高中數學導數問題新高考題型及解題方法研究

趙曉燕

(上海市松江區第四中學,上海 201600)

高考是中國應試教育的核心所在,通過高考,學生能夠憑借自身的努力到理想的大學深造,進入更高階段的學習,得到更加廣闊的成長空間.但是在高中教育階段,要想在高考中取得好成績,需要具備扎實的學科基礎知識和解題技巧[1],尤其是對于數學科目,作為高考當中的主要考查科目,在高考分數中的占比較重,而數學唯有通過不斷的練習才能逐漸掌握相應的考試技巧,在考試中快速正確地完成作答,取得高分,最終獲得理想的成績.數學壓軸題,作為數學試卷中單題分數占比最高的題型,對數學成績影響較大,因此有必要加強高考數學壓軸題解題技巧方面的研究,助力高考學子的進步和成長.

1 解題技巧之虛設零點

虛設零點常用的解題技巧包括整體代換、反代消參以及降次留參三種.其中,整體代換是指通過在某一區間虛設零點,使零點和其他元素滿足某種關系式,進而利用零點所滿足的恒等關系式實現整體代入,將復雜的函數關系轉化為普通式,解決問題[2].反代消參是指所要求解的問題與參數無關,此時則轉變用參數表示零點的思路,反過來用零點表示參數,把極值函數變成關于零點的單一函數再進行求解.降次留參是指建立含參數的方程或不等式.

例1 設函數f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點個數;

解析(1)當a>0時,f′(x)存在唯一零點;當a≤0時,f′(x)沒有零點.

(2)本題實際上是求f(x)的最小值.要想求出f(x)的最小值,需要確定該導數的單調性,進而確定單調遞減和單調遞增區間,最終求出最小值.

由(1)可知,可將f′(x)在(0,+∞)的唯一零點設為x0,當x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)單調遞減,在(x0,+∞)單調遞增,故[f(x)]min=f(x0).

綜上所述,在導數問題中,通過虛設零點能夠將復雜的問題簡單化,進而快速地求解出問題的答案,幫助學生解決導數問題的同時,也能在考試中留出更多的時間用于自查或完成其他問題的解答.

2 解題技巧之分類討論

在高中數學問題中,經常會碰到一些較難的數學問題,往往需要使用多個公式或方法才能解題.這時就需要將整個問題進行拆解,化整為零,分成若干個局部問題去求解,最終再將所有的答案進行整合,得出最終答案,這是分類討論思想的主要思路.

例2已知函數f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),

②若a=0,則f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減.

(2)滿足條件的a,b數值存在.

①當a≤0時,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞增,所以f(x)在區間[0,1]上,當x=0時,得出最小值為f(0)=b;當x=1時,得出最大值為f(1)=2-a+b.此時a和b滿足題設條件,當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.

②當a≥3時,由(1)知f(x)在[0,1]上單調遞減,所以f(x)在區間[0,1]上,當x=0時,得出最大值為f(0)=b;當x=1時,得出最小值為f(1)=2-a+b.此時a和b滿足題設條件,當且僅當b=1,2-a+b=-1,即a=4,b=1.

綜上所述,當a=4,b=1或a=0,b=-1時,f(x)在區間[0,1]的最小值為-1且最大值為1.

由此可見,分類討論思想在導數問題中十分適用,但比較注重考查學生理解題意和分析題干的能力.解題技巧雖然比較傳統,但是普遍性較強,也能應用到其他試題類型中,是學生必須掌握的解題技巧之一.

3 解題技巧之構造函數

在眾多的高考導數題型中,有一部分題型往往涉及超越方程,無法通過常規的導數解題方法.此時便需要通過構造合適的函數,利用問題的等價性從而尋找到解題的突破口.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)>1.

解析(1)設函數f(x)定義域為(0,+∞),

結合題意可知,f(1)=2,f′(1)=e.

故a=1,b=2.

設函數g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx.

所以當x∈(0,1)時,J′(x)>0;當x∈(1,+∞)時,J′(x)<0.故J(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

因為g(x)的最小值與J(x)的最大值不在同一個點處取,所以g(x)>J(x).

所以當x>0時,g(x)>J(x),即f(x)>1.

綜上所述,構造函數作為一種等價代換的解題技巧,看重的是學生轉變思路和找準突破點的能力,掌握該方法有一定的門檻,需要學生多加練習,養成良好的題感,從而為快速解題尋找到切入口.

4 結束語

總而言之,在高中教育階段,數學作為主要基礎性學科且在高考中分數占比較重,數學成績的高低將直接影響學生求學命運,因此有必要加強對于數學成績的重視,讓學生掌握更多地解題技巧,從而更有效率地答題,取得更高的分數,最終在求學的道路上獲得更多的選擇機會.本文主要從虛設零點、分類討論、構造函數三個方面詳細闡述了具體的應用和解題技巧,但關于導函數的解題技巧還有很多,無法一一列舉和說明,僅為導函數的解題提供參考和借鑒,后期也將從其他方面加強學習和研究,不斷豐富和補充.