基于學科核心素養的三角形全等的判定教學設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將數學課程要培養的學生核心素養概括為“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.要想達到基于核心素養教學的基本要求，核心素養就要體現在教學設計的方方面面，如教學目標的制定、教學環節中的巧思、優質問題的設計等.“全等三角形”在中學數學占據較大的比重，以全等三角形的“角邊角”判定為例進行教學設計，其中蘊含著深刻的價值可供教師發掘.

1 立足核心素養，明確教學目標

基于學科核心素養的教學設計，首先應該以發展和實現學生的數學核心素養為導向來制定教學目標，同時圍繞“四基”“四能”的外在表現來確定.在喻平教授撰寫的《核心素養指向的數學教學目標設計》的啟發下，筆者設計了如下符合初中數學核心素養的“三角形全等的判定（ASA）”的教學目標，如表1：

2 把握核心素養，做好前期準備

本節內容是繼全等三角形的概念和性質以及兩種判定方法“邊邊邊”“邊角邊”之后的又一全新判別內容，同時為后續的幾何證明奠定基礎，具有承前啟后的地位.該階段的學生具有較強的觀察能力、操作能力和猜想能力，已經具有獨立探索、合作交流的習慣和基本的數學活動經驗.學生的思維能力、推理能力正處于關鍵的上升期，但學生的思維廣闊性、靈活性、縝密性有所欠缺.本節的教學重點在于理解“角邊角”判定定理，并能利用它判定兩個三角形全等；教學難點則是引導學生發現“角邊角”這一判定三角形全等的定理并靈活運用到具體問題的解決中.

3 重視核心素養，融入過程設計

3.1 情境直達，趣味聯動

問題1最近你們的音樂老師王老師跟我透露，為了讓音樂課更加豐富多彩，提升同學們的音樂素養，她將帶領你們學習一種新的樂器：三角鐵.因此學校要購進一批三角鐵，為了保證統一性，要求每一批三角鐵的規格必須一致.當然，三角鐵的音質會由專業音樂老師來檢查把關，王老師托我幫一個忙，先從外形上保證這些三角鐵是一模一樣的.

追問1：如果將這些三角鐵抽象成同學們熟悉的三角形的話，那就是三角形全等的問題嗎？

追問2：怎么確定這些三角形全等呢？

師生活動：教師展示三角鐵的實物圖（圖1），學生欣賞圖片并思考問題.

設計意圖：創設問題情境、培養問題意識，是提升數學學科核心素養的基礎.將“三角鐵”抽象為三角形，發現新問題，感悟“用數學的眼光觀察現實世界”的意義，培養抽象能力.通過問題1建立數學與其他學科之間的聯系，提高學生的學習興趣和求知欲，順利引出新課.

問題2請同學們一起回顧，我們前兩節課學習的判定三角形全等的定理都有哪些呢？

追問1：它們可以用來解決今天的問題嗎？

幾位細心的同學發現，三角鐵有一個小小的缺口，有兩條邊和一個角是不完整的，所以不能用“邊邊邊”和“邊角邊”來判定，否則可能會出現誤差.

追問2：我們發現三角鐵有兩個角和它們的夾邊是完整的，那么在只知道兩個角和它們的夾邊對應相等的情況下，可以證明兩個三角形全等嗎？

師生活動：教師引導學生回顧前面所學的知識，提出新問題;學生回顧之前的判定，思考問題.

設計意圖：基于建構主義學習理論的基本觀點，教學要促進學生的知識建構活動，如果原有的知識經驗不能解決新的問題，這樣就自然引出了新的知識.培養學生探究意識，為提升核心素養創造機會.

3.2 動手操作，探究新知

問題3按照前兩節課探究“邊邊邊”和“邊角邊”的方式，繼續請每個組的組長任意畫出一個△ABC，組員利用手中的圓規、直尺再畫一個△A′B′C′，根據我們今天要探究的對象三角形的兩角及其夾邊，要使得A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，把畫好的三角形剪下進行對比，兩個三角形會重合嗎？

師生活動：教師示范尺規作圖具體步驟.學生觀察，模仿練習.

設計意圖：在前面探究“邊邊邊”“邊角邊”的基礎上，學生已經基本具備了尺規作圖的意識和能力，但操作過程中所蘊含的方法和技巧仍需教師來引導并示范，教師要高屋建瓴揭示數學本質，明晰作圖背后深藏的數學原理.通過小組合作、觀察模仿，學生積累了尺規作圖的數學活動經驗，可為之后探究新的幾何知識、解決幾何問題奠定基礎.

得出結論：通過動手實驗發現，兩個三角形重合，由探究可以得到“兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）”這一基本事實，用它可以判定兩個三角形全等.

問題4類比前兩節課總結的“判定全等三步法”，用幾何語言表述今天的判定方法，請同學們嘗試自主完成.

師生活動：教師總結并板書，規范書寫步驟，強調易忽略的部分和注意事項.學生認真記錄.

設計意圖：尺規作圖和最后的知識總結都類比前兩節課的探究過程，教師引導之后為學生提供思考和總結的空間，創設讓學生自主探究的機會，培養學生思維并鍛煉其能力.

3.3 牛刀小試，應用新知

兩道基礎題型作為鞏固訓練，此處省略，只展示第三道綜合性題目.

例如圖2，點B，C，D在一條直線上，點A，C，E在一條直線上，C是線段BD的中點，且AB∥DE，求證：△ABC≌△EDC

分析：通過線段平行找到對應角相等是解本題的關鍵.根據兩直線平行內錯角相等，可得∠A=∠E，∠B=∠D；還有一個隱含條件對頂角相等，即∠ACB=∠ECD；結合C是線段BD的中點可得BC=CD.相等的角有很多，學生選擇哪些條件證明△ABC≌△EDC也是本題的關鍵.

選擇兩位學生的解題步驟進行展示：

學生一的解題步驟：

證明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠D（兩直線平行，內錯角相等）.

∵C是BD的中點，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已證），BC=CD（已證），∠ACB=∠ECD（對頂角相等），

∴△ABC≌△EDC（ASA）.

學生二的解題步驟：

證明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠E，∠B=∠D（兩直線平行，內錯角相等）.

∵C是BD的中點，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已證），∠A=∠E（已證），BC=DC（已證），

∴△ABC≌△EDC.

追問1：第二位同學的證明方法正確嗎？（學生對這個證明產生了爭議.）

追問2：有人說這位同學的證明不符合我們今天的“角邊角”的判定條件，但是老師認為這個方法是正確的，為什么呢？我們下節課再來揭曉.

師生活動：教師引導，準確示范解題過程并強調細節，學生記錄并總結方法.教師布置課下思考題——利用第二位同學選擇的三個條件，即∠A=∠E，∠B=∠D，BC=DC，能否證明△ABC≌△EDC？

設計意圖：一題多解，產生爭議，引發學生思考和討論，深化對“角邊角”判定的理解和應用，同時為下節課的“角角邊”判定埋下伏筆.發展學生質疑問難的批判思維和實事求是的科學態度.

3.4 回望歷史，重現新知

問題5請同學們仔細閱讀泰勒斯測量遇難輪船距離的故事，交流討論，在泰勒斯的測量方法中，蘊含了怎樣的數學原理，并試著用數學語言描述.

分析：如圖3，在海邊燈塔上進行測量，直立一根可以原地轉動的豎桿EF（垂直于地面），在其上點A處為測量工具.首先將測量工具指向遇難輪船B，然后旋轉測量工具指向沙灘地面某點C，根據“角邊角”的判定方法，可以得到兩個三角形全等，則CD=BD.在沙灘上測得C，D間的距離，即可得到遇難輪船到海岸的距離.

師生活動：教師展示泰勒斯的故事，引導學生發現問題；學生聯系所學知識思考問題.

設計意圖：通過再現歷史中的問題情境，鞏固新知識，感悟“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”，培養模型觀念和應用意識.

4 教學反思

基于學科核心素養的教學設計，最重要的是在教學目標的制定上要明確以核心素養為導向，在過程設計上要思考貫穿核心素養的策略.第一，目標前置.精讀教材與課標，將如何促進目標的達成、評價目標是否達成等問題貫穿目標制定的全過程.第二，優質情境的創設.數學教學的情境創設要在保證真實性的基礎上增加一些趣味性或藝術性，要能夠充分吸引學生的注意力，也要發揮知識本身的內在價值.本文的情境創設將傳統的“三角形玻璃碎片問題”改變為認識新的樂器“三角鐵”，更具藝術性，“三角鐵”的外形也更加符合三角形“角邊角”的數學模型，體現了“會用數學的眼光觀察現實世界”的核心素養.第三，優質問題設計.在新知識的應用環節，要讓學生充分感悟“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”.本文在例題的設置上，選擇了一道一題多解的題目，引發了學生的激烈討論，從中發展學生質疑問難的批判性思維，養成積極探索的學習習慣，設置懸念，為下一節課“角角邊”的判定奠定基礎，串聯起本節課和下節課的內容.然后從數學史出發，通過歷史故事的再現，學生從中受到啟發，將思維轉變到問題情境中，與歷史上偉大的數學家進行穿越時空的對話.通過解決問題鞏固所學知識，培養模型觀念和應用意識，發展數學抽象、數學建模核心素養.