作用到單位向量上的線性變換軌跡解析

李天竹 嚴維軍 陳昊 肖業亮

摘?要：線性變換是線性空間到其自身的線性映射.當在線性空間中取定一組基以后，在線性變換與矩陣之間就建立起一一對應的關系，這樣就可以使用矩陣運算來解決線性變換問題.盡管線性變換較為抽象，但在教學中可運用幾何直觀法將其顯性化、可視化，從而降低教學難度，提高教學實效.為了挖掘教學深度，強化并優化概念教學，本文運用矩陣的特征值與特征向量等知識，從理論上對單位向量x經二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進行了分析，根據矩陣A的奇異性等特性給出了Ax軌跡的生成條件，并通過仿真實驗對結果進行了驗證.

關鍵詞：線性變換；單位向量；軌跡；理論分析

一、概述

線性變換是線性代數的一個重要的基本概念和研究對象，有著豐富的理論內容.常用的線性變換有旋轉變換、伸縮變換以及投影變換等［1］?.迄今，線性變換在機器學習、圖像處理、語音識別、壓縮感知等眾多領域都得到了應用［23］?.正因為如此，熟練掌握線性變換知識對于學生更深入的學習是非常重要的.為了便于學生從幾何上理解線性變換這一抽象的概念，引入恰當的動畫模型進行可視化教學就顯得十分必要.為此，作用在單位向量上的線性變換模型就以其典型、直觀等特性在教學中被廣為采用［46］?.為了使該模型在教學中更好地發揮作用，本文基于A取一般的二階矩陣的情形，從理論上對向量Ax軌跡的類型及生成條件進行了深入細致的研究.

二、預備知識

令二階方陣A=abcd（a，b，c，d∈R，且a2?+b2?+c2?+d2?>0），單位向量x=（cosθ，sinθ）?T（0SymbolcB@

θ<2π）.做線性變換ξ=Ax=（X，Y）T?，則有

X=acosθ+bsinθ，

Y=ccosθ+dsinθ.（1）

于是

cX-aY=-（ad-bc）sinθ，

dX-bY=（ad-bc）cosθ.（2）

從而

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=（ad-bc）?2?.（3）

下面我們根據矩陣A的奇異性等特征，研究向量Ax隨著x變化的軌跡.

三、A為非奇異矩陣

此時，有

A=ad-bc≠0，（4）

進而推出

a2?+b2?>0，?c2?+d2?>0.（5）

（一）當ac+bd=0時

此時，方程（3）等號左端不含交叉項（即XY項）.結合（5）式，不妨假設d≠0.令ad=k，則有

a=kd，

b=-kc，（k≠0，k∈R）.（6）

從而（ad-bc）?2?=k2?（c2?+d2&nbsp;）?2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.

于是，（3）式變為

（c2?+d2?）X2?+（a2?+b2?）Y2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.（7）

以下分兩種情形進行討論.

情形一：當a2?+b2?=c2?+d2?時

結合（5）、（6）式，得：k=±1.代回（6）式，有

a=d，

b=-c，或?a=-d，

b=c.（8）

利用（5）、（7）式，得

X2?+Y2?=a2?+b2?.（9）

易知Ax的軌跡為圓，其圓心為原點，半徑長為a2?+b2?.圖1給出了此類的一個仿真示例，圖2～圖5的含義與圖1相仿.

情形二：當a2?+b2?≠c2?+d2?時

根據（5）、（7）式，得

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.（10）

當a2?+b2?>c2?+d2?>0時，Ax的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上、短軸在y軸上的橢圓，其半長軸長為a2?+b2?，半短軸長為c2?+d2?；而當c2?+d2?>a2?+b2?>0時，Ax的軌跡為中心在原點、長軸在y軸上、短軸在x軸上的橢圓，其半長軸長為c2?+d2?，半短軸長為a2?+b2?.

（二）當ac+bd≠0時

此時，方程（3）等號左端含交叉項.記

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=ξT?Bξ，（11）

其中，B=c2?+d2?-ac-bd

-ac-bda2?+b2?.

B的特征多項式為

B-λE=λ2?-（a2?+b2?+c2?+d2?）λ+（ad-bc）?2?，（12）

特征值為

λ1?=α-Δ2=2（ad-bc）?2?α+Δ，?λ2?=α+Δ2，（13）

其中，

α=a2?+b2?+c2?+d2?，（14）

Δ=α2?-4（ad-bc）?2?=［（a-d）?2?+（b+c）?2?］［（a+d）?2?+（b-c）?2?］.（15）

根據題設及反證法，易知

α>0，?Δ>0.（16）

利用（13）、（16）式，得

λ2?>λ1?>0.（17）

由（B-λE）U=0，求得實對稱方陣B的互異特征值λ1?，λ2?所對應的單位特征向量分別為

η1?=1τ1?（2γ，-β+Δ）T?，（18）

η2?=sgn（γ）τ2?（-2γ，β+Δ）T?，（19）

其中，

γ=ac+bd，（20）

β=a2?+b2&nbsp;-c2?-d2?，（21）

τi?=4γ2?+β+（-1）?i?Δ?2?（i=1，2）.（22）

因向量η1?與η2?正交，于是η1?·η2?=0，從而

（-β+Δ）（β+Δ）=4γ2?>0，（23）

結合（16）式，有

-β+Δ>0，?β+Δ>0.（24）

由（18）、（19）、（20）、（24）式知，向量ηi?（i=1，2）的各個分量均不為零，這說明向量η1?與η2?都不在原坐標系OXY的坐標軸上.具體地，當γ>0時，向量η1?、η2?分別在第Ⅰ、第Ⅱ象限；而當γ<0時，向量η1?、η2?分別在第Ⅱ、第Ⅲ象限.

令P=（η1?，η2?），根據主軸定理［7］?，得

PT?BP=P-1?BP=diag（λ1?，λ2?）.（25）

做正交變換

ξ=Pξ′，（26）

其中，ξ′=（X′，Y′）T?.分別以η1?、η2?為X′軸、Y′軸正方向上的單位向量建立平面右手直角坐標系.由（3）、（11）、（25）、（26）式得曲線（3）在新坐標系OX′Y′下的方程為

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?.（27）

根據（17）、（27）式知，Ax的軌跡為中心在原點、對稱軸不在原坐標系OXY的坐標軸上的橢圓，其長軸在X′軸上，短軸在Y′軸上，半長軸長為ad-bcλ1?，半短軸長為ad-bcλ2?.

四、A為奇異矩陣

此時，有

A=ad-bc=0.（28）

根據（1）式及CauchySchwarz不等式，得

XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（29）

（一）當a2?+c2?>0時

仿（6）式，利用（28）式，得

b=ka，

d=kc，（k∈R）.（30）

由（2）、（28）—（30）式，得Ax的軌跡方程為

cX-aY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（31）

（二）當a=c=0，b2?+d2?>0時

結合（2）、（29）式，得Ax的軌跡方程為

dX-bY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（32）

綜上可知，當A為奇異矩陣時，Ax的軌跡為兩端點關于原點對稱的直線段.眾所周知，行列式是線性變換下圖形面積（或體積）的伸縮因子［1］?.結合行列式的這一幾何意義，上述結果就非常容易理解了.

結語

本文對單位向量x經二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進行了詳細的理論分析.結果表明，當A是非奇異矩陣時，Ax的軌跡為圓或橢圓；而當A是奇異矩陣時，Ax的軌跡退化為兩端點關于原點對稱的直線段.本文不僅可以使學生加深對線性變換、矩陣的行列式以及矩陣的特征值和特征向量等相關知識的理解和掌握，同時對教師的教學工作也具有一定的參考價值.為了方便應用，我們將所得到的結果進行了整理，具體可見下表.

線性變換Ax的軌跡表

矩陣A=［a??b；c??d］滿足的條件

Ax的軌跡方程

曲線的類型

A為非奇異矩陣

a=d，

b=-c，或a=-d，

b=c.

X2?+Y2?=a2?+b2?.

圓

ac+bd=0，

a2?+b2?≠c2?+d2?.

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.

長軸與短軸分別在坐標軸上的橢圓

ac+bd≠0.

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?，

其中，λi?=α+（-1）?i?Δ2（i=1，2），

α=a2?+b2?+c2?+d2?，?Δ=α2?-4（ad-bc）?2?.

長軸與短軸均不在坐標軸上的橢圓

A為奇異矩陣

a2?+c2?>0.

cX-aY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關于原點對稱的直線段

a=c=0，

b2?+d2?>0.

dX-bY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關于原點對稱的直線段

參考文獻：

［1］戴維.C.雷，史蒂文.R.雷，朱迪.J.麥克唐納.線性代數及其應用［M］.北京：機械工業出版社，2023.

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［6］崔秋珍.基于MATLAB的《線性代數實驗課程》GUI平臺設計與實現［J］.電腦知識與技術，2012（8）：75137515.

［7］樊惲，劉宏偉.線性代數與解析幾何教程（下冊）［M］.北京：科學出版社，2009.

資金資助：遼寧省教育科學規劃“十四五”項目——高校創新型教學團隊建設研究與實踐（編號：JG22DB047）；遼寧省教育科學規劃“十四五”項目——新時代應用型本科公共基礎課混合式教學研究（編號：JG22DB055）

作者簡介：李天竹（1989—?），女，遼寧大連人，碩士，研究方向：人工神經網絡。