把握數學概念本質　發展學生數據意識

作者簡介：張艷華，遼寧省實驗學校高級教師。

摘要：平均數是統計學中的一個重要概念，是培養學生數據意識的重要載體。對于平均數，教材的教學指向非常明確，即在具體情境中不僅要會計算一組數據的平均數，更應理解其概念本質，感悟平均數的統計意義。教學中，教師要進行學情檢測，把握學習起點；分層建構，發展數據意識；運用拓展，研判平均數的價值。

關鍵詞：平均數；概念本質；數據意識

數據意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）中提出的學生在義務教育階段數學課程中特別需要培養的數學基本素養之一，數據意識主要指對數據的意義和隨機性的感悟。“平均數”是人教版數學教材四年級下冊第八單元“統計”例1、例2的學習內容。小學數學所研究的平均數指算術平均數，就是一組數據的總和除以總份數就能夠得到一組數據的平均數，反映的是一組數據的整體水平，具有代表性、區間性、虛擬性和敏感性等特性。對于平均數，教材的教學指向非常明確，即在具體情境中不僅要會計算一組數據的平均數，更應理解其概念本質，感悟平均數的統計意義，發展數據意識。

一、學情檢測，把握學習起點

從統計的角度去理解平均數的意義，對于學生來說是有一定困難的。為了準確地把握學生的學習起點，教師對學生進行了學情檢測，結果見下頁表1所示。

通過表中兩個題目的分層次分析我們可知，學生對于平均數的理解存在以下兩個問題：一是平均數與平均分產生混淆。平均數是在學生理解了平均分和除法運算含義的基礎上進行學習的，從第1，2題的解答可以看出，學生已有平均分的學習經驗，但很容易把平均數與平均分等同起來；二是平均數的統計學意義理解不夠。在學習平均數之前，四年級學生所認識數都是表示具體事物數量的數，具有現實性，而平均數不反映具體事物的多少，表示一組數據的總體水平，它可能等于一組數據中的某個數，也可能是一組數中不存在的，具有虛擬性。這對學生的認知來說是一個巨大的挑戰。從第2題的解答可

以看出學生對平均數統計學意義的理解較為欠缺，需要借助合適的現實情境感悟。

二、分層建構，形成數據意識

基于以上分析，本課的教學應著重解決以下3個問題：一是通過創設貼近生活、生動有趣、指向數學概念本質的學習材料（以下簡稱“學材”），使學生感受平均數產生的必要性，會用移多補少、求和均分計算一組數據的平均數；二是引導學生經歷觀察、思考、計算、交流等一系列活動，理解平均數是代表一組數據整體（平均）水平的量值，體驗平均數的虛擬性、敏感性、區間性；三是應該通過多維的變式練習使學生能用平均數解決簡單的實際問題。

（一）優化學材，初步體會平均數的意義

“對數據的需要”是學生形成數據意識的起點，它要求學生在具體情境中認識到數據分析有助于問題解決，進而產生引進新的統計量的需求。在教學時，教師應準確把握學生這一起點，優化學材，引導學生主動參與學習活動。

師：看到“平均”兩個字，你想到了什么？

生：我想到了分桃子，把10個桃子平均分給5個人，每人分到2個。

生：我想到了把一塊蛋糕平均分成8塊，我家4人，每人分得2塊。

生：我想到了每人分得同樣多。

師：那么，看到“平均數”三個字你又想知道些什么呢？

生：我想知道什么是平均數。平均數與平均分有什么關系？平均數怎么求？學習平均數有什么用？

師：提出問題比解決問題更重要。會提問題，說明你們會學習、會思考。

教師出示改編的例1：東東同學是學校環保小隊的成員，四天來，他每天收集飲料瓶的數量分別是12，14，15，11個，請問他平均每天收集多少個飲料瓶？

【設計意圖】通過回憶平均分激活學生已有經驗，同時通過提問引發學生產生對于平均數的新思考。

（二）探究新知，分層建構平均數的計算方法

平均數的統計學意義（代表性、區間性、虛擬性、敏感性等）對于剛入四年級的學生來說很難理解，教學中除了引導他們掌握平均數的計算方法，教師更應重視通過多重辨析，使其經歷觀察、猜想、計算的過程，深入感知、感悟平均數的特征。

1. 看圖理解含義，探求方法

教師出示任務：東東犯難了，請你幫他在任務單中寫出建議的數據。

生：我填的是15，因為最多的是15。

生：我填的是14，因為最多的是15，最少的是11，如果這四天每天同樣多，不可能比最多的多，也不可能比最少的少。

師：誰讀懂他的意思了？

生：他的意思是平均數要比最多的少，比最少的多。

師：可能是16嗎？可能是10嗎？平均數在11到15之間，而這兩個數之間有12，13，14，到底是哪個呢？怎么讓別人一眼就能看出平均數是多少呢？

生：可以移動珠子。

師：你怎么想到移動珠子了呢？

生：我看到黑板上有珠子，而且珠子的高度不同，這樣通過移動就能夠讓它們同樣高，也就能看出平均數是多少了。

生：把14移動一個到12的上面，把15移動兩個到11的上面，這樣這四個數就都變成13了。也就是相當于每天都是13，達到了每天同樣多。

師：這13個是第一天收集的飲料瓶數嗎？

教師小結：像這樣一組數據中，通過“移多補少”方法，得到相同的數13，13就是這幾個數的平均數。

2. 思考辨析，感悟虛擬性

教師提出問題：“平均數‘13’是具體的數嗎？你是怎么理解平均數（平均數介于最大數與最小數之間，反映的是這幾個數平均后都相等而得到的數，可以等于其中的某個具體數，也可以不等于其中的任意一個數）13的？“觀察四天的平均數與每天收集飲料瓶的數量，平均數代表的是整體水平，并不是這組數據中某個具體的數。

3. 舉例估算，感悟敏感性

如果第五天東東收集了100個飲料瓶，平均數還會是13嗎？會發生怎樣的變化？

生：平均數不會是13，我認為大約是30多個，因為100相對于前幾天的數據太大了。

生：我們也同意。

師：無論怎么樣，會超過100嗎？

生：不會，會介于11和100之間。

師：如果第五天只收集到2個飲料瓶呢？平均數會發生怎么樣的變化？

生：會比13小。

生：會在2和15之間。

師：由此你們有什么發現？

生：平均數很敏感，每個數據的變化都會對它產生影響。

師：這位同學用到了“敏感”一詞，事實上，每個數據的變化都會帶來平均數的改變。

教師小結：通過剛才的探究我們發現，平均數很奇特，它不是具體每一天收集飲料瓶的數量，但卻能反映出這四天的整體情況。而且我們發現，平均數介于最小數和最大數之間；同時，平均數又很敏感，任何一個數據的變化都能夠引起平均數的改變。

4.豐富算法，理解運算本質

教師提出問題：有時候我們可以用“移多補少”方法計算平均數，但是也有些數據比如身高、體重或者較大的數據等不方便用“移多補少”方法，我們還有別的方法嗎？

學生組間交流匯報：先把四天的數量加在一起，然后除以4。

師：有多少位同學是按照這種方法計算的？我們給這種方法起個名字可好？

生：先加后除法，先總后分法，先和后均法。

師：同學們真有智慧，為了方便交流，像這樣先求總數再求平均數的方法，叫“先總后分”法，即平均數 = 總數量 ÷ 總份數。

【設計意圖】教師注重使學生自主探索、合作交流，通過解決“東東平均每天收集多少個飲料瓶”的問題，引導學生思考并理解平均數的意義，掌握“移多補少”以及“先求和再平均分”的數學方法。

教師小結： 剛才我們通過“移多補少”和“先總后分”的方法，都求出了東東每天收集飲料瓶的平均數。我們來看，這個平均數13并不是每天真正收集的飲料瓶數量，而是一個“虛擬”的數，它反映了這幾天平均每天收集飲料瓶數的一般情況。

（三）估算平均數，理解使用平均數的必要性

教師提出過渡問題：下面是第4小組男生隊和女生隊踢毽比賽的成績。你認為哪個隊成績好（見圖1）？

先交流：怎樣判斷兩隊中哪一隊的成績好？判斷成績好，能不能用總數來判斷？為什么？用什么來判斷更好呢？再猜測一下，哪個隊的成績會更好？然后，通過計算的方法驗證誰猜測得更準確。

教師小結：當我們遇到“兩個小組人數不等，踢毽數量也不等”的問題時，再比較總個數就不公平。這時，我們需要使用一個新的數來表示每組學生踢毽的整體水平，這個數就是平均數。

三、運用拓展，鞏固數據意識

平均數在生活中運用非常廣泛，教師要引導學生通過解決簡單的實際問題，對數據信息進行后續推斷、預測，提高對平均數概念的認知，感受平均數的合理性與獨有價值，同時也認識到平均數的局限性，鞏固數據意識。

（一）身邊的平均數

教師提出問題：找班上的3名同學，了解、紀錄其身高和體重情況。

（1）這3名同學的平均身高、平均體重各是多少？

（2）張俊才是現今中國最高的人，身高達到2.42米，如果這3名同學加上張俊才，4人的平均身高是多少？

【設計意圖】調查計算班上3名同學的平均身高和平均體重，指向數據收集和計算平均數。第二小題中求4人的平均身高，可以使學生感受到極端數據會對平均數產生較大影響。

（二）生活中的平均數

教師提出問題：2022年，遼寧省平均每戶3.25人。2022年，某地教師的人均預期壽命為79歲。

獨立思考并交流：為什么有0.25個人？每戶不到4人，你有什么想說的？已退休多年的李老師今年78歲，看到這則新聞很焦慮，你猜猜他是怎么想的？你會如何解釋呢？

【設計意圖】計算人的個數時應取整數，這里出現了0.25個人，也就是說平均數并不一定是現實中具體的某個數。消除李老師的焦慮可以從平均數的區間性來解釋，在這個過程中可以使學生進一步感受平均數的意義和價值。

（三）比賽中的平均數

教師提出問題：讀書節朗誦比賽中邀請了5名家長作評委，表2中是四年級一班的成績，請你先去掉最高分和最低分，然后算一算，四年級一班在這次比賽中的平均分是多少？

【設計意圖】在生活中常見的比賽計分情境中，通過去掉最高分和最低分，可降低極端數據對平均數的影響，增強學生解決問題的能力，提高應用意識。

（四）平均數的局限性

圖2統計的是一個公司員工的工資情況，你能用手勢比畫一下這個公司員工的平均工資嗎？這里的平均工資水平能反應每位員工的真實工資情況嗎？

【設計意圖】新課標在對數據意識的描述中提到：“感受到對于同樣的一組數據可以有多種分析的方法，需要根據背景和需要，選擇恰當的方法。”學生意識到現實生活中并不是每次數據的統計分析都適合用平均數來表示，其有局限性，也為后續的學習做出鋪墊，鞏固了數據意識。

通過“平均數”一課的教學，教師要引導學生把握概念本質，分層建構概念，發展數據意識，從而達成以生為本的課堂樣態。

參考文獻：

［1］牛獻禮.從統計學的角度理解平均數［J］.小學教學研究，2017（4）.

［2］劉加霞.“平均數”的本質及小學生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教學），2021（2）.

（責任編輯：楊強）