展折疊之美,育思維之花
——2021年深圳中考第15題感悟

? 廣東省深圳市龍華區(qū)外國語學(xué)校教育集團(tuán) 劉小會(huì)

折疊問題是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn),深圳中考也不例外.折疊問題主要分直接計(jì)算型和分類討論型兩大類題型,由淺入深,難度逐漸加大.2021年是深圳新中考第一年,數(shù)學(xué)試題的難度一度上了熱搜.很多學(xué)生反映“題目很新”“題目很難”等.具體真相如何?我們一起來揭開填空壓軸題的真面目,感受數(shù)學(xué)之趣、數(shù)學(xué)之美,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 真題呈現(xiàn)

圖1

2 試題賞析

縱觀深圳近幾年中考數(shù)學(xué)試卷,折疊問題舊瓶裝新酒,連續(xù)作為選填壓軸題.此題作為2021年的填空壓軸題,精心設(shè)計(jì),巧妙構(gòu)造.主要體現(xiàn)在:(1)不是單純的折疊問題,而是通過折疊操作后,結(jié)合平行四邊形的構(gòu)造,求解線段長度.(2)已知數(shù)據(jù)含有根號(hào),防止學(xué)生考試時(shí)通過測(cè)量算出得數(shù).(3)筆者利用幾何畫板還原題干三角形,發(fā)現(xiàn)很難準(zhǔn)確畫出滿足題干條件的三角形,多少都會(huì)出現(xiàn)誤差.那么,該如何找到滿足如此條件的三角形呢?試問,如果改變題干線段長度或者減少已知條件,此題可解嗎?筆者也在反思是否是自己才疏學(xué)淺,沒掌握題干精髓和命題者的意圖.一個(gè)如此特殊的三角形,進(jìn)行三角形內(nèi)部折疊后,同時(shí)滿足直線平行和存在直角兩個(gè)條件.我們可以反解這個(gè)三角形嗎?從題目反觀命題者的意圖,條件很多,少一個(gè)也不行,多一個(gè)就成“累贅”.最后,借助幾何畫板,筆者還原了題干三角形,并且在繪圖過程中發(fā)現(xiàn)了這道題的變式訓(xùn)練.

3 解法探究

添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵所在.本題是折疊問題中的直接計(jì)算型.通過證明,挖掘已知條件,直至找到我們熟悉的三角形.對(duì)于求解線段長度的題目,如果學(xué)生具備線段長度求解的模型意識(shí),就可以突破添加輔助線這一難點(diǎn).大膽猜測(cè),輔助線水到渠成.再次反觀命題者的意圖,涵蓋折疊所有的性質(zhì),角平分線、垂直、平行四邊形和等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)均有涉及.這些都是中考復(fù)習(xí)中的核心考點(diǎn),對(duì)于考生來說,在考場(chǎng)如何能正確解答此題呢?針對(duì)題目,筆者給出4類思路,7種解法.

思路一：添平行之線,連接已知和未知.

圖2

圖3

解法3：如圖4,過點(diǎn)F作FO∥AE交AB的延長線于點(diǎn)O,構(gòu)造平行四邊形AEFO,接下來類似解法1和解法2,可解.

圖4

點(diǎn)評(píng)：題目給出AB和EC的長度,求解AE.這三條線段看起來沒有聯(lián)系,怎樣把它們聯(lián)系起來呢?這類問題的一般求解策略為添加輔助線,把未知和已知線段集中到一個(gè)三角形中.此方法的突破關(guān)鍵是平行四邊形的構(gòu)造,這是一種比較常規(guī)的解法,考生在考場(chǎng)也比較容易想到.此外,針對(duì)填空題解題技巧,此題的答案比較容易猜到.幾何能力強(qiáng)的考生會(huì)先有意識(shí)猜測(cè)已知線段間的加減關(guān)系,然后帶著目標(biāo)去添加輔助線,再結(jié)合其余條件,即可寫出正確答案.

思路二：延邊長之線,挖掘隱藏信息.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：解法4和解法5均是通過延長邊線形成交點(diǎn),找到隱藏的特殊形狀而求解.解法4中延長邊線重點(diǎn)在于形成直角三角形,解法5則是通過延長邊線,形成平行四邊形.二者的相同之處均是在圖形中找等腰三角形.筆者認(rèn)為較思路一,這種通過延長線段添加輔助線的技巧比較難想到,但是證明較簡單.正如在初三復(fù)習(xí)折疊的核心考點(diǎn)時(shí),會(huì)出現(xiàn)“折疊遇平行,等腰必出現(xiàn)”的口訣,由此發(fā)掘出一些奇思妙構(gòu)的解法.

思路三：取中點(diǎn),構(gòu)造三角形中位線.

圖7

點(diǎn)評(píng)：易知D為線段BC的中點(diǎn),此解法聚焦幾何問題的三大法寶之一——中點(diǎn),通過構(gòu)造中位線,快速轉(zhuǎn)化已知條件.再結(jié)合另一法寶——平行,導(dǎo)邊導(dǎo)角,找出線段間的等量關(guān)系,求解未知線段.

思路四：構(gòu)造“八字全等”找等腰.

圖8

點(diǎn)評(píng)：“八字模型”的建立依賴兩個(gè)條件,即D為線段BC和線段EN的中點(diǎn),但輔助線多而且難想,比較累贅.

4 變式訓(xùn)練

如圖1,在△ABC中,D,E分別為線段BC,AC上一點(diǎn),將△CDE沿DE折疊,使得C落在F處,則①∠BFC=90°,②EF∥AB,③AB+AE=EC這三個(gè)條件,任選兩個(gè)都可推出另一個(gè).感興趣的讀者可以試著證明.

注意:條件①也可換為“D是線段BC的中點(diǎn)”.

現(xiàn)在回過頭看原中考題,其實(shí)線段長度可隨便定,只要滿足條件③即可.這就是該問題的變式思考.

教育家懷特海認(rèn)為,教育需要使學(xué)生通過樹木看見森林.回到題目本身,我們可以基于學(xué)情,科學(xué)、合理、有序地培養(yǎng)學(xué)生“解題非一法,尋思求百通”的意識(shí).

5 通性通法

折疊問題,題型多變,因圖形看起來比較復(fù)雜,不少學(xué)生望而生畏.其實(shí)幾何圖形的折疊問題,本質(zhì)上就是軸對(duì)稱問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住折疊前后的兩個(gè)圖形全等,注意折疊前后變化的量和不變的量,然后抓住背景圖的相關(guān)性質(zhì),利用轉(zhuǎn)化或運(yùn)用方程思想解決問題.在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中,要以經(jīng)典問題為主,預(yù)設(shè)不同解法和思路,但是要滲透萬變不離其宗的解題思想,注重通性通法的總結(jié).

6 題后反思

俗語說:心在一藝,其藝必工;一心在一職,其職必舉.一題多解的數(shù)學(xué)之美不僅在于多,而且在于題后的對(duì)比和歸納.波利亞指出:“沒有任何一道題可以解決得十全十美,總剩下些工作要做.”這里剩下的工作就是解題反思,它有助于學(xué)習(xí)者領(lǐng)悟思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)從知識(shí)的學(xué)習(xí)到能力的提升.