一題多想,提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

? 江蘇省南通市通州灣三余初級(jí)中學(xué) 邱亞麗

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不僅要能記住一些基本的知識(shí),還要能運(yùn)用這些知識(shí)解決具體的問題,發(fā)展思維能力.當(dāng)前部分初中學(xué)生的解題能力不強(qiáng),主要表現(xiàn)為遇到新問題就想不到解決的方法.基于此種現(xiàn)狀,教師可改變教學(xué)方法,以學(xué)生為主體開展數(shù)學(xué)教學(xué),讓他們多學(xué)習(xí),多思考.教師可引導(dǎo)學(xué)生基于某一道題目展開多方面的探究,在提升學(xué)生思維深度與廣度的同時(shí),也鍛煉了他們多維度解決問題的能力.

1 引導(dǎo)學(xué)生多想出一些問題

當(dāng)前,不少初中生總是被動(dòng)完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù),教師布置多少作業(yè),他們就完成多少作業(yè);教師問多少問題,他們就回答多少問題.教師不問問題,學(xué)生也不會(huì)主動(dòng)提問.教師可改變學(xué)生這樣的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生能主動(dòng)提出一些問題來[1].比如,讓學(xué)生在原先的問題上,再提出一些問題來,只要給學(xué)生更多思考的空間,相信他們能發(fā)現(xiàn)更多有價(jià)值的問題.

以一元二次方程的教學(xué)為例,可創(chuàng)設(shè)如下問題情境:

案例1某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng),為充分利用現(xiàn)有資源,該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻的長度為10 m),如圖1,另外三面用柵欄圍成,中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1∶2的矩形.已知柵欄的總長度為24 m,設(shè)較小矩形的寬為xm.

圖1

問題1若該養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36 m2,求x.

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目情境再次深入思考,看能否發(fā)現(xiàn)新的問題.由一元二次方程及面積問題等,學(xué)生想到了如下問題:

問題2當(dāng)x為多少時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大?最大值為多少?

分析：學(xué)生在提出問題后,發(fā)現(xiàn)只要設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S,由矩形的面積公式就可以得到S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解析：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S,由問題1可得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48.

由此可見,讓學(xué)生提出問題能給學(xué)生更多的鍛煉機(jī)會(huì).為了降低學(xué)生思考問題的難度,也為了增加他們參與的信心,教師可先設(shè)置一個(gè)問題,然后再讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行拓展,進(jìn)而提出第二個(gè)問題.因此,教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)要考慮層次性和梯度,讓學(xué)生可進(jìn)行多方面的思考.

2 引導(dǎo)學(xué)生多想出一些解法

不少初中生在做完一道題目之后,就趕著做下一道題目,而沒有進(jìn)一步去思考這道題是不是還可以運(yùn)用別的知識(shí)求解[2].基于這樣的現(xiàn)狀,要改變過去那種布置大量作業(yè)題目的做法,讓學(xué)生從繁多的作業(yè)中解放出來,可少設(shè)置題目,但要引導(dǎo)學(xué)生多思考,激發(fā)他們的思維走向縱深.

以與圓相關(guān)的題目為例,設(shè)計(jì)如下:

分析1：作相應(yīng)的輔助線,借助垂徑定理即可求解.

圖2

分析2：依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,構(gòu)造以CD為直角邊的直角三角形,在該直角三角形中直接求出CD的長.

圖3

可以看出,一題多解就是在減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的前提下,引導(dǎo)學(xué)生基于不同層面展開分析以及應(yīng)用不同知識(shí)點(diǎn)解決問題.通過這樣的方式,學(xué)生能提升多角度分析問題的能力,不僅能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與技能,更能對(duì)題目所涵蓋的信息進(jìn)行重新建構(gòu),提升解題效率.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生多掌握解題技巧,通過一題多想拓寬解題思路,實(shí)現(xiàn)觸類旁通的學(xué)習(xí)效果.

3 引導(dǎo)學(xué)生多想出同類題目

要提升學(xué)生的解題能力,教師就需要在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)都能引發(fā)學(xué)生的思考,給他們創(chuàng)設(shè)解決問題的機(jī)會(huì).對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說,能通過一道數(shù)學(xué)題目,想到更多同類的題目,這也是提升解題能力的有效方式.這樣學(xué)生可用一把“鑰匙”,打開同一類型的“鎖”.

以勾股定理的教學(xué)為例,可創(chuàng)設(shè)如下問題情境:

案例3有一塊空白地,如圖4所示,∠ADC=90°,CD=6 m,AD=8 m,AB=26 m,BC=24 m,試求這塊空白地的面積S.

圖4

分析：學(xué)生先是連接AC,再思考能不能從這些線段的具體數(shù)值入手,運(yùn)用勾股定理的逆定理來解決問題.在運(yùn)用這一定理時(shí),學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求的面積是不規(guī)則圖形,于是想到將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形.

解析：在Rt△ACD中,由CD=6,AD=8,可得AC2=AD2+CD2=100,所以AC=10．

在△ABC中,因?yàn)锳C2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,所以AC2+BC2=AB2,即△ACB為直角三角形,且∠ACB=90°．

教師引導(dǎo)學(xué)生思考能不能想出類似的題目.學(xué)生認(rèn)為類似的題目條件應(yīng)該差不多,運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)也差不多.于是找到如下問題情境:

如圖5,在Rt△ABC中,∠B=90°,將△ABC沿AM折疊,使點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)D的位置.

圖5

(1)若AM=MC,求∠C的度數(shù);

(2)若AB=12,BC=16,求BM的長及△AMC的面積.

分析：學(xué)生認(rèn)為這道題目的條件與結(jié)論跟圖4所展現(xiàn)的題目差不多,只是條件與結(jié)論都有所增加.

解析：(1)因?yàn)椤鰽BC沿AM折疊,使點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)D的位置上,所以∠BAM=∠DAM.由AM=MC,得∠C=∠DAM,所以∠BAM=∠DAM=∠C=30°.

因此,在教學(xué)的過程中,教師可引導(dǎo)學(xué)生在做完題目之后,再思考能不能創(chuàng)設(shè)類似的題目,以盤活知識(shí)點(diǎn)與解題技能,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

總之,要提升學(xué)生的解題能力,就需要激發(fā)他們的潛力,引導(dǎo)他們進(jìn)行多方面的思考.學(xué)生借助一題多想,能提升發(fā)散思維能力,展示個(gè)性、滿足自己多元化學(xué)習(xí)的需求.因此教師要多通過一題多想,激活學(xué)生思維的靈活性和多樣性,引導(dǎo)他們更多地關(guān)注學(xué)習(xí)過程,而不是最終的結(jié)果.