培養和發展學生的模型觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出，數學核心素養包含三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.數學核心素養在高中、初中、小學階段的“具體”表現形式又有所不同，但是無論“稱謂”怎樣變化，“模型觀念”都是初中階段的重要核心素養之一.怎樣培養和發展學生的模型觀念？

1 加強基礎知識教學，為形成模型觀念奠定基礎

《課標（2022年版）》）在“課程目標”中提出了三條具體要求，其中第一條和第二條可以簡稱為“四基”和“四能”.這是所有接受義務教育的學生都應該達到的最低要求，學生通過義務教育階段的數學學習，必須掌握數學的基礎知識，逐步形成數學基本技能，感悟數學的基本思想，積累數學基本活動經驗.

《課標（2022年版）》中界定所有課程內容，都屬于數學基礎知識.數學基本技能是在學習、運用數學基礎知識的同時所形成的技能（主要指運算技能、繪圖技能、處理數據技能、推理技能）.

數學基礎知識和基本技能相互“交融”在一起，有時是不好區分的.學生在學習數學基礎知識的同時，也會自然形成與之相應的基本技能；另外，在運用某些數學基本技能解決問題的同時，也進一步加深了對基礎知識的理解.

學生的數學觀念可以用“強弱”來衡量，模型觀念“強”的人，表現為用數學模型解決實際問題的認識到位，思路明確，能通過閱讀實際問題清晰地意識到應該建立怎樣的數學模型才能解決這個實際問題.

一個人擁有的數學知識容量越大，其數學知識結構越優化，數學觀念當然也就越強.要培養學生的模型觀念，應強化數學“四基”的教學.

方程（組）是“數與代數”的重要內容，方程模型是一類重要的數學模型，學習方程的有關知識并用方程解決實際問題對于模型觀念的形成具有積極的價值.

案例1人數、物價問題

我國古代數學名著《九章算術》中記載“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數、物價各幾何？”意思是：現有幾個人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，還差4錢.問人數、物價各是多少？若設共有x人，物價是y錢，則下列方程正確的是（）.

A.8（x-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

C.y－38=y+47D.y+38=y－47

點評：本題目中設了x，y兩個未知數，是“迷惑”學生的，是讓學生誤認為有兩個未知數就應該建立二元一次方程組模型.而題目給出的選擇支都是一元一次方程，這必然導致部分學生的思路陷入“歧途”，不能作出正確選擇.這就是本題的“高明之處”.

在教學時，教師要引導學生進一步思考：如果建立二元一次方程組模型，找不到答案，那該怎么辦？事實上，學生思路受阻的原因在于對二元一次方程組知識的掌握還達不到“十分熟練”的程度.

當學生想到“消元”是解二元一次方程組的基本思路時，反映靈敏的學生可能會想到“這莫非是建立的二元一次方程組經過消元后的結果？”通過思考，得到y=8x－3，

y=7x+4，由第一個方程可得x=y+38，由第二個方程可得x=y－47，于是有y+38=y－47.

師生通過交流、思考，找到解決本題要分兩步：

一是根據題意正確列出二元一次方程y=8x－3，

y=7x+4；二是對上面兩個方程變形：分別用含有y的代數式表示出x.這就是本題的“真正立意”所在.

本題素材有三種考查方式：

（1）作為填空題出現，讓學生填寫出正確答案.這樣的話，雖然大部分考生都能給出正確答案，但對于考查學生方程組掌握的程度似乎“不夠力度”.

（2）作為選擇題出現，選擇的項中直接給出含有正確方程組的形式.大部分命題者會選擇這種考查方式.

（3）本題的考查形式.這種考查方式能發揮方程組“載體”的最大教學功能，有助于發展學生的模型觀念.

本考題啟發我們，教師應站在編寫者的高度去研讀教材、例題和習題.對每一道例題、習題都要進行深層次的思考，只有這樣才能創造性地使用教材.這對于學生掌握數學基礎知識，形成基本技能是非常必要的.

2 注重過程教學，形成模型觀念的有效措施

在數學教學中，要向學生展示兩個過程：（1）充分展現知識的形成過程；（2）反映知識的應用過程.

在落實這兩個過程時，都伴隨著學生的各種豐富的活動，也就是說無論是知識的形成過程，還是應用過程都是在學生的活動中實現的.

在《課標（222年版）》界定的“課程內容”中，含有大量的數學概念、性質、運算律、法則、定理、公式等，我們將其統稱為“數學知識”，對于這些知識的教學一定要體現過程，這是數學教學的“剛性”要求.

模型觀念是在學生經歷各種具體學習的過程中逐漸形成的，并且在建立各種具體模型解決問題的過程中得到增強和發展.在數學教學中，我們應結合具體的課程內容，設計有效的數學活動，引導學生經歷數學知識的發生、發展過程.

案例2探索多面體頂點數、面數、棱數之間的關系

十八世紀瑞士著名數學家歐拉曾經發現并證明了一個簡單多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在著一個有趣的關系式，即V+F-E=2.人們把這個公式稱為歐拉公式.

為引導學生通過探索，把“圖形”的“頂點數、面數、棱數”之間的特點抽象成“數量之間”的關系式，我們可利用問題引導學生在觀察、思考、抽象、概括的過程中，發現上面的公式.

觀察圖1所示的四種簡單多面體模型，并思考、探索下面兩個問題：

（1）分別寫出圖1中的四個多面體模型的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）；

（2）猜想一個正多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是.

點評：歐拉是一位著名數學家，他淵博的知識、無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作令世人驚嘆不已.本題以四個簡單的多面體為例，讓學生歸納猜想得到著名的歐拉公式，并利用這一公式解答有關的問題.

本案例的目的是讓學生借助“圖形”的直觀特性，歸納出“數量”之間的關系式.首先提供了四個多面體模型，多面體模型有三個“基本數字”特征：頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）.學生通過觀察其中兩個模型，就可以得到上述公式，利用另外兩個模型驗證上述公式，從而完成問題（1）的解答.在此基礎上，學生經過歸納、猜想等活動，抽象出一般性的結論：一個多面體的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是V+F-E=2.

在實際教學中可分三步：

（1）通過觀察，發現四面體有4個頂點、4個面、6條棱；長方形有8個頂點、6個面、12條棱.為了引導學生自己能發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間具有的數量關系，教師鼓勵學生大膽探索、猜想并相互交流.在教師的引導下，學生不難發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）具有關系：V+F-E=2.

（2）觀察正八面體發現有6個頂點、8個面、12條棱，可以發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）也具有關系：V+F-E=2.

（3）結合一個正十二面體的頂點數（V）是20、面數（F）是12、棱數（E）是30，可以驗證V+F-E=2.

學生在解答的過程中，幾何直觀起了關鍵作用，反映了“利用圖形描述和分析問題”的過程.學生如果沒有較強的數學抽象能力和幾何直觀能力，是很難發現這個公式的.學生在探索、發現公式的同時，其抽象概括能力、合情推理能力等都有所提高，還能進一步感悟“數形結合”的思想，加深對“數學是研究數量關系和空間形式的科學”的理解與認識.

本案例的教育教學價值有：（1）培養了學生的數學猜想能力；（2）讓學生體會到數形結合思想的作用；（3）進一步感悟到數學模型是數學與現實聯系的基本途徑，發展了學生的模型觀念；（4）對學生進行了數學文化教育，從學生數學素養的發展來看，這一點似乎比單純地進行數學知識教育更為重要.

3 注重問題解決，發展模型觀念的必要環節

《課標2022年版》在“課程目標”中要求學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”.應用意識是重要的數學觀念之一，教師在整個數學教育過程中都應培養學生的應用意識.

學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力主要是在解決實際問題的過程中形成和發展起來的.教師要通過“建立模型—解決問題”發展學生的模型觀念和問題意識.

案例3飲水機中的學問（青島版教材）

教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（單位：℃）與開機后用時x（單位：min）成反比例關系，直至水溫降至30℃，飲水機關機，飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序.若在水溫為30℃時接通電源，水溫y（單位：℃）與時間x（單位：min）的關系如圖2所示.

（1）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數關系式；

（2）怡萱同學想喝高于50℃的水，請問她最多需要等待多長時間？

解析：（1）觀察圖2發現，y與x的函數圖象分兩段.水溫上升階段的圖象是線段，下降階段的圖象是雙曲線在第一象限的一部分.利用待定系數法，求出對應的函數表達式分別是y1=10x+30（0≤x≤7）和y2=700x.把y=30代入y=700x得x=703，即y與x的函數關系式每703分鐘重復出現一次，所以在下降階段對應表達式中，7＜x≤703.

所以y=10x+30，0≤x≤7，

700x，7lt;x≤703.

（2）將y=50代入y=10x+30，得x=2；將y=50代入y=700x，得x=14.因為14-2=12，703-12=343.所以想喝高于50℃的水最多需要等待343分鐘.

點評：題目以“飲水機燒水”為背景，符合學生生活實際，屬于一次函數和反比例函數的綜合運用題.主要考查學生通過建立函數模型，利用函數知識解決實際問題的能力.讀懂題意，結合圖象正確分析問題是解答的關鍵.在學習了反比例函數的知識后，可以以此檢查學生利用數學模型解決問題的能力，培養學生的模型觀念.

學生通過觀察圖象，很容易判斷出該圖象對應的函數是一個分段函數.這個分段函數包含兩個部分：水溫上升階段的一次函數，下降階段的反比例函數.利用待定系數法不難分別求得這兩段的函數關系式.要確定自變量x的取值范圍，必須正確理解“直至水溫降至30℃，飲水機關機，飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程序”的意義.這句話的意思是：當水溫達到30℃，飲水機開始加熱；當水溫到達100℃，飲水機停止加熱，水溫自然下降；當水溫降至30℃時，飲水機又開始加熱.“30℃加熱—100℃降溫—30℃加熱”完成一個循環周期，重復上述過程.需要根據反比例函數式，求出重復上述自動程序一次所用的時間，即把y=30代入y=700x，得x=703，從而就能確定自變量的取值范圍.在解答第（2）問時，分三小步：第一步是根據一次函數式求出上升到50℃所用的時間以及下降到50℃所用的時間；第二步求出這兩個時間差，這個“差”就是飲水機中的水溫一直保持高于50℃的一個時間段；第三步求“怡萱同學想喝高于50℃的水最多需要等待的時間”，只要用重復一次所用的時間703減去“水溫一直保持50℃以上的時間段”就能得到.

在學生學習各種具體方程、不等式以及函數的同時，都要圍繞具體的知識，設計一些通過建立相應模型解決的實際問題，這有利于促進學生進一步加深對有關知識的理解，同時讓學生感悟到數學應用的普遍性及數學與生活的聯系，不斷發展學生的模型觀念和應用意識.

“四基”是培養學生數學核心素養的沃土，“四能”是發展學生數學核心素養的具體表現.在數學教學中，教師應認真研讀教材，精心設計一系列數學活動，引導學生在經歷各種活動的過程中，掌握扎實的“四基”并具有“嫻熟”的“四能”，為發展學生的模型觀念提供堅實的知識基礎，然后利用掌握的知識，通過建立各種模型去解決有關的實際問題，不斷培養和發展學生的模型觀念，從而提高學生的數學核心素養.Z