關注教學細節，誘發深度學習

若數學教學一直停留在淺層的理解、記憶和應用上，那么學生的學是被動的、消極的.在教學中，教師要關注教學細節，把握好教學時機，通過情境創設、巧妙提問、變式探究等活動誘發學生深度思考，引發深度學習，落實數學素養.

1 巧借“意外”，引發深度教學

在數學教學中，為了確保課堂教學效果和教學品質，教師會根據教學內容和本班學情精心預設教學活動.但課堂是動態變化的，因受學生因素、環境因素等一些不可控因素的影響，課堂教學中可能會出現一些意外.對于這些意外，教師要合理分析，巧妙應用，以此通過深度的挖掘讓深度教學自然而然地發生.

案例1確定圓的條件

在“圓的定義”教學中，根據教學預設，教師指定一位學生上臺畫圓，其他學生認真觀察畫圓過程，以此通過動手操作讓學生更好地體驗圓，提煉出確定圓的兩個要素即圓心和半徑.在課堂上，教師根據預設讓學生演示畫圓的過程，但是學生在畫圓時圓規的腳打滑，學生繪制出來的圖形與圓明顯不同.為了彌補這一遺憾，教師決定自己畫圓，為了避免剛才情況的再次發生，在繪制前刻意在圓規腳的一端按了按，沒想到這端固定住了，另外一端卻打滑了，因而也沒有成功畫成圓.在教學中，大多教師可能會重新繪制圓，從而按照預設繼續開展教學活動.不過，筆者在教學中選擇利用這個意外，讓學生思考：“為什么剛剛繪制的兩個圖形都不是圓呢？”學生通過思考、交流，發現第一次沒有畫成圓，是因為固定了半徑，沒有固定圓心，而第二次恰恰相反，是固定了圓心，卻沒有固定半徑.找到問題的根源后不難發現，若想繪制圓，需要固定圓心、固定半徑，由此亦可提煉出確定圓的兩個要素.

在本案例教學過程中，教師尊重意外，引導學生思考“畫不成圓”的原因，通過交流達成了共識，提煉出確定圓的兩個因素.

2 借助“想當然”，促進深度學習

在數學學習過程中，經常會出現一些“想當然”的現象，其反映出學生的思維缺乏嚴謹性，在沒有形成完善的合情推理的知識鏈時就急于給出結果，從而因驗證過程的缺失而影響學習效果.“想當然”現象的存在為數學學習帶來了阻礙，在日常教學中，教師要讓學生去探究“想當然”背后的知識鏈，引導學生進行科學推理與驗證，從而讓學生的思維在操作、觀察、猜想、反思、驗證的過程中從低階走向高階[J].

案例2探究“圓O上離點A最近的點”

師：已知點A是圓O外一點，請畫出圓上離點A最近的點.

生1：過O，A兩點作直線OA，直線OA與圓O交于M，N兩點.如圖1，點M離點A最近.

師：為什么？

生1：很明顯啊.

師：我們知道數學是一門嚴謹的學科，在解答時一定要做到有理有據.你們有沒有辦法證明點M離點A最近呢？

生2：根據以前所學，若想證明“最近”，可能會用到以下兩個知識點.一是兩點之間線段最短；二是垂線段最短.顯然本題從“兩點之間線段最短”這一知識點出發更容易驗證.于是我想到在圓O上任取一點C（異于點M），這樣只要證明AMlt;AC即可.連接OC，AC，在△OCA中，OC+ACgt;OA=OM+MA.又OC=OM，故ACgt;AM.

師：非常好！利用三角形三邊關系順利完成了驗證.

師：認真觀察圖1，大家是否還有其他發現呢？

生3：點N是圓上距離點A最遠的點.在圓O上任取一點C（異于點N），總有OA+ON=OA+OCgt;AC，故AN最長.

師：非常好的發現.剛剛我們研究的點A在圓外，若點A在圓內，你能找出圓上離點A最近和最遠的點嗎？

接下來，在已有經驗的基礎上，教師讓學生繼續探究，以此深化對知識的理解.在解題時經常會出現一些“想當然”的現象，在教學中，要盡量避免那些“想當然”，要引導學生進行科學的推理和驗證，以此確保結論準確、有效.

3 利用“變式探究”，引發高階思維

通過有效的“變式”可以深化對概念、定理等知識的理解，有利于提升學生的舉一反三能力，實現知識的融會貫通.同時，變式探究在培養學生“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”的能力中也發揮著不可替代的作用.在教學中，教師可以通過“發散式”追問引導學生進行自主探究，讓學生認清知識的本質，領悟蘊含的數學思想方法，提升數學素養[J].

案例3“圓心角、弧、弦關系定理”的應用

在學習了“圓心角、弧、弦關系定理”后，學生理解了在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧（同優弧或同劣弧）、兩條弦中，只要其中一組量相等，那么其他兩組量也會分別相等.在此基礎上，教師讓學生思考以下問題.

問題1如圖2，在圓O中，若AB=2CD，則∠AOB=2∠COD，AB=2CD是否成立？

生1：我認為∠AOB=2∠COD，AB=2CD都成立.

生2：我認為∠AOB=2∠COD，ABlt;2CD.

師：看來大家有不同的意見，請大家驗證一下，到底哪個結論是正確的呢？

生3：在AB上取其中點E，則AE=BE=CD，于是可得∠AOE=∠BOE=∠COD，所以∠AOB=2∠COD.

師：很好.接下來誰來說一說，線段AB與CD存在怎樣的數量關系呢？

生4：根據定理易得AE=BE=CD，在△ABE中，ABlt;AE+BE，即ABlt;2CD.

師：說得很好，同學們通過取弧的中點，將兩倍弧轉化為等弧問題，運用已學知識驗證了結論.通過以上探究，你有哪些收獲？

生5：在應用定理時不要盲目地套用，要學會運用轉化與化歸的思想進行轉化.

生6：當條件改變時，結論往往也會發生改變，要學會用發展的眼光看問題.

通過以上探究，學生的學習興趣高漲，教師繼續給出問題，讓學生分析并解決問題.

問題2在圓O中，如果∠AOB=2∠COD，那么AB=2CD，AB=2CD是否成立？

學生通過利用∠AOB的平分線，易知AB=2CD，ABlt;2CD.

師：在此基礎上，你還能繼續提出問題嗎？

生7：在圓O中，若AB=2CD，則AB=2CD，∠AOB=2∠COD是否成立？

…………

4 利用“關系”，落實數學素養

數學知識不是孤立存在的，它們之間存在著千絲萬縷的聯系，可以說數學教學就是研究這些關系的教學.在初中數學教學中，教師要有意識地引導學生從這些“關系”入手，將一些相關、相似的知識通過橫向、縱向拓展編制成知識網，以此構建完善的認知，培養學生思維的多樣性、靈活性、創造性.

案例4點與圓、線與圓、圓與圓位置關系的融合

師：通過與所學知識進行類比，我們得到“兩圓外離dgt;r1+r2”，對此你還有什么疑問嗎？

生1：以上結論是通過類比和遷移的方式得到的猜想，缺乏一定的嚴謹性.猜想后應該證明，這樣才能確保結論的科學性、可靠性.

師：非常有道理！需要如何證明呢？

生1：要分兩步證明.①由兩圓外離得到dgt;r1+r2；②由dgt;r1+r2得到兩圓外離.

師：很好，請大家交流一下，看看具體如何證明.

生2：設O1O2=d，圓O1與圓O2的半徑分別為r1，r2.由兩圓外離得到dgt;r1+r2易證.如圖3，連接O1O2，分別交兩圓于A，B兩點，故d=O1A+AB+O2B=r1+r2+AB，故dgt;r1+r2.

師：“由dgt;r1+r2得到外離”該如何證明呢？

生3：令點B為圓O2上一點，且離圓O1最近.由于dgt;r1+r2，所以d-r2gt;r1，也就是O1Bgt;r1，這樣就說明圓O2上離圓O1最近的點都在圓O1外，所以圓O2上每個點都在圓O1外.同理可證圓O1上每個點都在圓O2外，故兩圓外離.

師：非常好，這樣將問題轉化為點在圓外的問題，利用已有知識解決了問題.根據以上證明的方法，如何證明dgt;r直線與圓相離呢？

以上將兩圓外離、直線與圓相離用點與圓的關系加以解釋，實現了知識的相互溝通，促進了理解的深化，培養了學生的邏輯思維能力，提升了思維的品質，實現了知識的融會貫通.

參考文獻：

[1]馬愛珠.關注細節，推進數學課堂動態重構[J].名師在線，2021（4）：38-39.

[2]徐亮.從深度學習角度談初中數學教學[J].數理化解題研究，2021（35）：36-37.