一題多解強能力，一題多變提素養，多題歸一探本質

1 一題多解強能力

解題就是對提出的問題進行解答的過程，是一種將未知問題化為已知問題的過程.這個過程需要針對學過的知識點進行歸納整理轉化，將復雜問題轉化為簡單問題，將難懂問題轉化為已把握問題，這更需要進行數與形之間的轉換，也需要在宏觀與微觀之間進行等價變化.解題能力是學生數學素養中表現最為突出的一種能力，數學思想的運用更是能力的一種著重體現.對有些問題，如果能采用多種方法進行滲透解答，于學生而言是一種強能力的體現.

例題1如圖1所示，已知∠MON=120°，P，A分別為射線OM和射線ON上的動點，將射線PA繞著點P逆時針旋轉30°交射線ON于點B，試求OAAB的最大值.

解法1：考慮到問題情境中只有兩個已知角度∠MON和∠BPA，此時根據對所學知識點的把握和經驗了解到可以用圓的知識來解答，故考慮利用“隱圓”來突破，如圖2.

以PB為底作等腰三角形BDP且PD＝BD，過點B作BH⊥射線PD于點H，過點O作OC⊥PD于點C，可得∠BPA＝∠PBD＝30°，求得∠BDP＝120°，∠BDH＝60°，推出點P，O，D，B在以點E為圓心的圓上，當OE⊥PD時，OC的值最大.根據相似三角形的性質，得OAAB=OCBH.根據等腰三角形的性質，得∠EPB＝∠EBP＝30°，求得PD＝2PC，得到OC＝OE-EC＝PD-32PD，則BH＝BD[J]5sin∠BDH＝32BD＝32PD，于是得到OAAB的最大值為233-1.

解法2：根據問題情境，考慮到求OAAB的比值問題，此時可以聯想相似三角形的對應邊比值問題，故可構造相似三角形進行解答.

要使OAAB最大，只要ABOA最小，則可以得到ABOA+1最小，即OBOA的值就最小，若OB為定值，則OA最大即可滿足要求.

根據∠BPA=30°，可以利用“一線三等角”模型構造相似三角形.如圖3，在射線OM上作OC=OB，再作AF⊥OB于點A，根據條件可得∠AFO=30°，

則可以得到△BCP∽△PFA，

此時可令OC=OB=1，再設AO=a（0＜a＜1），CP=b，則可得到BC=3，OP=1-b，OF=2a，AF=3a.根據BCPF=CPFA，得到31－b+2a=b3a，建立關于b的一元二次方程，因有解，可利用Δ≥0解得a≤1－32，得到OA的最大值，即得OAAB的最大值為233-1.

解法3：如果我們轉化解題思路，將題干中的動點P，B固定，讓點O運動，則點A也隨之運動，點E為定點，作BC⊥PA，垂足為點C，可知BC長度始終不變，此時∠BOP=120°也始終不變，

故可作△POB的外接圓Q，如圖4，作OD⊥AP，垂足為點D，此時設PQ=BQ=2m，則PB=23m，可得BC=3m，根據△OAD∽△BAC，得到OAAB=ODCB=OD3m.當O運動到PE的中點時，OD最大，此時值為2m－3m，可得答案.

2 一題多變提素養

題海無邊，我們對數學問題的把控，不能純粹通過做題去達成，這樣也根本達不成我們學習數學的目的.但是如果借助一種題的學習，通過變通，不斷變換問題的模型，或通過改變條件或結論進行一題多變，從而挖掘問題的本質，以此來培養學生問題變通能力，追本溯源，可以培養學生觸類旁通、舉一反三的解題能力，真正提升學生的數學核心素養.

例題2如圖5，在平面直角坐標系中，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與一次函數y＝mx+c（m為常數，且m≠0）的圖象分別相交于點C（0，3）和E，直線CE與x軸交于點D（4，0）.

顯然，根據題意可以直接求得二次函數的解析式及其對稱軸；再根據上述條件將問題進行變式設計，編制出更多種類型的問題：

變式1若P是該拋物線對稱軸上一動點，則連接AC，PA，PC，△PAC的周長能否取得最小值？若能，試求點P的坐標；若不能，請說明理由.

變式2若Q是該拋物線對稱軸上一動點，則連接QC，QE，△QCE的面積能否取得最大值？若能，試求點Q的坐標，并求出面積的最大值；若不能，請說明理由.

變式3若M是平面直角坐標系中任一點，且與點A，C兩點組成等腰三角形，試求點M的坐標.

變式4若N是平面直角坐標系上任一點，且與點A，C，E三點構成平行四邊形，試求點N的坐標.

變式5若G是第一象限內拋物線上一點，是否存在∠GCE=∠ACO？若存在，試求點G的坐標；若不存在，請說明理由.

這樣我們可以結合某一道試題的背景，展開綜合性的變式訓練，讓學生能夠在一題多變中尋求突破的方法與思想，輕松把握問題的解答思路，從而在數學素養上得到提升.

3 多題歸一探本質

在數學問題探究過程中，真正讓學生通過訓練，尋求一種簡單模型，進而通過模型的把握，掌握一系列問題的通解，把握知識的系統化與大框架思路，能更好地引導思維走向深刻、能力更加創新發展，甚至通過模型的初步類比遷移，提煉“歸一”，能夠以不變應萬變，讓問題真正在歸一的道路上扎根發芽，這樣才能引導學生走上數學王國的寶殿.

例如下面的幾種類型問題，我們在解答過程中發現都涉及到了一種模型，模型一旦建立，問題便迎刃而解.

問題1如圖6，一次函數y＝-2x+2的圖象與y軸，x軸分別交于A，B兩點.將直線AB繞點A逆時針旋轉45°，得到直線l，求直線l對應的函數表達式.

點撥：我們發現題目中有45°特殊角，如何利用這個特殊角度是解題的關鍵.此時可過點B作BH垂直直線l，再利用點A，H分別作坐標軸的垂線，構造矩形AMNO，如圖7所示，問題就變得容易突破.

問題2如圖8，請你用無刻度直尺作出△ABC的高BF.

點撥：問題要求過點B作一條直線垂直AC即可，但是如何找到點F有一定難度，且還需要說明理由.根據AC所在的位置，可以構造一個3×4的直角三角形，此時利用“一線三等角”，在BC下方也構造一個直角三角形，從而形成“一線三直角”，問題得解，如圖9.

問題3如圖10，A，C分別是等邊三角形DEF邊上的兩個動點，且滿足CD=12AE，連接AC，再以AC為邊在△DEF內部作等邊三角形ABC，連接BF，點A在線段ED（不與點D重合）上運動的過程中，試判斷∠CFB的度數變化情況？并說明理由.

點撥：如圖11，在CF上取一點N，使得FN＝DC.證明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得∠CFB＝30°為定值.

當然，相關數學問題的研究不只這幾種類型，更多的是從本文中獲得一種數學能力提高、素養提升的方式，讓學生在解題過程中多思考，多研究，共探究，讓數學問題最終“歸一”，突破瓶頸，回到問題本質上來.