“代數+幾何”綜合運用探究

摘要：本文中詳細探討了代數與幾何在中考數學中的綜合應用，并以2024年浙江中考數學真題為案例，深入分析了二者在解決實際問題時如何交織融合，最后給出了“代數+幾何”綜合運用能力提升的幾點策略.

關鍵詞：代數；幾何；中考數學；解題技巧

代數與幾何，作為數學學科的核心基石，在中考數學評價體系中占據了至關重要的地位.隨著數學教育模式的革新和深化，二者的交叉融合和綜合應用已成為中考數學試題的重要構成部分.因此，在復習備考階段，教師特別需要重視培養學生代數與幾何融合的解題思維，以應對考試中的多樣化挑戰.

1 代數與幾何的性質概述

代數，作為數學的重要分支，深刻揭示了數與符號間的內在邏輯.它超越了簡單的數值運算，利用符號、變量、方程等，構建起解析復雜問題的數學架構.在此框架中，符號不僅代表數值，更描繪出變量間的函數關系和動態變化.憑借代數工具，我們可以揭示和解釋自然界與社會現象中的規律性變遷.與之對應，幾何聚焦空間與形狀的本質.它研究點、線、面等基本元素，以及它們之間的位置關系和度量特性.幾何賦予圖形變換、對稱性、角度和面積等概念以精確的數學定義和實際應用.通過幾何，我們直觀地理解空間結構，可為解決與形狀、位置、大小相關的問題提供了強大的數學工具.

2 代數與幾何在中考中的綜合運用

2.1 真題再現

（2024年浙江中考數學第10題）如圖1，在ABCD中，AC，BD相交于點O，AC=2，BD=23，過點A作AE⊥BC交BC于點E，記BE長為x，BC長為y，當x，y的值發生變化時，下列代數式的值不變的是（）.

A.x+y

B.x-y

C.xy

D.x2+y2

解：如圖2，過點D作DF⊥BC交BC的延長線于點F.因為AE⊥BC于點E，所以∠AEB=∠DFC=90°.由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=DC，AB∥CD，則有∠ABE=∠DCF.

故△ABE≌△DCF.

所以AE=DF，BE=CF=x.

由勾股定理，可得AE2=AC2-CE2=AC2-（BC-BE）2=4-（y-x）2，DF2=BD2-BF2=BD2-（BC+CF）2=BD2-（BC+BE）2=12-（y+x）2，則4-（y-x）2=12-（y+x）2，即

（y+x）2-（y-x）2=8.

所以x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8，

化簡得xy=2.所以，當x，y的值發生變化時，代數式x的值不變的是xy.故選擇：C.

2.2 代數與幾何在中考中的綜合運用分析

在中考數學中，代數與幾何的綜合運用是一大考查重點，它展現了數學知識之間的內在聯系與統一性.近幾年的中考題目中，代數與幾何思想的綜合運用題目顯著增多，這要求考生不僅要熟練掌握代數、幾何各自領域的基礎知識，還要能夠靈活地將它們結合起來解決實際問題.具體表現類型包括但不限于：通過幾何圖形建立代數方程或不等式，如在直角三角形中利用勾股定理列出方程求解邊長；通過代數表達式描述幾何圖形的性質，如用二次函數描述拋物線的形狀和位置；利用代數和幾何知識共同解決復雜的圖形變換和幾何證明問題.因此，考生在備考時應注重代數與幾何知識的融合訓練，提高綜合運用能力.

3 “代數+幾何”綜合運用能力提升策略

3.1 夯實基礎

在提升代數與幾何的綜合運用能力之前，夯實基礎知識的掌握顯得尤為重要.代數與幾何的基礎知識不僅是數學學科大廈的穩固基石，而且為學生后續深入學習及應用高階數學概念提供了不可或缺的前提.在代數領域，學生應深入理解并熟練掌握方程、不等式、函數、數列等基本概念.方程代表等量關系，不等式描繪數值差異，函數描述變量間的依賴，而數列則是數的有序排列.在幾何領域，點、線、面、角、三角形、四邊形、圓等基本圖形及其性質的學習是幾何知識體系的基石.學生需對這些基本圖形的定義、性質及其相互關系有清晰的認識.只有掌握了這些基礎知識，學生才能為后續的綜合應用打下堅實基礎.因此，在追求深度與廣度之前，務必確保基礎知識的扎實與穩固.

3.2 深化理解內在聯系

代數與幾何之間存在著深厚的聯系，這種聯系超越了單純的學科體系定位，更深入到解題技巧和思維模式的層面.因此，在教學實踐中，教師應致力于引導學生領會代數與幾何之間的互補與交融，并鼓勵他們采用多元化、多維度的視角去理解和應對問題.首先，教師可以借助代數的精確和邏輯體系來指導學生解答幾何難題.在解析幾何的框架下，代數方程成為連接數與圖形的紐帶，使學生能夠通過求解方程準確地捕捉到圖形的位置、形狀及其特性.例如，教師可以指導學生求解兩條直線的交點，其本質在于求解兩個線性方程的解；還可以教授他們如何計算兩點間的距離，這也能通過代數公式實現.這種方法極大地簡化了計算流程，使幾何問題變得更易于理解.同時，幾何的直觀性和具象性也為解決代數問題提供了有力的支持.教師可以引導學生在面對復雜的代數問題時，借助幾何圖形來輔助理解，通過圖形的直觀表達和變換來揭示問題的本質和規律.比如，教師可以指導學生繪制函數的圖象，幫助他們更直觀地洞察函數的單調性、極值等特性；還可以教授他們如何利用幾何圖形的對稱性，簡化對復雜代數表達式的處理.

3.3 掌握常見題型和解題方法

（1）方程與幾何綜合問題

方程與幾何綜合問題通常涉及一元二次方程根的判別式、根與系數的關系，并結合代數式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組）、函數等知識.常見題型為：求代數式的值，如長度、面積等的表達式求解；求參數的值或取值范圍，如根據幾何條件確定一元二次方程參數的范圍；與方程有關的代數式的證明，如證明某個幾何性質可以通過代數方程表示.這類題目的解題方法主要是：①建立代數式.根據幾何條件建立代數式，如表示長度、面積等的表達式.②利用方程知識.利用一元二次方程的判別式、根與系數的關系等知識進行分析和求解.③結合代數運算.運用代數運算（如恒等變形、方程求解等）來解決問題.

（2）函數與幾何綜合問題

函數與幾何綜合問題以函數為主線，涉及函數的圖象、性質及方程等知識點.這些問題要求學生在理解函數圖象的基礎上，運用函數性質解決幾何問題.常見題型為利用函數圖象與x軸交點的橫坐標求解方程的根、根據函數圖象上點的坐標滿足函數的解析式判斷點的位置、利用函數性質（如單調性）判斷幾何圖形的性質或求解相關問題.這類題目的解題方法主要是：①分析函數圖象.根據題目描述，分析函數的圖象特點，如交點、對稱性、單調性等.②建立函數關系.根據幾何條件建立函數關系，如將點的坐標代入函數表達式.③利用函數性質.運用函數的性質（如增減性、極值等）求解幾何問題.

（3）直角坐標系中的幾何問題

直角坐標系中的幾何問題主要涉及點的坐標和幾何圖形的性質.這些問題要求學生利用直角坐標系中點的坐標來表示幾何圖形的位置、形狀等，并通過代數運算求解相關問題.常見題型為：在直角坐標系中求解直線、圓等幾何圖形的方程；利用點的坐標求解幾何圖形的面積、周長等；根據幾何條件判斷點在幾何圖形上的位置.這類題目的解題方法主要是：①建立坐標表示.利用直角坐標系中點的坐標表示幾何圖形的位置、形狀等.②運用幾何性質.根據幾何圖形的性質建立方程或不等式，并運用代數運算求解.③注意坐標變換.在求解過程中注意坐標變換和幾何變換的關系.

（4）幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題

幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題要求學生能夠對幾何圖形進行深入觀察和分析，通過探究和歸納提出合理的猜想，并運用幾何知識和證明技巧進行驗證常見題型為根據給定的幾何圖形觀察并歸納其性質或規律、根據歸納結果提出合理的猜想或假設、利用幾何知識和證明技巧對猜想進行驗證，并給出證明過程.這類題目的解題方法主要是：①觀察分析.仔細觀察幾何圖形的性質和特點，嘗試尋找其中的規律.②提出猜想.根據觀察和分析，提出合理的猜想或假設.③證明驗證.運用幾何知識和證明技巧對猜想進行驗證，給出嚴格的證明過程.

4 總結

綜上所述，代數與幾何作為數學領域的基礎分支，在中考數學評價體系中占據舉足輕重的地位.面對考試中的多元化挑戰，我們需要注重學生代數與幾何知識融合能力的培養.通過強化基礎知識的掌握、深化對二者內在關聯的理解，以及掌握常見的題型和解題策略，教師可以有效地引導學生更好地掌握代數與幾何知識，提高解題技巧，進而在中考數學中取得優異的成績.