單元整體視角下的二次函數章首課教學設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養的關聯.這要求教師在教學實際中做到眼中有“樹木”，心中有“森林”.單元教學第一課，要在為什么學、學什么、怎么學，這三個維度上做探究.教師有意識地從單元整體視角設計教學，不僅有利于學生更深刻地理解數學知識，更有利于學生感受知識建構的內在邏輯關系.筆者就如何建構單元整體教學，落實數學核心素養，結合蘇教版九年級下冊“5.1二次函數”課堂實錄，與同行交流.

1 課堂教學實錄

1.1 創設情境，引入新知

師：我們知道數學來源于生活，用數學的眼光看生活中的很多事情，就會有不一樣的發現.

師：如圖1，在這個變化過程中，你能寫出哪些式子？

生1：c=2πr，s=πr2.

師：周長c是半徑r的函數嗎？面積S是r的函數嗎？

生1：是的.對于兩個變量x，y，一個變量y隨另一個變量x的確定而唯一確定，就稱y是x的函數.c隨r的確定而唯一確定，S隨r的確定而唯一確定.c是r的函數，S也是r的函數.

師：非常棒！同學們認可嗎？掌聲鼓勵一下！

師：我們再來看看下面生活中的例子，分別寫出它們的表達式.

（1）一個游泳池容積為5 000m3，注滿泳池所用的時間t（單位：h）與注水速度v（單位：m3/h）的關系是：t=.

（2）用長16m的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，若長方形的長為xm，則面積y=.

（3）彈簧原長10cm，在彈性限度內每掛1kg重物就伸長0.5cm，則彈簧總長y（單位：cm）與所掛重物質量x（單位：kg）之間的關系式是y=.

（4）一面長與寬之比為2：1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是120元/m2，邊框的價格是30元/m，加工費為45元，設鏡面的寬為xm，則總費用y=.

師：這些是函數嗎？

生齊聲：是.

師：這些里面哪些是我們學過的函數？

生6：c=2πr，y=10+0.5x是一次函數，t=5 000v是反比例函數.

師：什么是一次函數和反比例函數？

生7：形如y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）的函數是一次函數.

生8：形如y=kx（k為常數，k≠0）是反比例函數.

師：很好！那這些我們還沒有學過的函數有什么共同點嗎？

生9：都有二次項.

生10：有點像一元二次方程.

生11：都是整式.

師：你能試著給它們起個名字嗎？

生12：二次函數.

師：你能結合一元二次方程并類比一次函數和反比例函數給二次函數下個定義嗎？

生13：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數且a≠0）的函數叫做二次函數（板書定義.）

師：非常聰明！我們把y=ax2+bx+c（a≠0）稱為二次函數的一般式，這里a，b，c分別是二次項系數、一次項系數和常數項.

師：為什么限制a≠0？

生14：a=0就沒有二次項了，所以a不能等于0，但b和c可以為0.

師：哦，b，c都為0時也是二次函數.你有過類似的學習經驗嗎？

生15：比如一次函數y=2x+1與y=2x.

師：一次函數y=kx+b，在b=0時是特殊的一次函數即正比例函數，所以二次函數中b=0或c=0時也是二次函數.

師：值得一提的是，在實際問題中，還要注意自變量的取值范圍.你能說出這幾個函數自變量的取值范圍是什么嗎？

生16：第（2）題中0＜x＜8，其他實際問題都是x＞0就可以了.

師：非常好！請同學們判斷下面哪些是二次函數？如果是，請說出其中的a，b，c；如果不是，請說明理由.

（1）y=3x2-2；

（2）y=x2+1x；

（3）y=（x－2）2+1；

（4）y=2x3－3x2+x+1；

（5）y=（x－3）2－x2；

（6）y=ax2+bx+c.

師：項和系數一定要帶上前面的符號，并且注意二次函數左邊是因變量y，右邊化簡后是關于x的二次整式.

1.2 立足本位，統領全章

師：接下來我們還會研究哪些方面？

生17：圖象、性質、應用.

師：你是怎么想到的？

生18：之前就是這樣學習一次函數和反比例函數的.

師：這位同學說得非常好，這里體現了什么樣的思想方法？

生：類比思想！（這時班級大部分同學已經想到了類比學習.）

師：那我們就直接研究y=ax2+bx+c（a≠0）？

生19：不是的，應該從最簡單的開始研究.

師：哦，最簡單的？哪個二次函數是最簡單的？你是怎么想到的？

生20：y=ax2（a≠0），從特殊到一般嘛.

生21：老師我覺得最簡單的應該是y=x2.

師：你還給a賦了個值對吧？最簡單的二次函數就是y=x2，我們先從這個函數開始研究，看能不能得到y=ax2的性質，同學們同意嗎？

生：同意！

師：接下來研究什么？

生22：接下來研究y=ax2+c或者y=ax2+bx.

師：為什么呢？

生23：因為要從最簡單的開始，剛才y=ax2中b，c都等于0，下面就依次取b=0或c=0就可以了.

師：大家贊同嗎？

生24：老師，我覺得是不是可以把y=ax2上下左右平移，因為之前我們學過一次函數的平移，“上加下減，左加右減！”（班級好多同學回憶起來了，都表示贊同.）

師：掌聲鼓勵！他能想到類比一次函數來學習二次函數，還幫我們回憶了之前學習的函數圖象平移的口訣“上加下減，左加右減”.太厲害了！

師：函數圖象是由無數個點組成的，想一想，如果一個點上下平移的話，橫坐標不變，縱坐標改變，那么反映在關系式上應該是怎樣的？

生25：y=ax2+b（a≠0）.

師：很好，這里為防止與一般式中的b搞混，將y=ax2上下平移后記為y=ax2+k的形式.

師：那么左右平移后表達式又是什么樣的？

生26：左右平移橫坐標發生改變，縱坐標不變，反映在式子上應該是y=a（x+h）2形式.

師：非常好.那么接下來呢？又會研究什么？

生：上下左右一起平移.

師：那一起平移，表達式應該是怎樣的？

生27：y=a（x+h）2+k.

師：大家看這個式子熟悉嗎？

生28：熟悉！這就是配方嘛！

師：對，就是對函數右邊配方，這樣的函數表達式稱為二次函數的頂點式.展開就是二次函數的一般式了.

師：這樣，我們整個研究函數的脈絡就十分清楚了.本章基本的研究思路就是這樣的，但是具體到對每個函數進行研究的時候，還是要先畫出函數圖形，然后由圖象得到性質.這就是數形結合.

1.3 反思盤點，小結梳理

師：今天我們一起研究了一個新的數學模型——二次函數，做了一個初步的探究，通過這節課的學習，你有什么收獲？

生29：我知道了二次函數的一般式和頂點式.

生30：我知道二次函數y=ax2+bx+c中a不能為0，但是b和c可以.

生31：我知道二次函數要研究它的概念、圖象、性質，以及路徑是從最簡單的開始，然后對最簡單的二次函數圖象進行上下左右平移從而得到一般的二次函數的性質.

師：嗯，體現了從特殊到一般的思想.

生32：我知道二次函數的研究是類比一次函數的學習，體現了類比的思想.

師：同學們總結得非常棒！今天大家一起學習一個新的模型——二次函數，無論是研究的內容還是研究方法都是類比一次函數.通過類比，我們知道函數的研究從定義、圖象、性質幾個角度展開.后面我們還將繼續研究二次函數的應用.在思想方法層面，我們用到了建模思想、類比思想、數形結合思想.那么，二次函數的圖象是什么樣的？a，b，c的取值不同對函數圖象有什么影響？二次函數有什么具體的性質？還可以幫助我們解決哪些生活中的問題？讓我們一起期待后面的學習！謝謝大家本節課的精彩發言！

本節課板書如圖2所示.

2 教學反思

2.1 借助相同情境，引出不同模型

學習函數以及一次函數的概念時，我們曾見過“一石激起千層浪”這幅圖片.二次函數概念的引入也用了這幅圖片，只不過我們關注的焦點由“一個變化的過程，有兩個變量”轉向“不斷向外擴展的圓的周長是該圓半徑的函數”，再轉為“圓的面積是該圓半徑的函數”.我們通過研究這兩個函數表達式的差異引出二次函數的概念，然后通過不斷提問進一步理解二次函數的概念.從簡單的、熟悉的實際問題中抽象出二次函數的模型，感受二次函數與生活實際的密切聯系，既揭示了生活與數學的聯系，又體現了教材前后呼應的整體性.學生經歷數學概念的形成過程，抽象能力和歸納概括能力得到了培養.這樣的設計，突破了本節課的重點和難點.

2.2 強化數學思想，進行整體建構

二次函數是繼一次函數和反比例函數之后初中階段系統研究的另一個基本函數，既繼承了二者的研究思路及方法，又有多處體現了其自身的獨特性.本節課的設計從整體建構的視角出發，運用問題串的形式，引導學生類比、思考、討論.對于一個新的函數應該研究哪些內容、如何研究等，學生能做到心中有數.從整體上認識二次函數的概念、圖象、性質，為本章后續的深入研究做好充分的準備.教師設計好問題，學生親身經歷發現、提出、分析和解決問題的環節，這也充分體現了“學生為主體，教師為主導”的教學理念.通過層層深入的問題引導，學生不僅獲得了知識，還學會了思考及如何進行數學學習，并能用數學的語言進行表達與交流.

2.3 關注單元整體，拓展認知高度

單元起始課不應拘泥于教材中第一節課的教學內容，其功能與價值在于為本單元學習提供更加廣闊的視角，在數學知識、技能和思想層面，形成一個“整體”，為本單元的后繼學習與探究確定目標、設計路線、明確方法.整體把握教學內容，注重前后內容、方法之間的聯系，才能讓學生深刻了解數學知識的產生和來源、結構與關聯、價值與意義，從而提煉出能打通數學知識之間關聯、發揮核心作用的數學概念和思想方法，給學生營造“既見樹木，又見森林”的整體感.