物體脫離軌道瞬間的速度分析

蔡 飛

(江蘇省常熟市倫華高級中學,江蘇 常熟 215500)

高中物理對于動力學中關于力和運動、功能關系的研究,通常會在有預設軌道中來進行運動的分析和討論.而且預設軌道中,往往會涉及固定軌道和動態軌道兩種情況.對于不同的模型,討論的方向會有所不同.本文重點研究物體在不同條件下脫離軌道瞬間的速度問題.

1 有約束作用下的固定軌道脫離分析

有約束作用下的固定軌道,即物體的運動軌跡只能沿軌道,通常研究的為小環套嵌于軌道上或小球在有內外軌的軌道中的運動模型.下面將對小環在軌道上的運動脫離速度問題進行分析.

圖1 例1題圖

1.1 模型分析法

如圖2,bc段為以b為頂點的拋物線,顯然bc段軌道對應某一平拋運動的軌跡.下面先求出bc段軌道對應的平拋運動.設初速度為v0,c點速度方向與水平方向夾角為θ.由平拋運動知識可得:

至此,此拋物線對應的平拋運動原型已確定.接下來對給定條件結合平拋運動原型進行分析.

當R=0.5 m時,小環從a到c,由機械能守恒可得:

∵小環從c點飛出時速度方向沿曲線在c點的切線方向

1.2 軌跡分析法

對于軌道為拋物線的物理模型,可以從運動原型入手,通過運動原型的分析,確定軌道上任意一點的速度方向,從而求解速度水平分量和豎直分量.此外,拋物線也是比較典型的幾何模型,所以處理拋物線軌道的問題時,也可以利用數學方法去解決.因為物體在固定軌道上運動,任意一點的速度方向為切線方向,所以可以通過建立數學模型,結合導數的方法求解拋物線在任意一點的斜率,從而確定切線方向[2].

圖3 軌跡分析法示意圖

如圖3所示,以b為坐標原點,水平方向為x軸,豎直方向為y軸建立

直角坐標系.易得bc的拋物線解析式為:

y=-x2∴y′=-2x

物體從a到c,由機械能守恒可得(R=0.5m):

∵小環從c點飛出時速度方向沿曲線在c點的切線方向

顯然特定曲線的軌道原型的問題中,利用軌跡分析也能較好地解決.

點評本例中討論的軌道為拋物線軌道,由于拋物線都有對應的拋體運動,所以在分析問題中可以從拋物線對應的拋體運動原型入手,通過對拋體運動的特征來確定拋物線的軌跡特點,對于拋物線而言此法比較實用.但其他軌道難以匹配合適的運動,也可以從軌跡的幾何性質入手,通過數學方法對軌道的切線和法線進行分析,從而確定運動的性質.

2 無約束作用下的固定軌道脫離分析

無約束作用下的固定軌道的運動,即物體在軌道內側或外側發生運動,在運動過程中因不受約束,當不滿足軌道運動條件時物體會脫離軌道.下面以小球在軌道內側的運動進行脫離速度的分析.

例2如圖4所示,半徑為R的半圓型軌道豎直固定在水平地面上.質量為m的小球以初速度v0向右運動沖上豎直半圓軌道,所有接觸面均光滑,不計空氣阻力,討論小球脫離軌道的速度.

圖4 例2題圖

分析小球脫離軌道分三種情況:

方向水平向左.脫離后物體做平拋運動.

①

從a點到脫離軌道有機械能守恒定律可得:

②

圖5 第三種情況示意圖

小結物體在有、無約束條件下的固定軌道運動脫離時,物體的速度方向始終沿切線方向,分析脫離速度的過程中可以從運動原型入手,也可以借助數學方法尋找切線,同時還可以結合受力的特點研究物體的速度.對于固定軌道而言,物體脫離速度沿切線方向.那么是不是意味著所有的軌道運動的脫離速度都是沿切線方向呢?答案顯然是否定的.物體脫離動態軌道的運動中,脫離速度的方向一般不沿切線方向,而是相對速度的方向沿切線方向.接下來重點探究物體脫離動態軌道的速度問題.

3 運動軌道脫離分析

3.1 物體與軌道發生相對運動時的脫離速度研究

圖6 例3題圖

例3如圖6所示,質量為m的凹槽置于水平面上,凹槽弧形是半徑為R的圓軌道的一部分,圖中θ=60°.一質量為m的小球在A點正上方高度為R處由靜止釋放,所有接觸面均光滑,不計空氣阻力,求小球飛離凹槽瞬間的水平速度和豎直速度.

點評在動態軌道上運動的物體,由于軌道速度不為零,物體的脫離速度方向不沿切線方向,而是相對軌道的速度沿切線方向.動態軌道問題往往會與動量守恒的問題相結合,軌道速度為水平方向.所以處理此類問題時,一般會設定物體的速度的水平分量和豎直分量,通過相對速度與豎直速度的合速度沿軌道切線方向來解決問題.

3.2 物體與軌道發生相對運動時的脫離速度應用

圖7 變式1圖

變式1如圖7所示,質量為m的小球從凹槽上方h的高度自由釋放,凹槽的質量也為m.求小球飛離凹槽瞬間的速度.所有接觸面均光滑,不計空氣阻力.

變式2如圖8所示,光滑的水平面上固定平行導軌PQ、MN,兩導軌之間的距離為2R.一質量為m光滑凹槽置于平行導軌之間,凹槽弧形部分為半圓形,且半徑為R.現一質量為m小球以v0向左運動,所有接觸面均光滑,不計空氣阻力,求小球運動到凹槽b點時的速度.

圖8 變式2圖

變式3如圖9,曲邊形abcd由兩段半徑為R,圓心角為60°的扇形和線段bc構成,其質量為m,一質量也為m小球以v0=3 m/s的速度向右運動,沖上曲面體abcd,試分析小球從b點飛離后能否落在bc段.若能,求出落點到b的距離,若不能,分析原因.已知R=0.1 m,xbc=0.4 m.所有接觸面均光滑,不計空氣阻力.

圖9 變式3圖

4 結束語

物體在有、無約束的固定軌道上運動時,脫離瞬間的速度沿切線方向.在運動軌道上的脫離速度則是相對速度的方向為切線方向,所以在研究脫離速度的問題時,首先要確定的是軌道是否固定.

不論是固定軌道還是動態軌道,物體脫離速度相對于軌道都是沿切線方向,在這點上,不同類型的軌道運動脫離速度都是統一的.