有關函數零點等量代換的問題及應對策略*

桂小兵 劉 娟

? 安徽省肥西縣銘傳高級中學 ? 安徽省合肥市第一中學

函數的零點問題是高考中的熱點問題[1].一方面,函數的零點能夠考查學生的分類討論、數形結合等能力;另一方面,函數的極值點既具備了零點的屬性特征,又反映了原函數的單調性、極值、最值等特征,能考查學生解決問題的綜合能力,實現對核心素養和關鍵能力的考查[2].本文中借助高考中的有關零點問題,列舉學生進行等量代換時常出現的兩類問題,分析原因,通過問題解決,與大家交流.

1 等量關系的化簡

1.1 代換前化簡

試題1(2022年全國卷Ⅰ第22題節選)已知函數f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx有相同的最小值.證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

問題呈現：易證b>1時,y=b與曲線y=f(x)有2個交點,設其橫坐標為x1,x2且x1<0

圖1

圖2

從圖象上易知存在y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點[3],證明略.不妨記此時x2=x3=x0,取b=ex0-x0,故f(x1)=f(x0)=b=g(x0)=g(x4),即ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x4-lnx4(等量關系),且易得x1<0

但是,學生對于此類多個等量關系的代換存在困難,不能實現等量代換.

問題解決：利用同構[4]來化簡等量關系,即ex1-x1=x0-lnx0=eln x0-lnx0,即f(x1)=f(lnx0).因為f(x)在(-∞,0)上單調遞減,且x1<0,00即ex0>1,x4>1,所以x4=ex0.

又因為ex0-2x0+lnx0=0,進行等量代換,有x1+x4=ex0+lnx0=2x0,問題得證.

1.2 代換后化簡

問題呈現：本題學生的常規解法為參變分離,但也有學生想通過解三次方程來解決問題,而使用條件“若f(x)有一個絕對值不大于1的零點”時受阻,缺少預設零點、利用等量代換降次化簡的運算思維方式.

2 等量代換中的對應關系

2.1 零點與參數的對應

問題解決：明確對應關系.由于u(x)在(0,+∞)上單調遞增,因此x0∈(0,2]與a∈[0,1)是一一對應關系,如圖3～5.

圖3 a=1

圖4 a=0.6

圖5 a=0

2.2 不等關系與函數、單調性的對應

試題4(2017年全國卷Ⅱ理科節選)已知函數f(x)=x2-x-xlnx.證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2

圖6

由f′(x0)=0,得lnx0=2(x0-1)(等量關系).

f(x0)=x0(1-x0).

圖7

3 小結

上述四道高考真題呈現的問題應對策略可以梳理成圖8.

圖8

當然,等量關系的化簡方式遠不止降次和同構這兩種,但是,明確化簡方向要比方式更重要.學生對于零點與參數的對應,不等關系與函數、單調性的對應容易忽視,教學時要特別注意澄清,幫助學生規避認知誤區.