orientations with mean orientation of 45°∠60°(κ=10)

由于存在OEBEUHP，同一組節理向上的法向量之間的夾角可能大于90°，所以在計算節理平均產狀時，不能將節理的法向量ni簡單相加，應考慮采用ni還是-ni。鄭俊等提出了一種識別和調整OEBEUHP的策略，通過計算ni與合向量rN的夾角來識別OEBEUHP，并用-ni重新計算rN[9，13]。實際上，初始rN的計算已經存在由OEBEUHP引起的問題，因此這種策略需要適當調整。本文在此基礎上，提出了一種計算rN的修正方法，具體過程見圖4。根據得到的rN，可利用公式(8)和(9)將其轉換為節理的平均產狀。節理產狀的隨機生成和平均產狀的計算均通過Python程序實現。

圖4 節理和向量rN的計算過程Fig.4 Calculation process of joint and vector rN

3 最小節理采樣數量的確定

由于節理產狀的離散性，節理平均產狀的計算結果受樣本大小的影響。產狀離散性越大，即κ值越小，節理的樣本容量應越大才能保證平均產狀計算的準確性。本文以平均產狀為45°∠60°的節理為例，通過隨機生成不同數量、不同κ值的Fisher分布產狀來研究樣本容量對平均產狀計算準確性的影響，κ值分別取5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，70，80，90和100。對于每一個κ值，共進行1 000次抽樣，樣本容量為ns。圖5繪制了一次隨機實現時不同κ值的節理極點分布圖，樣本容量ns為250。

若每次抽樣的平均產狀與45°∠60°的夾角小于5°，則認為滿足準確性要求。將滿足以上要求的抽樣次數記為np，那么準確率p可以定義為：

(10)

當κ≤40時，每次抽樣的樣本容量ns為5的倍數；當κ>40時，ns為自然數。

圖6反映了不同κ值時樣本大小對平均產狀準確率的影響。樣本容量對平均產狀的統計準確性影響顯著，樣本容量越大，平均產狀的統計準確率越高；產狀離散性(即κ值)對統計準確率也有明顯影響，離散性越大即κ值越小，達到一定準確率所需的樣本數越多。一般情況下，準確率p為0.95可滿足工程要求，因此將p=0.95對應的樣本容量定義為最小樣本容量。當樣本大小超過最小樣本容量時，可以保證產狀的統計準確率不低于0.95。圖7為具有不同κ值的節理產狀所應滿足的最小樣本容量ns，min，可以看出，ns，min隨著κ值的增大迅速減小，當κ值達到40以后，ns，min的變化很小且趨于水平。為方便在工程實踐中確定節理的最小樣本容量，采用反比例函數(公式(11))對ns，min和κ值的關系進行擬合，得到了圖7中的擬合曲線。公式(11)的確定系數R2為0.994，表明該式能準確反映ns，min與κ值的反比例關系，可用于確定節理的最小樣本容量。

圖6 不同κ值時樣本容量對統計準確率的影響Fig.6 Effect of sample size on statistical accuracy with different κ values

圖7 不同κ值對應的最小樣本容量Fig.7 Minimum sample size corresponding to different κ values

(11)

實際上，在對節理產狀進行采樣之前無法預知節理組的κ值。但隨著采樣過程的進行，會得到越來越多的產狀數據，可以利用這些數據對κ值進行估算，從而判斷最終的采樣數量ns是否滿足公式(11)的要求。如果ns不小于ns，min，則采樣數量滿足要求，平均產狀的準確率能夠得到保障。本文的研究基于產狀服從Fisher分布，實際巖體中大多數構造節理均成組發育且服從Fisher分布，因此公式(11)對構造節理具有較好的適用性。對于孤立的隨機節理，其發育沒有規律性，不適合采用公式(11)進行計算。

4 驗證算例

為驗證公式(11)的適用性，對三峽工程地下廠房的上游邊墻和烏東德水電站平洞PD5-2節理產狀進行了抽樣統計分析。三峽水電站是世界上最大的水利樞紐之一，位于中國湖北省宜昌市夷陵區。地下電站位于長江右岸白巖尖山體內，主廠房洞室為圓拱直墻型，全長 311.3 m，軸線走向 223.5°，最大跨度 32.6 m，最大高度 87.3 m。廠房圍巖為堅硬的花崗巖，巖體完整～較完整，整體穩定性較好。地下電站廠房洞室的開挖揭露了708條節理，分組后的節理極點分布情況見圖8，每組節理產狀的統計參數見表1。烏東德水電站平洞PD5-2位于金沙江烏東德壩址左岸850 m高程，為順江支洞。平洞洞形為城門洞形，斷面尺寸約2 m×2 m。本平洞共揭露節理354條，分組后的節理極點分布情況見圖9，每組節理產狀的統計參數見表2。

表1 三峽地下廠房上游邊墻節理產狀統計結果Table 1 Statistical results of the orientation of joints in the upstream side wall of the Three Gorges underground powerhouse

表2 烏東德水電站平洞PD5-2節理產狀統計結果Table 2 Statistical results of the orientation of joints in the adit PD5-2 of the Wudongde hydropower station

圖8 三峽地下廠房上游邊墻節理極點分布圖Fig.8 Distribution diagram of joint poles in the upstream side wall of the Three Gorges underground powerhouse

圖9 烏東德水電站平洞PD5-2節理極點分布圖Fig.9 Distribution diagram of joint poles in the adit PD5-2 of the Wudongde hydropower station

根據公式(11)，計算出三峽地下廠房上游邊墻每組節理的最小樣本容量應達到97、97和105。接下來，對每組節理產狀進行模擬抽樣，抽樣次數均為1 000次，樣本大小為最小樣本容量。最后利用公式(10)計算抽樣結果的準確率。經程序計算，每組節理平均產狀的準確率分別為0.988、0.992和0.994，均滿足準確率要求。該研究區每組節理的采樣數量均大于相應的最小樣本容量，滿足采樣要求。因此，三峽工程地下廠房的上游邊墻的節理產狀具有統計學意義。

根據公式(11)，計算得到烏東德水電站平洞PD5-2每組節理的最小樣本容量應達到87、100和104。假設每組節理采樣數分別為80、90和95，未達到相應組別的最小樣本容量。利用公式(10)，計算出每組抽樣結果的準確率分別為0.955、0.948和0.946。結果表明，除第一組采樣能達到準確率以外，其余兩組未能滿足準確率要求。抽樣過程具有一定的隨機性和偶然性，在抽樣數量不足時，仍有較小可能達到準確率，但是為保證抽樣結果具有較高的可信度，節理抽樣應達到最小樣本容量的要求。本節通過正反兩個算例驗證了公式(11)的可靠性，表明節理最小樣本容量ns，min與κ值的經驗關系適用于確定節理產狀的最小樣本容量。

5 結論

本文基于節理產狀服從Fisher分布，實現了節理產狀的隨機生成。為解決“超越上半球投影的產狀”(OEBEUHP)引起平均產狀計算不準確的問題，提出了一種計算平均產狀的修正方法。在此基礎上，隨機生成不同數量、不同離散性(κ值)的Fisher分布產狀來研究節理樣本容量對平均產狀準確性的影響，并建立了最小樣本容量與κ值的經驗關系。研究結果表明：節理樣本容量對平均產狀的統計準確性影響顯著，樣本容量越大，平均產狀的統計準確率越高；產狀離散性對統計準確率也有明顯影響，離散性越大即κ值越小，達到一定準確率所需的樣本數越多。為保證平均產狀的統計準確率不低于0.95，節理的最小樣本容量隨著Fisher分布常數κ值的增大迅速減小；二者之間具有明顯的反比例關系，反比例系數為1 007.23，經驗公式的確定系數為0.994。對三峽地下廠房上游邊墻和烏東德水電站平洞PD5-2的節理統計分析從正反兩方面驗證了本文方法的適用性，節理采樣具有一定的隨機性，在滿足最小樣本容量的條件下，產狀統計分析結果具有較高的可靠性。本文提出的方法適用于確定節理產狀的最小采樣數量，判斷節理的采樣數量是否具有統計意義，能有效指導節理的采樣工作。