微元法證明均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零

段石峰

(長沙市周南中學,湖南 長沙 410201)

質量分布均勻的球殼具有球對稱性(繞球心任意旋轉都是相同的),球殼對殼內外質點的萬有引力都可以用微積分或高斯定理求解[2],而球體是一層層同心球殼的疊加,因此只要解決球殼的問題,那么相關的一系列問題都迎刃而解.其中有一個很重要的結論:均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零.這個結論還可以借助空間“立體角”的概念進行證明,但這些方法都屬于高等數學.高中物理通常把這個結論不加證明地告訴學生,盡管不礙于問題的解決,卻難免有“強行灌輸”之嫌,終究給學生留下“知其然而不知其所以然”的疑惑和缺憾,這不利于學生思維能力的發展.

雖然高中階段對微積分不作要求,但由它派生出來的微元法屬于初等方法,并且非常巧妙地實現了降解.微元法是高中物理處理問題的重要方法,基本思路是“先無限分割,再累積求和”,即先把物體分割成足夠小的質量微元,求出它們之間的萬有引力,再求力的矢量和就可得到物體之間的萬有引力.本文利用微元法從兩種不同的視角,證明均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零.

1 用微元法處理的基本思路

當物體不能看作質點時,物體之間的萬有引力如何計算?基本思路是將物體進行分割,當分割得足夠細時,每一部分都可以看作質點[3].如圖1所示,首先把A、B兩個物體分割成很多小塊,每一小塊的體積都很小,可以看作質量為Δm的質點,A、B物體上任意兩個質點間的萬有引力為

圖1 微元法基本思路

然后求出B物體上所有質點對Δmai的萬有引力,將這些力進行矢量求和,得到B對A上任意質點Δmai的萬有引力為

最后把B對A上每一個質點的萬有引力進行矢量求和,得到A、B兩物體之間的萬有引力為

即A、B之間的萬有引力等于A的每一部分與B的每一部分的萬有引力的矢量和.然而對于體積不規則的物體,求和過程很難計算;對于具有對稱性的物體,可以利用對稱性簡化求和過程.

2 用微元法證明的兩種視角

2.1 視角一:用圓錐截取

如圖2所示,質量為m的質點處在球殼內的任意位置P點,過P點任意作一條直線與球殼的交點為A點和B點.以P點為頂點、以直線AB為對稱軸任意作一對頂角很小的圓錐,圓錐在球殼上截取兩個面積很小的球面,可以看作以A點和B點為圓心的圓平面,圓的面積分別為S1和S2.

圖2 用圓錐截取的球面示意圖

設球殼單位面積的質量為σ,截取的兩個質量微元m1和m2可以看作位于A點和B點的質點,它們到P點的距離分別為r1和r2,對P點處質點m的萬有引力方向相反,大小分別為

分別過A點和B點作垂直于AB的圓錐底面圓,半徑分別為R1和R2,面積分別為S1′和S2′.設∠OAB=∠OBA=θ,則圓面S1與S1′的夾角為θ,圓面S2與S2′的夾角也為θ,它們的關系為

由于垂直于AB的兩個圓錐底面圓相互平行,所以存在相似三角形關系,由對應邊成比例可得

聯立以上各式可得F1=F2,即F1和F2的矢量和為零.現將對頂圓錐繞P點旋轉,所截取的每一對質量微元對P點處質點的萬有引力的矢量和都為零,并且可以截取到整個球殼,所以整個球殼對P點處質點的萬有引力為零,于是證明了均勻球殼對殼內任意位置質點的萬有引力為零[4].

2.2 視角二:用環帶分割

如圖3所示,質量為m的質點處在球殼內的任意位置P點,以P點為頂點、以過P點的直徑為對稱軸任意作一對圓錐,圓錐母線與對稱軸的夾角為θ,此角增大Δθ(Δθ→0)的過程中,圓錐在球殼上掃出兩條環帶,兩環帶到P點的距離分別為r1和r2,寬度分別為r1Δθ和r2Δθ,半徑分別為R1和R2,則兩環帶的面積分別為

S1=2πR1·r1Δθ,S2=2πR2·r2Δθ

圖3 用環帶分割示意圖

設球殼單位面積的質量為σ,則兩環帶的質量分別為

m1=σS1,m2=σS2

將兩環帶再分割為質量微元Δm1和Δm2,對P點處質點m的萬有引力方向具有對稱性,與對稱軸的夾角為θ,大小分別為

那么兩環帶對P點處質點m的萬有引力方向沿對稱軸相反,大小分別為

由于兩環帶所在的圓平面相互平行,所以存在相似三角形關系,由對應邊成比例可得

3 結束語

從證明的過程來看,之所以分割的每一對質量微元對球殼內任意質點的萬有引力為零,是因為萬有引力具有一個很明顯的特點,那就是它與距離的平方成反比.換句話說,“均勻球殼對殼內質點的萬有引力為零”這個結論并非偶然,而是平方反比規律的必然結果.既然如此,由于庫侖定律同樣遵循平方反比規律,那么本文的證明方法和結論也同樣適用于庫侖力,即“電荷分布均勻的球殼對殼內任意位置點電荷的庫侖力為零”.只不過帶電體產生的靜電場容易與物質發生相互作用,引起明顯的靜電感應現象或電介質極化現象,導致電荷的分布難以保證具有球對稱性.