數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學教學中的應用

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》的“課程目標”部分，提出小學階段11 個核心素養(yǎng)，“幾何直觀”便是其中之一。數(shù)形結(jié)合作為其中一種重要的解題方法，被列為初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一。“數(shù)”與“形”是初中數(shù)學研究的兩大主題，它們就像一條數(shù)學發(fā)展的主線，串聯(lián)起諸多數(shù)學知識。因此，數(shù)字和圖形是密不可分的。

一、數(shù)形結(jié)合概述

數(shù)形結(jié)合是指根據(jù)數(shù)學問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合來尋求解題思路，使問題得到解決。它將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合，用“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方式，實現(xiàn)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合的特點體現(xiàn)為以下三點：一是數(shù)與形的結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學中的兩個基本研究對象，數(shù)形結(jié)合法強調(diào)將兩者結(jié)合起來考查，斟酌問題的具體情形。二是形和數(shù)的互補。圖形能提升數(shù)、式的直觀性，而數(shù)、式能反映圖形的準確性。數(shù)形結(jié)合法表現(xiàn)出形的直觀性和數(shù)的精確性，讓數(shù)學問題更易于被理解和解決。三是體現(xiàn)解題策略的多樣化。數(shù)形結(jié)合法提供了多種解題策略，如利用數(shù)軸、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、幾何模型、方程與不等式以及數(shù)、式特征等解題，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中應用的意義

在初中數(shù)學中，利用數(shù)形結(jié)合法進行解題的知識：（1）實數(shù)與數(shù)軸上點的對應，實數(shù)組與平面直角坐標系上的點之間的對應；（2）函數(shù)和圖象之間的對應，方程（群）的求解和圖象上的一些特征點之間的對應；（3）分析平面圖中各參數(shù)之間的關(guān)系；（4）勾股定理，完全平方公式的應用。其中，各類函數(shù)的組合解法是最常出現(xiàn)的壓軸題，也是比較難的一道題。在選擇題和填空題中，經(jīng)常會遇到這樣的題目：把一次函數(shù)、反比例函數(shù)與三角形、平行四邊形的周長面積相結(jié)合，考查學生對解題過程中隱含的幾何含義的認識。在學習初中數(shù)學時，不少學生并不能自覺地將數(shù)字計算與圖形相結(jié)合，而是將公式與函數(shù)區(qū)分開。有些學生在面對比較復雜的問題時更喜歡用多個方程進行等價轉(zhuǎn)換，此種思維方式常常會影響解題的效率。且初中數(shù)學中涉及許多抽象的概念和定理，如函數(shù)、方程、不等式、幾何圖形等，這些概念對于初中生來說往往難以直接理解。

在此困境下，數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢便體現(xiàn)出來。一方面，數(shù)形結(jié)合法將抽象的數(shù)學概念與直觀的圖形相結(jié)合，有助于學生更加直觀地理解這些概念。另一方面，數(shù)形結(jié)合法在解題過程中也發(fā)揮著重要作用。許多數(shù)學問題可以通過圖形來直觀地展示和解決，特別是在幾何和函數(shù)部分。觀察圖形后，學生可以更快速、更準確地找到解題思路和方法。同時，數(shù)形結(jié)合法還能幫助學生將復雜的問題簡化，降低解題難度。可見，數(shù)形結(jié)合法不僅有助于提高學生的解題能力，還能培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力。在運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的過程中，學生需要不斷地觀察、分析、比較和歸納，這些過程都是數(shù)學思維的重要組成部分。通過長期的訓練和實踐，學生可逐漸形成良好的數(shù)學思維習慣，提高解決數(shù)學問題的能力。

三、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學教學中的應用策略

（一）注意數(shù)形結(jié)合的實際應用，切實做到數(shù)形結(jié)合

教師應當在教學中明確數(shù)形結(jié)合的重要性，并將其作為教學設(shè)計的核心原則之一。這要求教師在備課階段就深入挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合元素，設(shè)計相應的教學環(huán)節(jié)和活動，以便在課堂上引導學生用圖形來理解數(shù)學概念，或者通過數(shù)量關(guān)系來解析圖形性質(zhì)。在教學過程中，教師應注重數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。例如，在教授代數(shù)式時，用繪制函數(shù)圖象的方式來幫助學生理解代數(shù)式的性質(zhì)和變化規(guī)律；在解析幾何問題時，用代數(shù)方法求解圖形中的數(shù)量關(guān)系，或者用圖形來直觀地呈現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義。這種相互轉(zhuǎn)化的過程能幫助學生建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，提高他們的綜合分析能力。

例如，在學習北師大版初中七年級數(shù)學教材“生活中的立體圖形”的內(nèi)容時，教師能展示日常生活中的立體圖形實例來引入新課。課前可以帶來一個球體（如籃球）、一個長方體（如書本）、一個圓柱體（如水杯）等，學生觀察并描述這些圖形的特點，以此激發(fā)學生的學習興趣，讓他們對立體圖形有了初步的認識。接下來利用數(shù)形結(jié)合的方法，將立體圖形的知識與數(shù)學公式、性質(zhì)相結(jié)合。在學習計算長方體的表面積和體積時，教師還能繪制長方體的平面圖（展開圖），讓學生清楚地看到長方體的各個面及其尺寸，學生根據(jù)展開圖上的尺寸，推導出長方體的表面積和體積公式。這樣，學生既能理解公式的來源，還能通過實際操作加深記憶。

（二）融合基礎(chǔ)知識教學，培養(yǎng)學生的思考意識

數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學教學中的應用，不僅能幫助學生更好地理解和記憶數(shù)學知識，更重要的是能培養(yǎng)學生的思考意識和解決問題的能力。教師可以設(shè)計各種教學活動和任務(wù)，學生在實踐中體驗數(shù)形結(jié)合法的作用，包括繪制圖形、分析圖形性質(zhì)、用圖形解釋數(shù)學概念等。

例如，在學習北師大版初中八年級數(shù)學教材“探索勾股定理”的內(nèi)容時，教師可以利用幾何畫板或其他軟件，展示不同邊長比例的直角三角形，讓學生動態(tài)觀察并驗證勾股定理。首先，在黑板上畫出一個直角三角形，并標注出三邊長度為a，b 和c（c 為斜邊），直觀地引出本節(jié)課的主題———勾股定理。接著向?qū)W生提問：“你們能發(fā)現(xiàn)這個直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系嗎？”教師可以展示一個直角三角形，將三條邊標記為a（直角邊員），b（直角邊圓）和c（斜邊），引導學生發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2。然后教師可以展示一些圖片，告訴學生勾股定理在實際生活中的運用：在建筑和工程領(lǐng)域，勾股定理被廣泛應用于確保結(jié)構(gòu)的精確性和穩(wěn)定性。

（三）利用輔助工具，在課堂上運用數(shù)形結(jié)合方法

在數(shù)學課堂上，輔助工具有兩種，一是傳統(tǒng)教具。例如，準備一些幾何體、平面圖形等與教學內(nèi)容相關(guān)的實物模型，學生在觀察、觸摸中感受圖形的特點，形成直觀認識，或是教師提供直尺、圓規(guī)、量角器等繪圖工具，指導學生繪制各種圖形，如線段、射線、直線、三角形、四邊形等。二是多媒體教學設(shè)備。教師利用投影儀展示幻燈片，展示函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等圖形的動態(tài)變化過程，更加直觀地讓學生理解圖形的變化規(guī)律，或播放動畫視頻，讓學生感受圖形的魅力，激發(fā)學習興趣。實踐中，教師要充分利用輔助工具，在課堂上有效地運用數(shù)形結(jié)合方法進行教學，提高學生的數(shù)學學習效率。

例如，在學習北師大版初中八年級數(shù)學教材“平面直角坐標系”的內(nèi)容時，教師可以用多媒體工具展示一張包含網(wǎng)格的空白畫布，然后逐步在畫布上繪制出兩條相互垂直且交于原點的數(shù)軸———即 x軸和y 軸，讓學生清晰地看到平面直角坐標系的構(gòu)建過程，理解它是由兩個相互垂直的數(shù)軸組成的。并在坐標系中標注幾個固定點，如點A（2，3），點B（-1，2）等，在旁邊標出這些點的坐標，隨后展示其中一個點在坐標系中的移動過程。隨著點的移動，其坐標也會相應地發(fā)生變化，這樣，學生能更直觀地理解坐標與點的位置之間的關(guān)系。

四、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學教學中的應用，為數(shù)學教學注入了新的活力。通過直觀的圖形展示與抽象的數(shù)學邏輯相結(jié)合，學生更深入地理解數(shù)學概念和原理，使得原本看似枯燥無味的數(shù)學知識變得生動有趣。今后，教師應不斷探索和實踐新的教學模式和方法，推動數(shù)學教學改革的深入發(fā)展，為培養(yǎng)更多具備數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的人才貢獻力量。