微分方程中的數學建模實例分析

摘?要：傳統高等數學教學有較好的基礎，但是由于教學手段單一，教學內容單調枯燥，學生很難將所學知識應用于實踐。數學建模將實際問題經過分析、抽象、通過合理假設、化簡，變化成一個數學問題，再通過數值分析方法求解問題，最后將結果應用于實踐。本文旨在通過多個微分方程模型實例，探討將數學建模思想和建模方法滲透和融入高等數學課程的教學中，培養和提高學生應用隨機數學的思想方法建模、解決實際問題的實踐、應用能力。

關鍵詞：數學建模；微分方程；分離變量法；齊次方程

微積分是高等數學教學內容中非常重要的一部分，它以極限思想為基礎來研究實數函數。微分方程模型描述的是動態系統，需要通過隨時間或空間的演變過程，分析動態對象的變化規律、研究變化特性、預測其未來發展性。這個過程就需要確定函數和其導數之間的關系，根據建模目的和問題分析作出簡化假設，按照內在規律建立微分方程，最終通過對微分方程的求解來指導實踐。

一、數學建模實例選擇標準

高等數學中很多問題和數學建模思想相關，而滲透建模思想的主要途徑就是聯系實際。于是選擇教學案例時要注意以下幾點。

首先，數學建模的實例要簡單易懂，學生要能直觀感受其中的數學關系，否則會過多占用學生思考時間，影響后續教學進度；其次，案例密切聯系實際，既有助于教學內容的理解，又通過對問題的分析，抽象能用學過的知識解決問題；再次，案例要與高等數學的知識范圍相關，如果案例中數學知識超出課程大綱范疇，學生難以理解，教學效果得不到保證，而所用知識太簡單，又不足以幫助學生深入理解數學建模過程，達不到教學目的；最后，建模案例應具備一定科學性，所選的案例要符合客觀事件發展規律，有較嚴謹的邏輯關系。

二、微分模型實例分析

建立微分模型的關鍵詞是“瞬時變化率”，而在實際中應用的表述變化的詞有物理學中的速度、經濟學中增長率、邊際利潤等，并且注意對象描述中的絕對增加率和相對增加率的計算。

冷卻問題把100℃的開水放到25℃的恒溫室中，觀察水溫的變化情況。

（一）模型分析

求溫度變化規律，即討論溫度隨時間的變化關系。如果把溫度看作是時間的連續可導函數，按照持續的熱量傳遞變化，就可以建立一個微分方程。

（二）模型假設

（1）水溫T（t）表示t時刻的溫度；

（2）溫度的變化是一個持續漸變的過程，可以認為??T（t）?是關于t連續且充分光滑的；

（3）水溫的變化只有溫差引起的熱傳遞。

（三）模型建立

物體溫度的變化快慢與物體和環境的溫差成正比。溫度的“變化快慢”，即“變化率”，即溫度對時間的導數dTtdt，由題意可得微分方程為

dT（t）dt=-k（T-25）（k>0）

（四）模型求解

該方程具有形如dydx=f（x）g（y）的形式，則稱之為可分離變量的方程，在g（y）≠0時，方程可化為dyg（y）=f（x）dx，該過程稱為分離變量，再分別對x，y進行積分，就可得到原方程的通解。即

dT（t）dt=-k（T-25）（k>0）

首先分離變量

dTT-25=-kdt（k>0）

再兩邊同時積分

∫dTT-25=∫-kdt（k>0）

則

lnT-25=-kt+lnC

化簡得該冷卻過程的通解為

T=Ce?-kt?+25

可在不同時間測得兩個溫度，作為初始條件，代入上式，即可確定參數C，k，從而得到溫度變化的特解，進而得到任意時刻熱水溫度。

例1：我們經常在電視劇中看到這樣的情境，警察通過測量當事人身體溫度，就可以大致推斷案發時間，這是什么原因呢？如警察于上午7：30測得當事人身體溫度為34.4℃；2小時后，測得溫度為32.2℃，而周圍環境溫度保持25℃左右。那么這起案件案發時間大致是什么時候呢？

1.問題分析

此問題與例1同類型，均為冷卻問題，即參看上例計算如下。

假設案件發生時，當事人體溫是正常的，即正常身體肝溫T=38°C。設T（t）表示t時刻肝溫，并記晚上7：30為t=0，則T（0）=34.4°C，T（2）=32.2°C。

2.模型建立與求解

假設體溫的變化率服從冷卻定律，即體溫的變化率與他同周圍的溫度差成正比，即dTdt=k（T-25）（k是常數），同樣可以利用分離變量法解這個一階微分方程。

得原方程的通解為

T（t）=25+e?C?e?kt?=25+ae?kt?

由初始條件

T（2）=25+ae?2k?=32.2及T（0）=25+a=34.4

解得：

a=9.4，k=-0.133

即方程的特解為：

T（t）=25+9.4e?-0.133t?

當T=38，可得t=-2.44，可得案發時間約為上午7點30前2.44小時（約2小時26分鐘），即上午5點04分左右。

后來警察在搜證時發現當事人之前有發燒跡象，那么案發時間就不能按照正常肝溫進行推測，實際時間應該比測量時間提前。比如當T=40時，可得t=-3.52，可得案發時間是上午4點左右。

例2：燃燒卡路里

每天消耗的熱量比攝入的熱量多，就可以達到減肥的效果。由于受年齡、體重、活動量等影響，每個人減肥效果不同。根據相關資料顯示，成年男性每天最基本新陳代謝要消耗1800卡，每天的體育運動消耗熱量大約是17卡/（千克·天）乘以它的體重（千克），1千克脂肪大約需要消耗8500卡，假設以脂肪形式貯存的熱量消耗100%有效，試討論此人體重變化的規律。

1.問題分析

人的體重隨時間變化是由于人體能量消耗和吸收的差值引起的。

2.模型建立與求解

假設在短時間內，體重的變化率是身體一天內熱量對脂肪的轉化率，若此人日常攝入熱量為2500卡/天，由已知信息可得：

dωdt=2500-1800-17w8500

利用分離變量法可得方程的解為：

w（t）=117700-Ce-17t8500?

若此人現在體重為90千克，令W（0）=90，可得體重??w（t）?=117700+830e-17t8500?，兩個月后，即當t=60時，此人體重約為84.5千克。

例3：汽車的車燈鏡面是什么形狀的？

（1）問題分析：

汽車車燈鏡面要求當光源發出的光線經過鏡面時能平行地反射出去。

（2）模型建立與求解：

首先假設燈鏡面是旋轉曲面，鏡面均勻光滑的。根據車燈的基本要求，構建幾何模型。設探照燈的點光源為O，鏡面由曲線L：y=y（x）繞x軸旋轉一周而成。曲線L：??y=?y（x），設M（x，y）是曲線上任意一點，MT為切線，斜率為y′（x），分析探照燈的鏡面形狀如下：

因為∠OMN=∠NMR，所以tan∠OMN=tan∠NMR

則由正切的夾角公式可得yy′2+2xy′-y=0

整理得y′=-xy±1+（xy）?2這是一個齊次方程。

令u=yx，即y=ux，y′=u′x+u，則原式可化簡為：

dudxx=1+u2-1u-u

利用分離變量法得udu1+u2-（1+u2）=1xdx

湊微分可得12d（u2+1）1+u2-（1+u2）=1xdx

令t=u2+1，兩側同時積分即得該方程的通解為：

（1-1+u2）x=C

得原方程的通解為：

y2=2C（x+C2）

則鏡面方程為：

y2+z2=2C（x+C2）

鏡面是典型的旋轉拋物面，使得學生在建模過程中一方面利用生活常識建立坐標系，以幾何角度得到微分方程，并進一步學會旋轉曲面的結構。通過這一案例，不僅使學生對抽象的微分方程建立直觀印象，而且又可以使學生認識到微分方程與實際聯系比較緊密的教學內容，因此，學生就更容易理解并掌握學習的內容，并把它轉化到實際中去。

例4：人口問題

為了保持自然資源的合理開發與利用，人類必須保持并控制生態平衡，甚至必須控制人類自身的增長。我們的問題始終是當前或者過去某個時刻的人口數量，預測未來某個時刻的人口數量及未來人口的趨勢。

（1）問題分析與假設。

人口增長率與人口出生率、死亡率、人口總量、種群容量等因素均有關，在此只討論單種群增長，并做以下假設。

①忽略種群容量對人口的影響。

②人口自然增長率為常數，為人口出生率與死亡率之差。

③短時間內人口連續變化，人口總數N（t）是一個連續函數。

（2）模型建立與求解。

設t時刻的人口總數為N（t），單位時間內人口增長率為r，則可得短時間內人口增量為：

N（t+Δt）-N（t）=N（t）·Δt·r

整理可得dNdt=N·r

若某一時刻t?0?的初始人口基數為N?0?，這也是一個可分離變量方程，可得該方程的特解為：

N（t）=N?0?e?r（t-t?0?）?

（3）模型分析。

當時間t趨近于無窮時，可得人口的極限數量。此解表示人口是指數增長的，這與實際相矛盾。在人口基礎較低時，人口增長只受出生率與死亡率影響，在短時間內增長較快，符合指數增長特點，但當人口基數增大，而種群容量有限，人口變化率就變得很復雜。

（4）模型改進。

考慮到種群容量有上限，將人口變化率從常量r調整為r（N），是當前人口數量N的函數，由此短時間內人口增量為：

N（t+Δt）-N（t）=N（t）·Δt·r（N）

假設生物系統的種群容量上限是K，則可得微分方程為：

dNdt=Nr1-NK

分離變量可得1K-N+1NdN=rdt

若某一時刻t?0?的初始人口基數為N?0?，方程的特解為：

Nt=K1+KN?0?-1e?-rt?

三、微分方程初值問題數值解

常微分方程初值問題的數值解法是近似計算中很重要的部分。一般情況下，求解微分方程的解析解是非常困難的。對于微分方程而言，更重要的是掌握常用的數值求解方法。常用的經典常微分方程初值問題數值解法是四階龍格庫塔法公式，并可通過Matlab軟件對微分方程進行計算。而Matlab軟件教學的應用，不僅能培養學生的學習興趣，也能進一步提升學生解決實際問題的能力。

結語

日常的教學活動中學生覺得高等數學等基礎學科枯燥乏味，晦澀抽象，缺乏學習興趣和動力。在數學建模活動中，又對實際建模束手無策，無法將實際問題與數學知識聯系起來。這就要求我們在日常教學中引入內容時，適當地結合建模過程，將數學建模思想逐步滲透到教學中，并借由數學建模競賽的平臺檢驗學生應用數學的能力，增強學習興趣，提高對數學基礎課的認同感，同時也豐富了教師的教學手段，增強課堂參與性。

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基金項目：陜西省教育科學“十三五”規劃2020年度課題SGH20Y1400

作者簡介：鄒佩（1985—?），女，漢族，碩士研究生，講師，研究方向為偏微分方程數值解法。