二次函數問題的分類例析

摘要：二次函數由二次項、一次項以及常數項組成，二次項系數的正負、一次項系數的大小以及常數的正負都會影響二次函數的圖象特征、極值和在現實中的應用.文章借助初中數學經典習題研究了二次函數的特征與幾何關系，分析了不同情況下如何理解和解決二次函數問題.研究發現對二次函數問題進行分類解析具有重要的意義，能夠提升學生的對二次函數的理解和知識應用能力.

關鍵詞：二次函數；經典習題；分類討論；圖象性質

二次函數是初中數學中的基礎內容，其重要性不言而喻.對于學生來說，深入掌握二次函數的理論與應用能夠培養數學思維和解決問題的能力.二次函數問題的分類例析可以幫助學生在不同情況下更好地應用二次函數的知識.

1 有關函數表達式的基礎問題

例1根據下面的條件列出函數解析式，并判斷列出的函數是否為二次函數：

（1）如果兩個數中，一個比另一個大5，那么，這兩個數的乘積p是較大的數m的函數.

（2）在一個半徑為10cm的圓上，挖掉4個大小相同的正方形孔，剩余的面S（單位：cm2）是方孔邊長x（單位：cm）的函數.

（3）有一塊長為60m、寬為40m的矩形綠地，計劃在它的四周相同的寬度內種植闊葉草，中間種郁金香，那么郁金香的種植面積S（單位：m2）是草坪寬度a（單位：m）的函數.

分析：以上題目主要是針對二次函數的表達式設計的基礎類題目，考查學生對二次函數概念、特征掌握的熟練程度.第一小題根據題目給出的條件，可知函數的自變量是兩個數中較大的那個數m，而因變量是這兩個數的乘積p，因此，很容易列出關系式.第二小題根據題目給出的條件，可知函數的自變量是方孔的邊長x，而因變量是圓的剩余面積S.由于四個正方形孔的大小相同，則剩余的面積是由圓的面積減去四個正方形孔的面積得到的，因此很容易得出關系式.第三小題根據題目給出的條件，可知函數的自變量是草坪的寬度a，而因變量是郁金香的種植面積S.根據題意，綠地的形狀是矩形，而郁金香的種植面積是矩形綠地的面積減去草坪的面積，因此很容易得出關系式.

解：（1）這兩個數的乘積p與較大數m的函數關系為p=m（m-5）=m2-5m，符合二次函數的特征，屬于二次函數.

（2）剩余的面積S（單位：cm2）與方孔的邊長x（單位：cm）的函數關系為S=100π-4x2，是二次函數.

（3）郁金香的種植面積S（單位：m2）與草坪寬度a（單位：m）的函數關系為S=（60-2a）（40-2a）=4a2-200a+2 400.

2 有關二次函數與幾何的綜合問題

例2如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O為坐標原點，D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接CB交EF于點M，連接AM交OC于點R，連接AC，求△ACR的周長.

分析：本題主要考查對二次函數和幾何圖形的理解和應用.通過分析拋物線與坐標軸的交點、拋物線的頂點以及矩形的特點，求解拋物線的解析式，并利用幾何性質求解△ACR的周長.

（1）由已知條件可知，拋物線與x軸交點為A和B，坐標分別為A（x1，0）和B（x2，0）.同時，拋物線與y軸交點為C，坐標為C（0，c）.根據所給的矩形特點，可知點C，E的坐標，

便可輕松得出解析式.

（2）

根據題目要求，如圖1右圖，利用幾何性質，先計算出△ACR的各邊長，然后計算周長.

解：（1）由四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，可兩

C點坐標為（0，3），E點坐標為（2，3）.將C，E兩點坐標代入拋物線解析式y=-x2+bx+c，得

c=3，

-4+2b+c=3，

解得b=2，c=3.

故拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）由-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，則

A（-1，0），B（3，0）.

在Rt△AOC中，由AO=1，CO=3，可得

AC=OA2+OC2=10.

因為BO=CO=3，所以

∠OBC=∠OCB=45°，FM=BF=1.

因為RO∥MF，∠RAO=∠MAF，所以

△ARO∽△AMF，則ROMF=AOAF=13，解得RO=13.

所以CR=OC-OR=3-13=83，

AR=OA2+OR2=103.

故△ACR的周長為AC+CR+AR=10+83+103=8+4103.

3 有關二次函數的動點與極值問題

例3如圖2，拋物線y=-x2+bx+c經過點B（0，3）和點A（3，0）.

（1）求拋物線的函數表達式和直線的函數表達式；

（2）P是拋物線上的一點，并且落在第一限，連接PA，PB，求△PAB的面積S的最大值及此時點P的坐標.

分析：本題旨在讓學生通過已知點和條件，求解拋物線和直線的函數表達式，并運用二次函數的性質來解決動點和極值問題.第一小題比較簡單，根據點B（0，3）和點A（3，0），利用待定系數法即可分別求出拋物線和

直線的函數表達式.第二小題要在第一小題的基礎上，根據函數表達式求解動點P的區間，然后求解△PAB的最大面積和對應的點P的橫縱坐標.

解：（1）由拋物線y=-x2+bx+c經過點B（0，3）和點A（3，0），可得

c=3，

-9+3b+c=0.

解得b=2，c=3.

故拋物線的函數表達式為y=-x2+2x+3.

設直線AB的表達式為y=kx+m，

代入A，B兩點的坐標，得m=3，

3k+m=0，

解得k=-1，m=3.

故直線AB的函數表達式為y=-x+3.

（2）如圖3，過點P作PN⊥OA于點N，交直線AB于點M.

設點P的橫坐標為a，則點P的坐標為（a，-a2+2a+3），

點M的坐標為（a，-a+3）.

由點P，M在第一象限，可得

PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a.

所以S△PAB=S△PAM+S△PBM=12PM·OA=12×3×（-a2+3a）=-32a-322+278.

故當a=32時，S△PAB有最大值，最大值為278，此時點P的坐標為32，154.

4 有關二次函數的現實應用問題

例4大學畢業生小李自主創業，開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進價為20元/件，售價為30元/件，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價必須低于34元，設每件商品的售價上漲x元（為非負整數），每個月的銷潤為y元.

（1）求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍;

（2）利用函數關系式求出每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（3）利用函數關系式求出每件商品的售價為多少元時，每個月的利潤恰好是1 920元？這時每件商品的利潤率是多少？

分析：該題主要考查學生對二次函數的應用能力.學生需要運用二次函數的概念和相關知識，建立起銷售數量和售價之間的函數關系，并利用函數關系解決實際問題，如求最大利潤和利潤率.雖然此題有三個小題，但最主要的還是要寫出函數關系式，然后通過函數關系式來計算最值問題[J].

解：（1）由題意，得y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800，其中0≤x＜4，且x為正整數.

（2）由（1），可得

y=-10x2+80x+1 800=-10（x-4）2+1 960.

因為二次項系數a=-10＜0，由二次函數的圖象性質可知，當0≤x＜4時，y隨著x的增大而增大.

又x為正整數，所以

當x=3時，y值最大，最大值為1 950.

故當每件商品上漲3元，即每件商品售價為33元時，每個月可獲得最大利潤，最大利潤為1 950元.

（3）由題意，可得-10x2+80x+1 800=1 920，化簡得x2-8x+12=0，

解得x1=2，x2=6.

根據0≤x＜4可知，當x=2，即每件商品售價為32元時，利潤恰好為1 920元，此時每件商品的利潤率為

32－2020×100%=60%.

5 結論

二次函數的表達式決定了二次函數的圖象特征，如開口方向、與坐標軸的交點以及極值等.在實際應用中，可以借助二次函數解決復雜的幾何問題，發揮知識的實用性.因此，在教學和實際應用中，需要根據具體情況靈活運用分類討論的方法，以解決不同類型的二次函數問題[J].同時，文章也為二次函數問題的進一步研究提供了方向，鼓勵更多特殊情況下的分類討論方法的探索和應用.

參考文獻：

[1]高學賢.初中數學二次函數動點問題解題方法探究[J].數理天地（初中版），2023（17）：8-9.

[2]胡玉華.例析二次函數最值問題的解答方法[J].語數外學習（初中版），2023（8）：19-20.