巧用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題

? 江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張 劍

隱圓是指題目中并未直接給出圓的圖形,需根據(jù)對題設(shè)條件的判斷畫出的圓[1].運(yùn)用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題的關(guān)鍵在于熟悉隱圓的常見情境,正確迅速找到并畫出隱圓,注重圓性質(zhì)的活用以及最值問題的轉(zhuǎn)化.

1 隱圓應(yīng)用情境分析

初中數(shù)學(xué)最值問題情境多樣,涉及的隱圓情境主要有動點(diǎn)定長、直角圓周角、定弦定角、四點(diǎn)共圓四種[2].構(gòu)建四種隱圓情境模型,可給初中數(shù)學(xué)最值問題的高效解決帶來明確指引.動點(diǎn)定長情境源于圓的概念,情境中的動點(diǎn)到已知點(diǎn)(圓心)的距離(半徑)保持不變.直角圓周角情境中固定線段所對的動角為直角(90°),直角頂點(diǎn)的軌跡是一個圓.定弦定角情境中線段長度不變,線段外一點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線構(gòu)成的夾角不變,該點(diǎn)的軌跡是一個圓[3].四點(diǎn)共圓分為兩類:對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓;固定線段所對同側(cè)兩個動角相等,線段兩端點(diǎn)和兩個動角頂點(diǎn)共圓,如圖1所示,∠C=∠P,則A,B,C,P四點(diǎn)共圓.

圖1

2 隱圓在解題中的應(yīng)用案例

例1如圖2,等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,D為BC的中點(diǎn),E是AB上一動點(diǎn).點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)B′在△ABC內(nèi)(不在△ABC的邊上),則BE的最小值為______.

圖2

解：由題中條件可得BD=DC,AD⊥BC.

圖3

由圖3可知,當(dāng)BE最小時,B′在AB上,DE⊥AB.

思路解讀：由點(diǎn)關(guān)于直線對稱以及中點(diǎn)知識判斷此題屬于隱圓中動點(diǎn)定長情境.根據(jù)題意畫出隱圓,找到點(diǎn)B′的特殊位置,多次使用勾股定理求得結(jié)果.

例2如圖4所示,四邊形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,∠DAB=60°,AD=CD=4,在其內(nèi)部有一動點(diǎn)M,滿足AM⊥DM,則△MBC面積的最小值為______.

圖4

解：由四邊形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,可得∠ADC=120°.

由AD=CD=4,可得∠DCA=∠CAB=30°.

在△ACB中,由∠ACB=90°,得∠B=90°-∠CAB=60°,所以梯形ABCD為等腰梯形.

如圖5,取AD的中點(diǎn)O,連接OM.過點(diǎn)M,O分別向BC的延長線作垂線,垂足分別為點(diǎn)E,F,OF與DC交于點(diǎn)G,則ME∥OF.

圖5

由∠B=60°,得∠FCG=60°,∠DGO=∠FGC=90°-∠FCG=30°,于是△DOG為等腰三角形,則AD=BC=4,DO=DG=2,所以

所以,△MBC面積的最小值為

思路解讀：由題目中AM⊥DM這一關(guān)系,取AD的中點(diǎn)O,易知此題為隱圓中的直角圓周角情境.結(jié)合梯形的性質(zhì),求出BC的長.作出輔助線,借助平行線以及ME,OF,OM的關(guān)系求出BC邊上的高,問題便迎刃而解.

圖6

解：如圖7,連接EC,由AP∥BC,可得∠ACB=∠PAC=∠PEC=60°,則∠BEC=120°.

圖7

由∠ACB=60°,得∠ACM=90°.

連接AM與圓M交于點(diǎn)E′,則AE的最小值為AE′,ME′=MC=8.

在Rt△ACM中,由勾股定理,可得

所以AE′=AM-ME′=10-8=2.

故AE的最小值為2.

思路解讀：由已知條件中的角度關(guān)系間接求出∠BEC=120°,根據(jù)定弦定角確定點(diǎn)E的軌跡為圓.運(yùn)用圓的性質(zhì)確定點(diǎn)E的位置,進(jìn)一步推理得出△AMC為直角三角形,進(jìn)而運(yùn)用勾股定理求得最終結(jié)果.

例4如圖8,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,∠A=∠CPB,過點(diǎn)C作CQ⊥PC交PB的延長線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為_____.

圖8

解：由PC⊥CQ,得∠PCQ=90°.

CQ的值最大意味著PC的值最大.

易知A,C,B,P四點(diǎn)共圓,PC的最大值為圓的直徑.

思路解讀：由已知條件中∠A=∠CPB推理出A,B,C,P四點(diǎn)共圓且點(diǎn)P是運(yùn)動的.根據(jù)圖形中的角邊關(guān)系通過△ABC∽△PQC,構(gòu)建CQ和PC的關(guān)系,結(jié)合直徑是圓中最長的弦,求出CQ的最大值.

3 結(jié)語

利用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題,無外乎上文中介紹的四種情境.吃透這四種情境,掌握四種情境中點(diǎn)、線、角等的特點(diǎn),分析四種情境適宜解決的不同問題類型,配合經(jīng)典例題的訓(xùn)練以及解題思路的梳理,牢固掌握應(yīng)用思路與細(xì)節(jié),可促進(jìn)學(xué)生解題能力的有效提升.