構建“共生”課堂培養數學素養

摘要：構建“共生”課堂，可以發展學生的數學知識、數學思維、數學能力、數學意識、數學智慧，從而發展學生的數學核心素養.文章研究者以“平方差公式”的教學為例，從對“共生”的理解出發，詳細闡述了“共生”課堂的實施，并提出構建“共生”課堂需在不斷提問中推動思維生成，在互動交流中推動能力生成，如此才能培養學生的數學素養.

關鍵詞：共生；平方差公式；數學素養

1 問題的提出

“共生”一詞的提出源于一道思考題.上周的組內教研活動中，教師探討這道思考題究竟有多少種解法，筆者給出了本班學生的各種解題方法，組內教師紛紛為學生開闊的思維所嘆服.事實上，這源于全班的智慧共生，從而悄然萌生了“共生”課堂.

“共生”的本意即為“共同生成”，“共生”課堂就是讓學生在與數學、與同伴、與教師、與教學內容的互動中生成思維、智慧和能力.因此，“共生”課堂應以學生為主體，以問題為依托，以體驗為基石，以思考為關鍵，以發展為目的.唯有構建“共生”課堂，才能發展學生的數學知識、數學思維、數學能力、數學意識、數學智慧，從而發展學生的數學核心素養.那么，該如何構建“共生”課堂呢？下面筆者以“平方差公式”的教學為例，談談“共生”數學課堂的實施策略.

2 “共生”課堂的實施

環節1：巧妙設問，直接入課

問題1經過課前預學，想必你們對運用平方差公式進行因式分解已經有了一定的認識和理解，誰能闡述一下對它的理解？

學生活動：由于預學中學習單的引領，不少學生已然對其有了初步認識，從而很快作出闡述——我知道了平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”，就是經計算使得積的形式變成和的形式；而因式分解和它剛好相反，即將一個多項式的和的形式變成積的形式.

追問1：那是不是就是說“因式分解是逆用了平方差公式”？我們一起來觀察a2-b2=（a+b）（a-b），該公式左邊有什么特征？右邊呢？

學生活動：學生很快給出解答“這個公式的左邊是兩項式，即兩數平方差；而右邊是兩數和與兩數差的相乘式”.

教師總結：從上述闡述可知，a2-b2=（a+b）[J]5（a-b）的左邊兩項式的符號為一正一負，而右邊為兩多項式的積.

問題2以下式子可以用平方差公式因式分解嗎？請在嘗試后一一說明.

①-1+x2；②-4-9x2；

③2x2-y2；④25x2-16y2.

學生活動：問題拋出后，學生自然而然地進行嘗試，并很快有了想法.對于式子①，有學生認為該式為兩個數之和，因此不能運用平方差公式；但這樣的想法很快就被否決，因為有學生發現可以將其改寫成x2-1，而兩個數分別為x和1，符合且可以運用平方差公式.進一步，有學生提出式子②由于兩個數是同號的，因此不可用平方差公式，其余學生一致贊同.同樣，對于式子③，有學生立刻給出結論“可以運用”，因為兩個數分別為2x和y；但他的表達很快被否定了，有學生提出“由于2不是平方形式，因此不可運用”.最后，學生一致認為式子④可以用公式，因為其可以視為5x和4y的平方差，從而得到25x2-16y2=（5x+4y）（5x-4y）.

問題3對于上述四個式子，你們的分析十分到位，那你們是如何理解“兩數的平方差＝兩數和×兩數差”的？能具體說一說嗎？

學生活動：運用平方差公式，兩個式子要均可寫成平方的形式，同時需滿足兩個式子異號，結果就是兩個平方下的兩項和與兩項差的積.

環節2：自主提問，探究漸深

問題4下面就請一名學生出題，其余學生試著因式分解.

學生活動：“自主出題”這樣的開放性活動是學生喜聞樂見的，學生爭先恐后進行嘗試.首先，一學生拋出問題“因式分解：4x2-16y2”，很快有思維敏捷的學生給出答案“可以將其視為2x和4y的平方差，因此答案為（2x+4y）（2x-4y）”.在該生給出結果后，一學生很快發現錯誤，并指出“括號內還有公因式，答案應為4（x+2y）（x-2y）”.與此同時，一名學生提出不同解法“先提取公因式，再用平方差公式，得到相同結果4（x+2y）（x-2y）”，這樣就不會出現上面的問題，即“括號內仍有公因式”.接著，一名學生拋出一個有難度的問題“因式分解：（x-1）2-4y2”，這一問題極好地刺激了學生的數學思維.有學生在思考后給出想法“運用整體思想，兩個數分別是（x-1）和2y，進而得到分解結果（x-1+2y）（x-1-2y）”.進一步，還有學生拋出一個難度更大的問題“因式分解：（x-1）2-4（x+2）2”.有學生認為這里的兩數分別是（x-1）和4（y+2），計算出其結果為（x+4y+7）（x-4y-9）.對于上述想法，有學生很快提出質疑“這里應視為（x-1）和2（y+2）的平方差，若怕出錯也可以看作（x-1）和（2y+4）的平方差，經計算得出其結果為（x+2y+3）（x-2y-5）”.其余學生也紛紛認為后一名學生的想法是正確的，并得出在運用整體思想解決這樣的問題時，將二次項前的系數寫成平方形式，可以杜絕錯誤的發生.

教師總結：你們真是會思考、會反思、會提煉的好孩子！上述問題都是和a2-b2形式相同的二項式的差，不過此處的a和b可以是單項式和多項式中的一種.

環節3：深度探討，提煉方法

問題5下面，老師出一道題考考大家.因式分解：x2-4y2-2x+1.請大家相互討論，是否可以運用今天所學知識解決問題？

學生活動：學生展開了火熱的討論，很快有了想法，x2-4y2-2x+1中存在一個完全平方公式，可以將x2-2x+1轉化為（x-1）2，從而原題即可轉化為（x-1）2-4y2，這樣就和剛才的問題相同了.

教師總結：非常棒！你們可以靈活運用所學知識完成四項式的分解，真是太讓老師驚喜了！事實上，這種解法在后續的學習中還會用到……

環節4：有效變式，拓展延伸

問題6求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）.

學生活動：學生自主進行討論，并很快有了見解——根據今日所學觀察這個式子，都是兩數之和，那么配個兩數之差即可.因此，可以將原式乘（2-1），從而得出結果232-1.由此可見，解決這樣的問題是需要技巧的，觀察到原題中沒有兩數之差，那就給其補上兩數之差，這樣就能使用平方差公式了.

問題7本題還可以延伸嗎？

學生活動：有了上述問題的引領，學生各顯神通，得到如下變式：

變式1求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+1）.

變式2你能求出（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）個位上的數字嗎？

變式3求值：（3+1）（32+1）（34+1）……（316+1）.

變式4你能求出（4+1）（42+1）（44+1）……（416+1）個位上的數字嗎？

…………

3 “共生”課堂的感悟與思考

3.1 在不斷提問中推動思維生成

在“共生”課堂中，教師提出問題并引領學生自主進行深度思考和探索，探尋解決問題的策略，獲得思維的進階.與此同時，教師拋出問題引發學生提問，讓學生在質疑與爭辯中喚醒思考、挑戰、質疑、發現、超越等思維的激情，培養學生提出問題的能力，發展數學思維[J].本課中，教師拋出一個能引發學生質疑的問題，學生興致勃勃地參與到提出問題的環節中去，隨著思維的深入，所提的問題越發具有深度，使得學生在不斷提出問題和解決問題的過程中磨礪思維，極好地發展了高階思維能力[J].

3.2 在互動交流中推動能力生成

對于數學學習而言，整個過程都應是學習者與數學的共生過程.一是學生心靈與數學的共生過程，很好地在自主探究中生成數學能力；二是學生與學生圍繞數學的共生，也就是在互動交流中生成數學能力；三是師生間圍繞數學的共生，也就是教師作為引導者、合作者和指導者，圍繞數學知識提出問題，為學生能力的生成提供幫助.對于一節課而言，新知的構建、能力的發展都是通過師生共生，在互動交流中完成的[J].本節課中，教師在課始直接拋出問題引發學生的探索欲望，之后讓學生自主提問暴露思維，深化對平方差公式的理解，再通過拓展延伸深化學生的理解和認識.這樣的學習過程就是數學與師生的共生過程，從而有效推動了數學能力的發展.

總之，構建“共生”課堂就是教師將數學教學中所有要素進行有機整合，以最恰當、最有效的方式呈現出來，共同生成精彩的教學活動.在這樣的“共生”課堂中，師與生、生與生、數學與師生互動共生，最終達到培養數學素養的目的，實現學生的最優發展.

參考文獻：

[1]溫建紅.論數學課堂預設提問的策略[J].數學教育學報，2011，20（3）：4-6.

[2]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數學通報，2013，56（6）：5-8，66.

[3]張勇.在體驗中走向共生——初中數學共生課堂體驗式教學的嘗試與思考[J].理科考試研究，2017，24（8）：35-36.