基于雨課堂和案例教學法的特征值及特征向量教學研究

摘" 要：特征值與特征向量是兩個既抽象又應用廣泛的概念，若只專注于理論內容的講授，忽視其在實際應用中的背景和意義，會使學生對理論知識感到難以理解，從而失去學習的興趣和熱情，繼而影響到后續(xù)課程的學習。以雨課堂教學平臺為基礎，采用課程思政融入基礎課教學的方法，將矩陣的特征值和特征向量與離散動力系統(tǒng)聯(lián)系起來，以捕食者-食餌系統(tǒng)為應用案例，引導學生分析實際問題并建立相應的數(shù)學模型，然后通過矩陣特征值與特征向量來求解數(shù)學模型，加深了學生對基本理論知識的理解，提高了學生課堂參與度，達到了很好的教學效果。

關鍵詞：特征值" 特征向量" 案例教學" 雨課堂

中圖分類號：G642.4;O151.2-4

Research on" Eigenvalue and Eigenvector Teaching Based on Rain Classroom and Case Teaching Method

LI Wen" ZHAO Liyun" CAO Fujun

School of Science， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia Autonomous Region， 014010 China

Abstract： Eigenvalue and eigenvector are two abstract and widely used concepts. If teachers only focus on teaching theoretical content and ignore their background and significance in practical applications， it will make students feel difficult to understand theoretical knowledge， thereby losing interest and enthusiasm for learning， and ultimately affecting their subsequent course learning. Based on the Rain Classroom teaching platform， this article adopts the method of integrating ideological and political education into basic course teaching. It links the eigenvalues and eigenvectors of matrices with discrete dynamical systems， and takes the predator-prey system as an application case to guide students to analyze practical problems and establish corresponding mathematical models， and then solves the mathematical models through the eigenvalues and eigenvectors of matrices， deepening students' understanding of basic theoretical knowledge， improving students' classroom participation， and achieving good teaching results.

Key Words： Eigenvalue; Eigenvector; Case teaching; Rain Classroom

在矩陣理論研究中，特征值與特征向量是兩個非常重要的概念，也是線性代數(shù)教學的重點與難點所在。特征值與特征向量的應用很廣泛，已滲透到多個科學技術領域[1]。在計算機領域，人們將其應用到視覺與圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘和機器學習中。在動力系統(tǒng)研究中，常常用特征值的符號來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。張艷碩等人[2]借助于特征值，提出了一種無可信中心的門限秘密共享方案。袁馳[3]設計出了基于特征向量的非隨機WSN密鑰預分配方法。

為了提高教學質量，很多教師從不同的角度介紹特征值與特征向量。如雍龍泉[4]以矩陣的可逆性和對稱性作為分類原則，給出了矩陣特征值與特征向量的幾何意義。王小春[5]在引出特征值與特征向量時，運用數(shù)形結合的方法，以線性不變量為切入點。朱玲[6]給出了矩陣的特征值和特征向量在谷歌的網頁排名算法 PageRank 和層次分析法中的應用。

線性代數(shù)[7]作為一門核心課程，應在課堂教學中充分挖掘課程的思政元素。在教學實踐中，在講授特征值與特征向量時，通過介紹其在科學領域的實際引用案例，激發(fā)學生的愛國情懷和社會責任感。

1" 特征值與特征向量的思政元素

在系統(tǒng)與控制科學領域內，特征值和特征向量對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著直接的影響。高機動性戰(zhàn)斗機控制是系統(tǒng)控制領域的一個非常重要的分支。殲-20是中國自主研制的第五代戰(zhàn)斗機，在高隱身性、高態(tài)勢感知、高機動性等方面取得了重大突破，提升了中國空軍的作戰(zhàn)能力和戰(zhàn)略威懾力，為中國航空工業(yè)的未來發(fā)展奠定了堅實的基礎。

控制系統(tǒng)在深海鉆井平臺的自動定位中發(fā)揮關鍵作用。我國“海洋石油981”深水半潛式鉆井平臺具備極強的穩(wěn)定性和抗干擾性，憑借8個分列四角的螺旋槳推進器通過控制系統(tǒng)實現(xiàn)自動定位，能夠在南海3 000 m的水深作業(yè)區(qū)域內穩(wěn)定工作。

課堂上通過介紹我國自主研制的第五代戰(zhàn)斗機和“海洋石油981”深水半潛式鉆井平臺，不僅使學生認識到“ 矩陣的特征值和特征向量”這一基礎知識點的重要性，而且使學生認識到中國的進步和發(fā)展，增強學生的民族自豪感和責任感。

2" 基于雨課堂的特征值與特征向量混合式教學模式設計

由于學生對抽象的理論知識缺乏相應的學習興趣，沒有積極主動探索的學習習慣。通過借助于雨課堂教學工具，改變以教師為主的傳統(tǒng)教學模式，開展學生線上的自主學習與教師的線下課堂教學相結合的混合式教學模式，在教學過程中讓學生主動積極地參與進來。

2.1" 利用雨課堂課前提升學習興趣

利用雨課堂推送功能提前發(fā)布學習任務，要求學生通過雨課堂預習有關特征值與特征向量的知識點并了解相關實際應用案例，學生收到學習資料后圍繞特征值與特征向量的實際應用進行研討。為下一步學習特征值與特征向量的實際應用做好準備工作。

2.2" 基于雨課堂反饋進行課堂講授

課堂教學步驟如下。

（1） 在引入特征值與特征向量時，可先回顧前面的學習內容：矩陣變換，線性變換。為引出特征值和特征向量做鋪墊。 通過下面的例題讓學生感受矩陣變換，也讓學生做好接受特征值和特征向量這兩個概念的準備。

例1 設，分別計算的值

解" ，。

接下來讓學生思考和比較的值，通過比較的值可以看出，是的2倍，但不是的倍數(shù)。接下來引導學生思考什么樣的向量經過矩陣變換后能得到其倍數(shù)？如果這樣的向量存在該如何得到？通過層層發(fā)問，學生在聽課時就會緊跟教師的教學思路，品嘗到學習的樂趣，樂于去解答問題，最后會因成功解答問題而收獲學習信心。當觀察到學生對接下來的學習有濃厚的學習興趣時，強調形如這樣的方程就是學習的重點，接下來給出特征值和特征向量的定義。以問題為導向引導學生思考，不但能使學生更專注于課堂，而且能促使學生課后去主動學習，積極尋找課堂上問題的答案，從而將知識內化于心，在無形中培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維。

如何使學生在學習抽象且難懂的理論知識時不產生排斥畏難情緒，不但在于學生的學習基礎和學習態(tài)度，更在于教師的教學設計和教學風格，若能通過巧妙的教學設計，結合雨課堂的提前預習，由問題入手，通過發(fā)問引領學生思考，利用已學知識和新知識之間的內在聯(lián)系，讓學生體會到知識的拓展，使學生以接受的心態(tài)來學習，那么在講授抽象的理論知識時會產生意想不到的教學效果。

（2）給出特征值和特征向量的定義。

定義[7]" 設是一個階方陣。若存在一個數(shù)和一個非零列向量， 使得關系式成立，則稱數(shù)為方陣的一個特征值，非零向量稱為的對應于（或屬于）特征值的特征向量。

（3）給出特征值與特征向量的計算方法。

求解階方陣的特征方程， 從而得到個特征值。當時，求解方程得到的全部非零解即為的特征值的全部特征向量[7]。

以上內容已通過PPT提前在雨課堂發(fā)布，學生可通過雨課堂進行實時反饋，教師提前了解學生的預習情況，對大部分學生反映不太理解的內容在課堂上重點講授。上述概念和計算抽象難懂，如果缺少必要的雨課堂預習過程，將導致學生理解困難，甚至對此部分內容失去興趣。經過調查發(fā)現(xiàn)，通過雨課堂提前了解了所學內容的同學在課堂中能夠緊跟教師的教學，和沒有在雨課堂進行預習的同學相比能夠更快速地抓住學習重點。基于雨課堂教師能更清楚地了解學生的學習狀態(tài)，并在課堂中進行針對性講授，引導學生思考從而掌握所學內容。

2.3" 特征值與特征向量的實際應用案例

通過雨課堂的課前自主學習過程與課堂的講授內容，大多數(shù)同學已對特征值與特征向量的實際應用有了一定的了解。接下來將給出易于理解的應用案例，設計邏輯清晰的引入過程，以問題為導向抓住學生的注意力，力爭使每個學生都能夠理解特征值與特征向量的基本概念，掌握求解特征值與特征向量的具體方法，了解特征值與特征向量的實際應用。

在實際課堂教學中根據(jù)授課班級不同，所學專業(yè)不同，選取合適的應用案例，可以避免線性代數(shù)理論教學與學生的專業(yè)需求脫節(jié)。對于生物工程專業(yè)的學生本文將給出捕食者-食餌系統(tǒng)，利用線性動力系統(tǒng)來建立貓頭鷹和老鼠的自然系統(tǒng)模型。此模型容易理解也適合其他專業(yè)的學生。

實際應用案例設計思路：

（1）強化知識與綜合應用：了解特征值與特征向量在離散動力系統(tǒng)中的應用。

例 2 設，分析由所確定的動力系統(tǒng)的長期發(fā)展趨勢。

解 的特征多項式為

所以的特征值為和。通過求解方程得到的特征向量為的倍數(shù)，的特征向量為的倍數(shù)。接下來令 ，得到。由此有

代入，得：

從而，當時，，。

從上例可以看出，特征值和特征向量可以分析和預測由差分方程描述的動力系統(tǒng)的長期行為。由此，將矩陣的特征值與特征向量與離散動力系統(tǒng)聯(lián)系起來，加深了學生對基本理論知識的理解。

（2）培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力，加強跨學科融合，讓學生在解決實際問題的過程中綜合運用多學科知識，

以此激發(fā)學生的學習動力和興趣。

接下來以捕食者-食餌系統(tǒng)為應用案例，利用線性動力系統(tǒng)來建立貓頭鷹和老鼠的自然系統(tǒng)模型。引導學生分析實際問題并建立相應的數(shù)學模型，然后通過矩陣特征值與特征向量來求解上述數(shù)學模型。最后讓學生思考問題的實際意義。通過將所學知識成功應用到實際案例可以讓學生感受到數(shù)學的魅力和價值。

應用案例引入：作為老鼠的主要捕食者，斑點貓頭鷹的食物有是老鼠。如果沒有老鼠為食物，每月僅有一半的貓頭鷹存活下來，而如果沒有貓頭鷹捕食老鼠，那么老鼠的數(shù)量每月增長。假如有足夠多的老鼠，貓頭鷹增長的數(shù)量是老鼠數(shù)量的倍，而由于貓頭鷹的捕食所引起的老鼠死亡數(shù)量是貓頭鷹數(shù)量的倍，這里是一個指定的正參數(shù)，我們稱它為捕食參數(shù)。應首先考慮：當時，預測該系統(tǒng)的發(fā)展趨勢。

根據(jù)以上已有數(shù)據(jù)引導學生建立第 年和第年貓頭鷹和老鼠數(shù)量之間的關系模型。 給出下列方程組

其中：是貓頭鷹數(shù)量；是老鼠的數(shù)量（單位是千只）；是捕食參數(shù)。利用矩陣的乘法，可以將方程組（1）改寫成矩陣方程：

其中：

上述數(shù)學模型實際是形式為的差分方程，現(xiàn)在求解差分方程（2）。

解" 當時，系數(shù)矩陣的特征值是和，對應的特征向量是，初始向量可表示為，那么對，。當時，，，有。說明當捕食參數(shù)時，貓頭鷹和老鼠的數(shù)目都會逐漸減少直至滅亡。

引導學生思考：捕食參數(shù)會影響系數(shù)矩陣的特征值，當?shù)奶卣髦禃r會造成貓頭鷹和老鼠的滅亡。若改變捕食參數(shù)，當時會發(fā)生什么情況？

重復上述步驟，此時矩陣的特征值是和，對應的特征向量是， 那么。

當足夠大時，近似等于，即，從而有，這表明貓頭鷹和老鼠的數(shù)量每月大約以的倍數(shù)增長，即月增長率為。

2.4" 課后及時總結，創(chuàng)造自主學習環(huán)境

為檢驗教學設計的實踐成效，在兩個班級進行了教學實踐。課程結束后以調查問卷的形式來了解基于雨課堂和案例教學法講授特征值和特征向量時學生的掌握情況，由調查問卷可知，大部分同學認可這種混合式教學模式設計，喜歡這種層層遞進式的教學方式，改變了大家對線性代數(shù)這門課程的認識。由于大部分同學以前對線性代數(shù)的應用不太了解，不知該用于何處，所以學起來興趣不足。通過講解不但掌握了基礎的理論知識，而且對其應用也有了一定的了解。基于雨課堂通過案例教學法講授特征值與特征向量時確實改善了教學效果，能夠得到學生的認可。

基于雨課堂從案例出發(fā)，采用理論知識與實際應用相融合的教學手段，通過雨課堂提起預習，以實際案例吸引學生的注意力，引導學生主動思考并利用所學知識解決實際問題，使學生認識到所學知識的重要性，從而排除了學生的畏難情緒。以上教學方法的實施不僅激發(fā)了學生的學習熱情和興趣，使他們掌握了特征值與特征向量的學習內容，也提升了他們解決實際問題的能力，教學效果得到了大幅提高。為進一步提升教學效果，課后還需利用雨課堂發(fā)布相應的試題，考查學生的知識掌握情況。根據(jù)學生的學習情況靈活地對教學內容進行調整，真正做到以學生為主體，從根本上提升教學效果。

3 結語

本文結合學生專業(yè)背景，基于雨課堂將實際應用案例引入特征值與特征向量的教學環(huán)節(jié)，在一定程度上提升學生的學習興趣，使學生更積極主動地去了解和應用所學知識，在學習的過程中培養(yǎng)學生的思維能力，從而提高教學質量。接下來在為土木工程專業(yè)的學生講授特征值與特征向量時，可以嘗試采用層次分析法的應用案例。針對現(xiàn)實生活中碰到的決策問題，運用層次分析法來進行決策，適用于工程項目施工成本間接影響因素的研究等問題，是特征值和特征向量的重要實踐應用。盡管已經為多個專業(yè)選取了合適的應用案例，但對大多數(shù)專業(yè)仍然缺乏相應的應用案例，尋找適合我校各專業(yè)學生的特征值與特征向量的實際應用案例是我們接下來要研究的重點。

參考文獻

[1]郭文艷.線性代數(shù)應用案例分析[M].北京：科學出版社，2023.

[2]張艷碩，王澤豪，杜耀剛，等.基于矩陣特征值的可驗證無可信中心門限方案[J].武漢大學學報：理學版，2020，66（2）：135-140.

[3]袁馳.基于特征向量的非隨機WSN密鑰預分配方法[J].微電子學與計算機，2020，37（11）：6-12.

[4]雍龍泉.矩陣特征值與特征向量的幾何意義[J].陜西理工大學學報（自然科學版），2021，37（5）：80-85.

[5]王小春.特征值與特征向量的教學研究[J].高師理科學刊，2019，39（12）：66-69.

[6]朱玲.線性代數(shù)中的特征值和特征向量的教學應用案例[J].蘭州教育學院學報，2016，32（12）：86-87，90.

[7] 周勇，李繼猛.線性代數(shù)[M].2版.北京：北京大學出版社，2022.