目標貫通數學思維的學習課堂：“特殊四邊形的頂點坐標”課例報告

戴建蘭 上海奉賢區世外教育附屬臨港外國語學校

本次課例呈現的是“師之蘊臨港世外初小銜接數學工作室”學做主題課例教學、學寫“目標貫通的教學設計”以及探索“九年一貫制初小銜接”的實踐路徑。

【課例主題】“師之蘊臨港世外數學工作室”持續落實“數學課標植根數學課堂”的課例研修主題，本次課例是以“目標貫通”的“特殊四邊形的頂點坐標”教學為例，探索“數學思維教學的課堂”的路徑與方法。

【文本解讀】

1.課標銜接。圖形與幾何是義務教育階段學生數學學習的重要領域。在小學階段，“圖形的位置與運動”是兩大主題之一。“圖形與坐標”是初中階段圖形與幾何領域的三個主題之一，兩學段之間的教學內容是相互關聯并且逐段遞進的。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）要求小學生結合實際情境判斷物體的位置，探索用數表示平面上的點的位置，增強空間觀念和應用意識。新課標要求初中學生理解用數對表示的坐標與平面上點之間的一一對應，能用點的坐標來描述簡單幾何圖形的位置，表達幾何圖形的變化和簡單幾何圖形的性質，感悟幾何直觀與代數表達之間的聯系，體會到坐標系是溝通幾何與代數的重要橋梁。在這樣的過程中，學生初步接觸數形結合的數學思想，并會用數形結合的方法來分析問題和解決問題。理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形的概念，探索這些特殊四邊形的性質。用代數方法來研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形中點的位置，用坐標法來分析和解決數學中點的位置問題。通過這樣的學習過程，能幫助學生建立幾何直觀，提升數學抽象能力和推理能力。

2.單元素養。平面直角坐標系是數軸的拓展，還是溝通代數與幾何的重要橋梁，內容核心是平面上的點與坐標之間的一一對應，強調數形結合思維。學生經歷了用坐標來表示特殊四邊形頂點的過程，體會得到代數方法表達圖形中點的位置關系的意義；通過代數表達的練習，引導學生經歷借助平面直角坐標系解決特殊四邊形的頂點問題的分類過程，感悟數形結合的意義，讓學生在具體的問題情境中，從幾何角度發現和提出問題，并用幾何直觀和邏輯推理來分析和解決問題；培養學生應用知識的意識和創新表達的意識，提升其幾何抽象能力、推理能力及代數運算能力，增強分類討論的意識。

3.教材解讀。特殊四邊形是指平行四邊形、菱形、矩形、正方形和梯形等具有特殊性質的四邊形。這些四邊形的頂點坐標是它們的特點之一，也是我們解決問題的重要工具。（1）矩形是特殊的平行四邊形，它的對邊平行且相等，對角相等且互相垂直。矩形的頂點坐標可以很容易通過其邊長確定。設矩形的長為a，寬為b，則其四個頂點的坐標分別為：（0，0），（a，0），（0，b），（a，b）。（2）正方形是特殊的矩形，它的四條邊都相等，并且對角線互相垂直平分。正方形的頂點坐標可以很容易地通過其邊長確定。設正方形的邊長為a，則其四個頂點的坐標分別為：（0，0），（a，0），（0，a），（a，a）。（3）菱形是特殊的平行四邊形，它的兩組對邊分別平行且四條邊均相等，但不一定是垂直的。菱形的頂點坐標可以根據其邊長和角度確定。（4）梯形是有且只有一組對邊平行的四邊形。梯形的頂點坐標可以根據其邊長和角度確定。設梯形的上底長為a，下底長為b，高為h，則其四個頂點的坐標分別為：（0，0），（a，0），（c，h），（c+b，h）。（5）平行四邊形是兩組對邊分別平行的特殊四邊形。平行四邊形的頂點坐標可以根據其邊長和角度確定。設平行四邊形的上底長為a，下底長為b，高為h，則其四個頂點的坐標分別為：（0，0），（a，0），（b，h），（a+b，h）。

在本課學習中，學生需要理解特殊四邊形的概念和性質，能根據特殊四邊形的定義，對頂點的相對位置進行準確的分類，并加以討論。通過分類和圖形的直觀性，掌握解決特殊四邊形頂點位置分類討論的一般方法。通過特殊四邊形的分類討論過程，幫助學生感悟方程思想、數形結合思想、化歸思想及函數思想在求點的坐標中的運用，提高其觀察、分析、推理、歸納、運算的能力。

【學情分析】

本課的授課對象是八年級1 班的學生。本節課是在學習了特殊四邊形的性質并且會用坐標表示點的相對位置關系的基礎上進行的。在探索特殊四邊形頂點坐標的過程中，學生經歷了分類討論、作符合題意的圖形、例題分析與求解、歸納解題步驟的過程，掌握了解決特殊四邊形頂點位置的一般步驟與方法。通過分類和圖形的直觀性，讓學生意識到分類討論的必要性，并能合理運用分類討論，在求解特殊四邊形的頂點坐標的過程中，選擇合理的分類來解決現實問題。

【課時目標】

1.能根據特殊四邊形的定義，畫出圖形，感知分類討論的必要性（一維，重點）。

2.由圖形的直觀性，合理分類，學生求解特殊四邊形頂點坐標（二維，重點）。

3.經歷分類討論的過程，歸納、分類、討論，求特殊四邊形頂點坐標的一般步驟（三維，難點）。

【課堂環節】

（一）問題導入

問題：如圖1，平面直角坐標系xOy中，有三個點A、B、C的坐標分別是（0，4）、（-2，0）、（6，0）。如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么點D的坐標為_______。

圖1

設計意圖：本題是已知平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點坐標。引出課題后，讓學生嘗試作圖，再利用平行四邊形的性質求出點的坐標。

（二）解決問題，討論方法

1.已知平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點的分類討論

例1如圖2，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點A、B、C的坐標分別是（0，4）、（-2，0）、（6，0）。

圖2

（1）如果四邊形ABCD是平行四邊形，點D的坐標為__________。

（2）如果以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點D的坐標為___________。

分析：

①平行四邊形頂點字母順序不固定，需要分類討論；

②可利用平行四邊形的對角線進行分類，要做到不遺漏、不重復，再利用平行四邊形對邊相等的性質求得點D的坐標。

設計意圖：與引例問題相比較，通過學生對兩道題條件的比較，體會分類的必要性，并能準確地分類，再利用平行四邊形的對角線以及平行四邊形的對稱性作出平行四邊形的第四個頂點，提高作圖能力。

說明：這一環節為教學目標1服務。

解：（1）以AC為對角線時，點D1的坐標是（8，4）；

（2）以AB為對角線時，點D2的坐標是（-8，4）（如圖3所示）；

圖3

（3）以BC為對角線時，點D3的坐標是（4，-4）；（如圖4所示）；

圖4

因此點D的坐標是（8，4）或（-8，4）或（4，-4）。

說明：這一環節為教學目標2服務。

【適時小結】分類的方法與步驟：（1）根據題目要求合理分類；（2）根據分類畫出符合題意的圖形；（3）由圖形和特殊四邊形的性質求點坐標；（4）寫出結論并加以檢驗。

說明：這一環節是為教學目標3服務。

由梯形底邊的不確定而產生的分類討論

圖5

（1）求一次函數的解析式和B、C兩點的坐標；

（2）如果四邊形ABCD是等腰梯形，求點D的坐標。

設計意圖：學生自主完成，梯形的底邊不確定，因此需要分類討論。

說明：這一環節為教學目標1服務。

分析：

①畫出符合題意的圖形；

②將等腰梯形轉化為兩個全等的直角三角形和一個矩形，將邊的長度轉化為點D的坐標。

③利用函數解析式設點D的坐標，利用等腰梯形兩腰相等的性質解決點D的坐標。

解：①當AD∥BC時（如圖6 所示），過點D作DE⊥BC，垂足為點E，點D的坐標是（6，1）；

圖6

②當CD∥AB時（如圖7 所示），由題意可得直線CD的表達式是，設點D的坐標是，

圖7

因為四邊形ABCD是等腰梯形，所以BC=AD，，解得x1=3，x2=6（不符合題意舍去）。

當x1=3時，點D的坐標是（3，4）。

綜上所述，點D的坐標是（6，1）或（3，4）。

說明：這一環節為教學目標2服務。

【適時小結】

方法與步驟：

（1）確定分類標準，以梯形的底邊進行分類；

（2）畫出符合題意的圖形；

（3）由梯形的性質求頂點的坐標；

（4）寫出結論并檢驗，排除是平行四邊形的情況。

說明：這一環節為教學目標3服務。

（三）課堂小結

1.什么情況下要對特殊四邊形的頂點位置做分類討論？

2.如何對特殊四邊形的頂點位置合理分類？

3.用分類討論法求特殊四邊形定點位置的一般步驟是什么？

（四）布置作業

練習：已知一次函數y=-x+4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，梯形AOBC（O是原點）的邊AC=5，求點C的坐標（如圖8所示）。

圖8

設計意圖：對特殊四邊形中需要分類討論的問題進行梳理歸納，形成解決特殊四邊形頂點問題的方法，提升解決頂點坐標問題的能力。

【執教反思】

筆者有幸執教了“師之蘊臨港世外數學工作室”主題課例研修教學“特殊四邊形的頂點坐標”，探索“目標貫通的數學思維學習課堂”的路徑與方法。在教授本課之前，筆者對教案經過反復設計與修改，在正式教學中，通過課堂實踐，對數學思維課堂的教學有了更多的領悟，對于如何在思維課堂的教學過程中落實三維目標也有了新的認識。

1.分類討論解題方法是數學思維課堂主題課例教學精彩所在。師之蘊臨港世外數學工作室的課例研修主題是“數學課標植根數學課堂”，路徑是“目標貫通課堂環節”。本課例主要探索“數學思維的教學課堂”的教學方法，引導學生感受分類討論的必要性，學生不遺漏、不重復地正確分類，繼而通過分類和圖形的直觀性，歸納并掌握求特殊四邊形頂點坐標的方法與步驟。

2.靈活學與教，促進師生課堂有效互動。在本課教學中，雖然一直堅持教學生如何思考，教學生解題方法，教學生分析問題，引導思維發展，但教師在授課中過于依賴講解和演示，引導還是比較多，使學生只會按照教師的提示和預設的問題去思考，難以真正掌握分類標準。一些學生無法理解特殊四邊形頂點坐標問題的本質，也無法激發他們的學習興趣，本節課如果能促進學生多樣互動去探究與思考效果會更好。

3.運用多媒體實現課堂實踐驗證結論能加深理解。教學過程中過于側重講解理論性知識，而忽略了實際應用和學生的參與，沒有給予學生足夠的機會去探索和發現。本次教學中增加了互動和實踐環節，學生無法通過實物動手操作或動畫演示等直觀感受來加深對知識點的理解，可在教學過程中加入幾何畫板等多媒體資源來作圖，通過圖形、動畫等形式，幫助學生更好地理解較抽象的概念和知識，以此確定點的可能位置，幫助學生理解分類的標準，引導學生自主探索特殊四邊形頂點坐標問題的規律。

特殊四邊形頂點坐標問題涉及平面幾何、解析幾何等領域，這些問題不僅具有數學價值，還具有豐富的教育內涵。通過解決這些問題，我們可以培養學生的空間觀念，強化幾何直觀，提升邏輯推理能力，拓展創新思維，加深對圖形的認識，提高解決問題的能力，激發學生對幾何的興趣和熱情。在“數學思維的教學課堂”中，教師要引導學生感受思維的必要性，在今后長期的數學教學過程中逐步滲透，讓學生逐漸形成屬于自己的數學思維習慣。