FFT 和MEM 在沖擊回波法識別混凝土缺陷尺寸中的對比研究

楊海林

（唐山工業職業技術學院，河北 唐山 063299）

0 研究背景

沖擊回波法（IMPACT-ECHO-METHOD）誕生于美國的康奈爾大學(Cornell University)，是Sansalone M 和Carino N J 在大量試驗的基礎上于1986 年正式命名的一種新型無損檢測法，簡稱IE。IE 法由于自身較強的抗干擾能力和高分辨率，自誕生之日起就引起了工程檢測領域廣泛的關注，是一種識別混凝土內部缺陷的理想方法，前景廣闊。經過多年的發展，沖擊彈性波檢測儀器目前已經國產化，為混凝土缺陷的識別提供了強有力支撐。沖擊回波法有效識別混凝土缺陷的關鍵在于波形信號的處理，當前流行的信號處理方法有FFT 和MEM。

查閱大量關于MEM 和FFT 應用于沖擊回波信號處理的文獻，發現當前的研究主要有：柴文浩[1]等建立了有限元模型和物理試驗模型，通過沖擊回波試驗對灌漿缺陷進行了識別，對經過FFT 后的信號進行了分析，發現FFT 可以識別缺陷的特征頻率，但抗干擾能力差，信號中的各種特征峰值相互重疊，給缺陷識別帶來干擾。舒志樂[2]等針對無砟軌道砂漿層的缺陷進行了有限元仿真和現場試驗，應用MEM 對檢測信號進行了處理，生成了缺陷云圖，比較準確地識別到了缺陷的位置，但研究方法單一，缺少對比驗證。黃維[3]以某實際裝配式建筑為例，應用MEM 對灌漿套筒的沖擊回波信號進行了解析，發現應用MEM 可以得到缺陷附近波速，通過反射波速與標定波速的差值判斷灌漿情況，不足之處在于灌漿料強度不足同樣會導致波速降低，沒有進行FFT 和MEM 的對比分析。姜勇[4]等針對隧道襯砌缺陷進行了沖擊回波測試，生成了MEM 云圖，發現應用MEM 得到的結果更加直觀，能準確反映缺陷的位置，但沒有對缺陷尺寸進行定量研究。耿豪[5]等針對單排雙排灌漿套筒的內部缺陷進行了沖擊回波測試，通過MEM 法獲得波速，通過FFT 獲得卓越頻率，對比分析后準確判定了缺陷的位置，能夠有效評估灌漿質量。

信號處理是沖擊回波測試的核心問題，查閱文獻[6-10]，總結已有的研究成果，發現MEM 和FFT在沖擊回波檢測混凝土缺陷的信號處理過程中都有應用，但對于兩種方法的對比分析研究成果不豐富。基于此，文章對FFT 和MEM 的基本原理進行歸納，對預先設置缺陷的混凝土模型進行沖擊回波測試，分析兩種方法的測試結果，對檢測效果和精度進行分析，為后續研究提供了一定基礎。

1 FFT 理論

1.1 傅里葉理論概況

對于沖擊回波信號，有時域表示法和頻域表示法。時域圖中橫軸為時間縱軸為幅值，可以用示波器實時記錄位移信號隨時間的變化，采樣完成后進行時域分析。頻域圖中橫軸為頻率縱軸為幅值，是時域信號經過傅里葉變換得到的結果，表示頻率隨時間的變化，求得頻譜的過程稱為頻域分析。由于時域信號較復雜，無法快速獲得關鍵信息，而頻譜圖中可以展示混凝土結構厚度和內部情況的關鍵頻率，所以處理沖擊回波信號的關鍵在于能否對波形進行時頻轉換得到頻譜，傅里葉變換就是一種可行的手段。

下面以某信號為例詳細闡述時頻轉換，見圖1。圖1（a）中，能看到波形信號隨時間的變化趨勢及幅值，但無法直觀地提供各個信號分量的信息。圖1（b）中，能看到轉換后的頻域圖，從圖中可以觀察到兩個明顯峰值，攜帶的關鍵信息可以從圖中直接觀察到，對于檢測結果的分析非常方便。

圖1 某信號時頻轉換

既然時域和頻域都可以表示同一個信號，那么他們之間是如何轉換的呢？這里就要用到傅里葉變換，傅里葉理論認為，波形信號可以看作是由一個或數個頻率不等的幅值和相位組成的正弦波，要想完成轉換，信號在（-∞，+∞）就必須是完整的，但實際工程中只能進行有限周期內的測量，所以變換結果會產生一定的誤差。傅里葉變換既可以表示離散頻率也可以表示連續頻率，傅里葉逆變換還可以將頻譜轉換為波形，定義時域和頻率對應的表示為傅里葉變換對，其中每個時域只對應一個頻域，保證解的唯一性。

1.2 FFT 理論概況

傳統的離散傅里葉變換（DFT）可以完成波形信號的數字化，從而得到頻域圖形，是信號分析領域一種比較常用的方法。通過離散傅里葉變換和離散傅里葉逆變換可以實現時頻信號的互相轉換，并且其特性和連續傅里葉變換極其接近，為后續處理連續信號提供了基礎，但缺點是運算量太大，實際工程中不易實現。假設取樣數為N，應用DFT 的運算次數需要達到N2，如此大的運算量即使借助計算機也是很困難的。基于此，就產生了一種依托計算機技術的快速傅里葉變換方法（Fast Fourier Transform，以下簡稱FFT），FFT 最早于1965 年被J. W. Cooley 和J.W. Tukey 提出，之后得到了快速發展[11]。當取樣數為N時，對于FFT 需要的運算次數就變為Nlog2N。

下面以實際數據對DFT 和FFT 的運算效率舉例說明，由于計算機執行二進制運算法則，可以假設取樣長度為210（即1 024），那么DFT 所需的運算次數為1 0242（即1 048 576），而FFT 只需要達到1 024log21024（即10 240），運算量減少了近一百倍，意味著完成相同的時頻轉換，FFT 只需要消耗相對于DFT1% 的時間和資源，所以FFT 目前被廣泛應用于頻譜分析。

FFT 應用較早，是傳統的頻譜分析方法，計算簡單快速。理想狀態下FFT 適用于整個時域，但實際檢測過程中采樣時間是有限的，只截取了部分信號來代表整體，這會導致頻譜泄漏和峰值加寬，實際檢測中可以通過添加窗函數來減少泄漏，但會降低頻譜分辨率。

2 MEM 理論

2.1 MEM 理論概況

求解沖擊回波信號的核心包括3 個方面，即存在性、穩定性以及唯一性，3 個條件必須同時滿足才能得到準確解，但實際工程中的檢測數據通常是不完整的，周圍環境也可能存在噪聲，經常出現不能滿足其中某個條件的情況，把這類情況定義為不適定問題（Ill-Posed Problem）。當求解此類問題時，解通常不唯一，通過統計方法找到可能性最大（即熵最大）的那個解，就是最大熵法（Maximum Entropy Method，以下簡稱MEM）。MEM 是1967年J. P. Burg 在研究地震波的過程中首先提出的，之后在1971 年被A. van Den Bos 證明了其應用效果[12]。

應用MEM 時要注意以下3 個方面：1）MEM求解時，存在性和唯一性通常能夠得到保證，但不能兼顧穩定性；2）如果約束太多，有可能使解不存在，這時就需要減少約束來保證存在性，但會造成解的數量明顯增多，可以通過熵最大原則進行最優解的選擇；3）上述所說的熵最大是從全局的角度考慮，而不是單獨截取的某一段，具有最大熵的解能夠滿足唯一性。

2.2 MEM 求解不適定問題

為了更加深刻地理解最大熵法，下面以一維頻譜為例，對其中涉及的3 種情況進行研究，見圖2、圖3、圖4。

圖2 時間域完整且無噪聲

圖3 時間域不完整但無噪聲

圖4 時間域不完整且有噪聲

對于圖2 的情況，時間序列（或時域數據）是完整且無噪聲的，經過傅里葉變換后可以得到頻域的唯一解。此類問題屬于適定問題，不必應用最大熵法就可求解。

對于圖3 的情況，時間域數據無噪聲干擾，但是不完整，只獲得了[-M,M] 的數據，由于未知區間數據的存在，導致變換后的頻域解不唯一，一般情況下會產生無限多解。此類問題屬于不適定問題，可以應用MEM 求解，即針對每一個解或未知數據外推計算其熵值，在結果中選定熵值最大的解或外推數據。這只是理想情況，實際工程中需要進行無限多次計算，因此這種方法不能應用。可以增加約束后進行求解，這里把數據作為約束進行求解。需要注意，時域中的最大熵和頻域中的最大熵不是對應關系，因此產生了兩種理論學派，即MEM1 和MEM2，這里不作詳細闡述。

對于圖4 的情況，時間域數據既有噪聲干擾又不完整，在[-M,M]的噪聲可能導致解不存在。當噪聲強度較高時，即使可以對未知部分進行外推，傅里葉變換后的頻譜也可能是負值，這與實際工程是不符的，所以這種情況解不存在。當噪聲強度較低時，解雖然存在，但是根據第2 種情況，也會存在無限多個，唯一性不能保證。此類問題也屬于不適定問題，可以應用MEM 求解。這種情況在求最大熵時可以不必要求所有數據點都存在約束條件，只需滿足[-M,M]上的數據偏差保持在合理范圍即可，這樣就滿足了解的存在性。

在譜分析過程中，應用最大熵法可以處理不適定問題，具有提高分辨率和降噪的作用，目前已經被應用在統計學的多個領域，加以研究后必然能成為沖擊回波信號處理領域具有廣泛應用前景的一種方法。MEM 的分辨率較高，是通過對已知數據以外的信號進行近似估計，假定未知信號與現有信號具有相同的統計特征，這與實際工程中的情況也相吻合，同時更適用于短信號的識別，目前被廣泛應用。

3 現場試驗

3.1 檢測原理概況

分析沖擊回波在混凝土內部的多次反射頻率可以實現厚度及缺陷的識別，沖擊回波在完整混凝土內部的傳播見圖5，沖擊回波在缺陷混凝土內部的傳播見圖6。

圖5 沖擊回波在完整混凝土內部的傳播

圖6 沖擊回波在缺陷混凝土內部的傳播

觀察圖5，發現沖擊回波往返一次的時間為T1，即一個完整的傳播周期，時頻轉換后的主頻為1=1/T1，假設波速為VP，則測試厚度為H1=VP×T1/2=VP/(21)。觀察圖6，沖擊回波遇到缺陷會發生提前反射和繞射，提前反射一次的時間為T2，繞射一次的時間為T3。則時頻轉換后的提前反射頻率為2=1/T2，假設波速為VP，此時提前反射厚度即為缺陷深度H2，H2=VP×T2/2=VP/(22)。繞射后的反射頻率為3=1/T3，此時測得的混凝土厚度H3=VP×T3/2=VP/(23)，由于繞射使傳播距離增加、傳播周期增大，導致計算頻率降低，計算得到的厚度要比實際混凝土厚度大，稱H3為名義厚度，存在關系H3>H1>H2，T3>T1>T2。

了解沖擊回波的傳播原理之后，就可以根據反射周期的提前和延后來判斷缺陷的具體位置，見圖7。圖7 中缺陷位于底部正中，水平方向代表卓越周期（單位ms），豎直方向代表測點位置，測點從下到上等間距布置，從右側圖中可以看出：9-11號測點只存在一個明顯峰值，說明此區域不存在缺陷，峰值位置即為結構實際厚度；7-8 號測點出現了兩個峰值，第1 個不明顯的峰值為沖擊回波對缺陷的響應，說明測點已接近缺陷，第2 個峰值為結構厚度響應，厚度與之前相比無變化，說明測點沒有正對缺陷上方，實際檢測過程中需要重點觀察附近測點；3-6 號測點出現兩個明顯峰值，第1 個峰值為缺陷深度的響應，說明測點已位于缺陷邊緣，沖擊回波能夠完成繞射，第2 個峰值為厚度響應，發現厚度反射周期向后偏移，這主要是由沖擊回波繞射導致，當出現此種情況時說明測點已經貫穿缺陷，可以進行標記；1-2 號測點只出現一個峰值且明顯向后偏移，為厚度響應，說明測點已完全位于缺陷上方，且繞射頻率占據主要地位。

圖7 通過反射周期識別缺陷位置示意圖

3.2 現場試驗

試驗選用儀器為沖擊彈性波無損檢測儀（簡稱PE），主要包括四個部分，如圖8 所示。第1 部分為激振錘，用于沖擊回波的激發，針對不同檢測厚度可以選用不同直徑型號。第2 部分為加速度傳感器，通過數據線和主機相連，用于拾取沖擊回波信號。第3 部分為PE 主機，分別連接電腦端和傳感器，作用是將電壓信號轉換為數字信號，方便計算機進行數據記錄，是整個測試流程的中轉站。第四部分為便攜式電腦端，內部裝有PE 數據采集和分析軟件，接收主機傳來的數據并進行存儲，采樣完成后可對信號數據進行分析。

圖8 試驗儀器示意圖

試驗模型為混凝土材料，厚度0.3 m，尺寸為0.7 m×0.7 m×0.3 m，缺陷設置在正中底部，為了取得更好的測試效果，直接將底部0.1 m 厚位置挖空，尺寸為0.2 m×0.2 m×0.1 m，缺陷設置及測點布置見圖9。每條軸布置26 個測點，測點間隔為2 cm，首個測點距模型邊緣10 cm。（0.25,0.45），對比發現MEM 的計算結果更接近實際。這主要是由于FFT 算法進行譜估計時引入了數據窗，并沒有對窗外數據進行合理的估計，所以造成數據泄露，但MEM 算法避免了這種情況，對窗外數據進行了合理估計，提高了分辨率和檢測效果。

圖9 缺陷設置及測點布置示意圖

4 結果分析

應用FFT 和MEM 兩種方法對采集的數據進行處理分析，通過對無缺陷的混凝土進行測試來標定波速，結果見圖10，可知VP=3.809km/s，可用于后續混凝土缺陷的檢測。X 軸和Y 軸方向的測試波形見圖11，觀察圖11 發現波形圖較復雜，無法直接從中獲得關鍵信息，需要對其進行變換，下面從兩個坐標軸方向分別對結果進行討論。

圖10 波速標定計算結果

圖11 測試波形圖

4.1 X 軸方向結果分析

將X 軸方向波形圖應用FFT 和MEM 進行變換，得到的計算結果見圖12。圖12 中縱坐標代表測點位置編號，與圖9 一致，FFT 計算結果中橫坐標為頻率（單位kHz），MEM 計算結果中橫坐標為計算時長（單位ms）。觀察圖12（a），發現測點8-20位置的頻率出現異常，根據頻率計算公式，當缺陷出現時沖擊回波的繞射會使頻率降低，在FFT 計算圖中表現為峰值頻率提前。觀察圖12（b），發現測點8-17 位置的卓越周期出現異常，根據應力波的傳播規律，缺陷處的繞射導致傳播周期變長，在MEM 計算圖中表現為峰值延后。

圖12 X 軸方向變換結果

為了更加直觀地識別缺陷，繪制了X 軸方向檢測結果的等值線圖，見圖13。圖13 中縱坐標為測點位置（單位m），FFT 計算結果中橫坐標為頻率（單位kHz），MEM 計算結果中橫坐標為換算厚度（單位m），假設混凝土邊緣坐標為0，彩色部分代表能量集中區。觀察圖13，等值線圖可以更直觀地標記出缺陷的位置，FFT 的計算結果為（0.30,0.47），MEM 的計算結果為（0.23,0.44），缺陷的實際位置為

圖13 X 軸方向等值線圖

4.2 Y 軸方向結果分析

將Y 軸方向波形圖應用FFT 和MEM 進行變換，得到的計算結果見圖14。觀察圖14（a），發現測點6-18 位置的頻率出現異常，頻率提前。觀察圖14（b），發現測點8-17 位置的卓越周期出現異常，峰值延后。

圖14 Y 軸方向變換結果

為了更加直觀地識別缺陷，繪制了Y 軸方向檢測結果的等值線圖，見圖15。觀察圖15，等值線圖可以更直觀地標記出缺陷的位置，FFT 的計算結果為（0.20,0.45），MEM 的計算結果為（0.24,0.47），缺陷的實際位置為（0.25,0.45），對比發現MEM 的計算結果更接近實際，分辨率更高，檢測效果更好。

圖15 Y 軸方向等值線圖

5 結論

運用理論分析和模型試驗研究了FFT 和MEM在沖擊回波識別混凝土缺陷尺寸中的應用，總結了FFT 和MEM 理論的基本原理，對設置缺陷混凝土模型進行了檢測，得出以下結論：1）FFT 算法簡單快速，分析過程添加的窗函數會導致頻譜泄露和分辨率降低；2）MEM 算法的分辨率較高，可以對已知頻譜外的信號進行近似估計，更加適合實際工程檢測，尤其對短信號的識別效果更佳；3）頻譜圖和卓越周期圖中可以攜帶缺陷信息，缺陷在FFT計算結果中體現為峰值提前，在MEM 卓越周期計算結果中體現為峰值延后；4）等值線圖可以更加直觀地識別缺陷位置，MEM 的計算結果比FFT 計算結果精度更高，是識別混凝土缺陷尺寸的一種理想方法，具有廣闊的應用前景。