以“問題串”為主線深化幾何定理教學(xué)

摘要：文章以“圓周角和圓心角的關(guān)系”的定理教學(xué)為例，探討以“問題串”為主線深化幾何定理教學(xué)的實踐，并提出“精設(shè)問題，搭建腳手架”“溝通現(xiàn)實，創(chuàng)造突破口”的教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：問題串；幾何定理；圓周角

“問題串”作為一種問題探究模式，就是在一定主體內(nèi)圍繞某一目標(biāo)或某一中心問題，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精設(shè)的一組問題.這樣的教學(xué)方式對學(xué)生獲取知識、培養(yǎng)思維、發(fā)展智力有很大的推動作用.下面，筆者以“圓周角和圓心角的關(guān)系”的定理教學(xué)為例，展示以“問題串”為主線深化幾何定理教學(xué).

1 課前慎思

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的學(xué)習(xí)是建立在圓的相關(guān)概念基礎(chǔ)之上的，于類比與比較中深入研究圓周角和圓心角的關(guān)系.同時，本節(jié)課涉及多個數(shù)學(xué)思想，這也為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了新的探索路徑.

1.2 學(xué)情分析

在七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌握了圓心角的相關(guān)知識，等腰三角形的性質(zhì)是本節(jié)課數(shù)學(xué)探究活動的基礎(chǔ).同時，該階段的學(xué)生已經(jīng)能通過類比的方式去探索和推理論證，也具備初步的分類討論意識.但此時的學(xué)生無法基于圓周角的“無限”去探尋分類主線，從而基于這一教學(xué)難點采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，通過“問題串教學(xué)法”為學(xué)生搭建思維腳手架，引領(lǐng)學(xué)生拾級而上地深入探究，自主建構(gòu)幾何定理證明的一般思路是十分重要的.

2 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一適切導(dǎo)入，引出定義

問題1某公司的圓形會議廳的中心需要安裝一些監(jiān)視器，若每臺監(jiān)視器的監(jiān)視角都是80°（見圖1），要想監(jiān)視整個會議廳，最少需要安裝多少個？

師生活動：結(jié)合圓周角的知識，學(xué)生很容易得到答案，從而復(fù)習(xí)圓心角的概念，為后續(xù)類比圓周角的概念作鋪墊.

問題2為了讓會議廳看起來更美觀，最好將監(jiān)視器裝在會議廳邊緣，那么需要的監(jiān)控器數(shù)量與之前相比有什么變化，變多了還是變少了？為什么？

生1：變少了，從圖中觀察監(jiān)視器的監(jiān)視角度變大了，從而所需的監(jiān)視器就少了.

師生活動：學(xué)生初步體會到圓中有兩類不同的角——頂點在圓心的角和頂點在圓上的角.

問題3你能試著用數(shù)學(xué)語言描述圖2中∠ACB的特征嗎？

追問：頂點在圓上的角一定是圓周角嗎？

生2畫出反例，總結(jié)：圓周角除了需符合頂點在圓上，還需符合角的兩邊都與圓相交

設(shè)計說明：一是讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中回顧圓周角的定義，為后續(xù)類比生成圓周角定義作足準(zhǔn)備；二是通過在角度不變的基礎(chǔ)上變化位置，讓學(xué)生切實感知二者之間的大小關(guān)系.這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，從數(shù)學(xué)的應(yīng)用性角度給出研究圓周角的必要性，促成學(xué)生深入探究的意向.

環(huán)節(jié)二漸進(jìn)探究，證明定理

問題4如圖3，請試著在⊙O中畫出弧AB對應(yīng)的圓周角，它與圓心角∠AOB間有何數(shù)量關(guān)系？

問題5圓周角和圓心角存在哪些不同的位置關(guān)系？思考后同桌兩人一組交流.

追問：請組內(nèi)將所畫的圓周角進(jìn)行分類，并說出分類標(biāo)準(zhǔn).

生3：按照圓周角與圓心的位置關(guān)系分類：①圓心在圓周角的一條邊上；②圓心在圓周角的內(nèi)部；③圓心在圓周角的外部.

生4：按照圓周角的頂點所在的位置分類：①頂點在優(yōu)弧上；②頂點在劣弧上；③頂點在弧的一個端點處.

問題6如圖4，哪種情況比較特殊？為什么？

生5：圓心在圓周角的一條邊上的情況最特殊.

追問：對于圖4（1），你能試著獨立寫出圓周角∠AOB與圓心角∠AOB數(shù)量關(guān)系的完整推理過程嗎？

師生活動：學(xué)生代表回答，教師板書，規(guī)范格式.

問題7剛才的特殊情況就是解決問題的突破口，那其他情況呢？也可以轉(zhuǎn)化為這樣的特殊情況證明嗎？

問題8寫出命題，并以符號語言表示.（至此，生成了圓周角定理及符號語言）

設(shè)計說明：通過巧妙而恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量、推理，經(jīng)歷完整的命題推理過程，無形地化解教學(xué)的重點和難點，同時不失時機(jī)地滲透一般與特殊的數(shù)學(xué)思想.其中問題4之所以選擇定圓主要是為了回避結(jié)論的爭議.當(dāng)學(xué)生畫出的圓周角符合條件且不同時，則可以明晰探究圓周角與圓心角定義的一般性.而一條弧可以對應(yīng)無數(shù)個圓周角，“化無限為有限”才是探索的“重頭戲”，隨之拋出問題5，學(xué)生會在分類標(biāo)準(zhǔn)上產(chǎn)生爭議，此時教師的點撥與引導(dǎo)可以快速促成“三類”結(jié)論.問題6則是讓學(xué)生從特殊著手分析轉(zhuǎn)化另外兩類，學(xué)生在深度思考和想象之后可獲得新的認(rèn)識.就這樣，以問題為導(dǎo)引，讓學(xué)生踏梯而上地探索，在獲得圓周角定理的同時，順勢搭建思維“腳手架”.

環(huán)節(jié)三順勢應(yīng)用，延展認(rèn)識

問題9弧AB所對圓周角間有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

生6：同弧所對的圓周角不止一個，有無數(shù)個.

生7：弧越長，圓周角的度數(shù)越大.

生8：同弧所對的圓周角的度數(shù)相等.

問題10回顧“導(dǎo)入環(huán)節(jié)”的問題，試著證明“等弧所對圓周角相等”.

追問：本章節(jié)中哪些知識與“等弧”相關(guān)？

眾生：弧和弦的定義與性質(zhì)、圓心角和圓周角的關(guān)系、等弧對應(yīng)的圓心角相等、等弧對應(yīng)的圓周角相等、等弧在圓內(nèi)的其他性質(zhì).

問題11我們在電影院常常看到座位橫排的排列呈圓弧形，這樣設(shè)計合理嗎？為什么？

生9：電影院中座位橫排的排列呈圓弧形是合理的，因為這樣設(shè)計可以確保觀眾與屏幕的距離相對一致，以提供更好的觀影體驗.

設(shè)計說明：通過環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)二的探索，學(xué)生自主獲取了新知.本環(huán)節(jié)中，以實際問題為導(dǎo)引，讓學(xué)生在探索中跳出思維禁錮，體驗成功的愉悅，彰顯幾何定理的合理性.這里問題9是圓周角定理的直接應(yīng)用，學(xué)生說理的過程也是發(fā)現(xiàn)“變中不變”道理的源泉.問題10盡管具有一定的思考性，但在教師的又一次點撥下回顧導(dǎo)入環(huán)節(jié)，易根據(jù)“等弧所對圓心角相等”發(fā)現(xiàn)“等弧所對的圓周角相等”，使問題獲解，讓思維進(jìn)階.問題11中不失時機(jī)的應(yīng)用則是再一次讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)依據(jù)，并充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實應(yīng)用性.

環(huán)節(jié)四小結(jié)提煉，深化認(rèn)知

問題12從知識方面與經(jīng)驗方面著手談?wù)劚竟?jié)課收獲了什么.

師總結(jié)：知識方面有兩點——圓周角是對應(yīng)圓心角的一半，等弧所對的圓周角相等；經(jīng)驗方面——體會到了幾何知識在現(xiàn)實中的應(yīng)用.

設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生帶著批判與質(zhì)疑去回顧與總結(jié)，并給予學(xué)生充足的時空去表達(dá)，從而在潛移默化中提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)高階思維能力.

3 教學(xué)思考

3.1 精設(shè)問題，搭建腳手架

“問題串教學(xué)法”可以引領(lǐng)學(xué)生在自主探究中深化認(rèn)知、積累活動經(jīng)驗、發(fā)展高階思維、啟發(fā)創(chuàng)新靈感.就本節(jié)課而言，教師以問題引領(lǐng)學(xué)生的知識進(jìn)階，使學(xué)生在新問題的解決中切身體驗轉(zhuǎn)化的用處；在面對難題時，教師誘導(dǎo)學(xué)生逆向思考，從特殊到一般尋求證明思路，助力活動經(jīng)驗的自然積累；面對圓周角的推論，教師以追問的方式引領(lǐng)學(xué)生在聯(lián)想中擺脫問題的束縛.

3.2 溝通現(xiàn)實，創(chuàng)造突破口

本課中，教師從日常生活中選擇素材，用“監(jiān)視器問題”推動學(xué)生深入探究，用基于生活經(jīng)驗的問題串化解學(xué)生的思維難點，用“電影院的座位排列問題”滲透圓周角的生活價值.在“問題串”的外部引導(dǎo)下創(chuàng)新了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，使其最終將探究經(jīng)驗內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)自我提升.

總之，以“問題串”為主線的教學(xué)關(guān)系到學(xué)生思維的深度與廣度，影響著教學(xué)的效度，因此有理由相信以“問題串”為主線在深化幾何定理教學(xué)中將會得到廣泛應(yīng)用.