例談導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的“聯(lián)姻”

林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué) ,廣東 佛山 528315)

新高考已經(jīng)不僅僅局限于基本知識(shí)和基本技能的考查,更重視對(duì)學(xué)生綜合核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查,題目會(huì)更加靈活多變,富有創(chuàng)新性和綜合性.在題目中融入數(shù)學(xué)文化、生活實(shí)際、跨學(xué)科的知識(shí),將不同的知識(shí)融合交匯,那么知識(shí)之間的融合必然會(huì)更加精彩.

三角函數(shù)有其獨(dú)特的性質(zhì),當(dāng)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)“聯(lián)姻”時(shí),三角函數(shù)的周期性、有界性等就被融入進(jìn)來.對(duì)于三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值問題、含參問題或者相關(guān)綜合性問題,借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究能更充分地考查數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)算求解能力、綜合應(yīng)變與解題調(diào)控能力,也能很好地彰顯考生解題方法的靈活性、多樣性,從而備受命題者的青睞,不少高考試題和模擬試題均在三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)交匯處進(jìn)行命題.下面筆者以近年高考或?？贾信c三角函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)題為例,進(jìn)行分類歸納與解答,供大家參考.

1 三角函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)組合

例1 已知函數(shù)f(x)=ax-sinx(a∈R).

解析(1)由已知,得f′(x)=a-cosx.

綜上,a的取值范圍為(0,1).

=a-1.

綜上,a的取值范圍是(-∞,1].

2 三角函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)組合

例2 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理20)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

解析(1)設(shè)g(x)=f′(x),則

則當(dāng)x∈(-1,α)時(shí),g′(x)>0;

(2)易得f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).

①當(dāng)x∈(-1,0]時(shí),由(1)知,f′(x)在(-1,0)單調(diào)遞增,而f′(0)=0,所以當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減.又f(0)=0,從而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零點(diǎn).

④當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí),ln(x+1)>1,所以f(x)<0,從而f(x)在(π,+∞)沒有零點(diǎn).

綜上,f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

3 三角函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)組合

例3 已知函數(shù)f(x)=exsinx.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)由已知g(x)=exsinx-ax,

所以g′(x)=ex(sinx+cosx)-a.

令h(x)=g′(x),則h′(x)=2excosx.

又g′(0)=1-a,

g′(π)=-ex-a<0,

所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)>0,

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),g′(x)<0.

所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減.

因?yàn)間(0)=0,所以g(x0)>0.

又g(π)=-aπ<0,則由零點(diǎn)存在性定理可得,此時(shí)g(x)在(0,π)上僅有1個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)間(0)=0,所以g(x1)<0.

所以g(x2)>0.

又因?yàn)間(π)=-aπ<0,由零點(diǎn)存在性定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn),即此時(shí)g(x)在(0,π)上有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)0

評(píng)注本題難點(diǎn)在于研究函數(shù)g(x)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)多與單調(diào)性有關(guān),一般利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由于一階導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,故求二階導(dǎo)函數(shù),通過研究y=g″(x)圖象的大致特征,確定參數(shù)a的分界點(diǎn),再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析.與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的題目,兩次求導(dǎo)的處理方法較為常見.

4 三角函數(shù)與對(duì)數(shù)型、指數(shù)型函數(shù)組合

例4 (2019年泰安二模21)已知函數(shù)f(x)=(x-m)lnx(m≤0).

(1)若函數(shù)f(x)存在極小值點(diǎn),求m的取值范圍;

(2)證明:f(x+m)

解析(1)m的取值范圍是(-e-2,0].

(2)當(dāng)m≤0時(shí),有

f(x+m)=xln(x+m)≤xlnx,

若xlnx

則f(x+m)

①若x∈(0,1],則ex+cosx-1>0,xlnx≤0.

于是xlnx

所以f(x+m)

②若x∈(1,+∞),令

h(x)=ex+cosx-1-xlnx,

則h′(x)=ex-sinx-lnx-1.

設(shè)g(x)=h′(x),則

所以g(x)>g(1)=e-sin1-1>0.

即得h′(x)>0.

于是h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(x)>h(1)=e+cos1-1>0.

即ex+cosx-1-xlnx>0.

故xlnx

所以f(x+m)

綜上,f(x+m)

5 多個(gè)三角函數(shù)與其他函數(shù)組合

例5 (2019年全國(guó)Ⅰ卷文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);

(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析(1)設(shè)g(x)=f′(x),則

g(x)=cosx+xsinx-1,

g′(x)=xcosx.

所以f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn).

(2)由題設(shè)知f(x)≥ax,f(π)=0,可得a≤0.

由(Ⅰ)知,f′(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增,在(x0,π)單調(diào)遞減.

又f(0)=0,f(π)=0,

所以,當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.

又當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時(shí),ax≤0,故f(x)≥ax.

因此,a的取值范圍是(-∞,0].

評(píng)注①對(duì)于零點(diǎn)不可求問題,常見的做法是“設(shè)而不求”.通過設(shè)出未知數(shù)作為橋梁進(jìn)行消元或整體代換,這種數(shù)學(xué)思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中有著廣泛應(yīng)用.②要求證一個(gè)函數(shù)“有且只有一個(gè)”零點(diǎn),可先用“函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理”證明函數(shù)存在零點(diǎn),再證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù),即得函數(shù)零點(diǎn)的唯一性.其依據(jù)為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上至多有一個(gè)零點(diǎn).如果要證明函數(shù)有多個(gè)零點(diǎn),一般要將分區(qū)間討論解決,由于涉及三角函數(shù),在判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí),注意不同區(qū)間正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)[3].

6 結(jié)束語(yǔ)

由上述例子可看出,導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的題型眾多,融合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等重要知識(shí)點(diǎn)于一體,函數(shù)的表達(dá)式多是三角函數(shù)與ex,lnx相結(jié)合.問題方面主要與函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、極值與最值、恒成立問題、證明函數(shù)不等式等主干內(nèi)容相關(guān),多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合在一起.由于三角函數(shù)的特殊性,所以不單考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,還可能考查三角函數(shù)中的恒等變換、周期性、有界性,常見的三角不等式等.綜合度較高,對(duì)于考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.

因此,在復(fù)習(xí)備考中要注重以下兩點(diǎn):

①突出主干知識(shí).導(dǎo)數(shù)試題注重對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等重點(diǎn)內(nèi)容的考查,函數(shù)單調(diào)性是核心性質(zhì),要深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí),復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.

②注意總結(jié),歸納提煉方法.復(fù)習(xí)時(shí)要善于總結(jié),將涉及三角的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題分門別類,并歸納出常用的解法與注意事項(xiàng),并通過題目的訓(xùn)練,舉一反三,觸類旁通.