探究高中數學導數的解題方法

林超良

(泉州實驗中學,福建 泉州 362000)

導數是高中數學的重要組成部分,也是高考數學的命題重點,對學生的綜合運用能力要求比較高[1].熟練掌握導數解題方法,可以完善學生的知識框架、提高應用能力、培養自主探究習慣[2].本文以不同類型的數學導數題為例,探究、分析導數的解題方法,更好地發揮導數在高中數學解題中的作用.

1 求切線方程

導數的幾何意義是“切點處導數等于切線斜率”.這一特征是求解函數切線方程的基礎.求切線,需要兩個要素.其一,切點坐標;其二,切線斜率.

例1已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數.求曲線y=f(x)在點A(0,f(0))處的切線方程.

分析這道題的知識點是求在曲線上一點處的切線方程(斜率).先求出導函數,由k=f′(0)得到切線斜率,再根據點A坐標即可得到切線方程.

由題意f′(x)=cosx+xsinx-1,所以f′(0)=0,即切線的斜率k=0,且f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點A(0,f(0))處的切線方程為y=0.

在解決切線方程的過程中,要注意以下幾點:

(1)已知切點,求曲線的切線方程:已知切點(x0,y0),求出切點處的切線斜率f′(x0);

(2)過曲線上一點,求切線方程:過已知曲線上一點求切線方程,應注意到曲線上這一點,分為是切點和不是切點兩種情況.

(3)過曲線外一點,求切線方程:這種情況和“過曲線上一點求切線方程”相似,都是先設出切點坐標,再進行切線方程的求解.

2 研究函數的單調性

在利用導數法判斷函數單調性時,一般流程如下:首先求出函數的定義域,之后對函數求導,接著判斷導函數的正負,最后通過導函數的正負,得出單調區間.

例2已知函數f(x)=xlnx-ax2,f′(x)為f(x)的導數,討論f′(x)的單調性.

分析利用導數討論函數的單調性,通常歸結為求含參不等式的解集問題.含參一元二次不等式問題著重考查分類討論思想,是高考命題中的重點和熱點問題,而對含有參數的不等式問題,需要注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論[3],解題時需要關注定義域及分類討論的標準.

設g(x)=f′(x)=lnx-2ax+1,對g(x)求導,分a≤0和a>0討論即可.

當a≤0時,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上單調遞增;

3 求函數的極值、最值

函數極值和值域問題是高考的重點和難點所在,考試大綱強調:重點考查利用導數的方法研究函數的單調性、極大(小)值、最大(小)值,研究方程和不等式.

解決極值和最值的主要流程是:(1)確定函數的定義域;(2)求導數f(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函數定義域內的所有根;(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值.

分析這道題的知識點是求已知函數的極值.求出函數的導數,進而求出函數的單調區間,從而結合極值的概念即可求出結果.

因為f′(x)=x2+3x+2=(x+1)(x+2),令f′(x)=0,得x1=-1,x2=-2,當x變化時,f′(x),f(x)的變化見表1:

表1 x變化時,f ′(x),f(x)的變化表

4 研究函數的圖象

一般而言,作函數圖象有以下流程:先求出函數的定義域,接著判斷函數的周期性和奇偶性,求出函數的零點、函數與y軸的交點等特殊點,之后確定函數的單調區間和極值點,最后根據上述結論精細繪制函數的大致圖象.

例4 函數f(x)=xsinx+cosx的導數f′(x)的部分圖象大致為( ).

圖1 例4題圖

分析根據已知,利用函數的求導公式以及函數的奇偶性、函數值進行排除.

因為f(x)=xsinx+cosx,

所以f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.

令g(x)=f′(x)=xcosx,x∈R,則g(-x)=-xcosx=-g(x),所以函數g(x)=xcosx是奇函數,A,C錯誤;又g(π)=πcosπ=-π<0,B錯誤.故選D.

導數作為解決函數的一個重要工具,其主要目的就是判斷并確定函數的單調區間,進而得出函數增減的大致情況,再依據函數的性質解決實踐問題,才能更好地理解以后的放縮問題.

5 求參數取值范圍

解決參數取值范圍問題可以根據導函數確定函數的單調性和極(最)值,大致繪制函數圖象的趨勢,再運用數形結合分析問題(或結合圖象特征分析零點的位置)轉化為關于參數的不等式組,通過解不等式組求出參數的取值范圍.

例5已知函數f(x)的導數f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=-1處取到極大值,則a的取值范圍是多少?

分析這道題分a=0,a>0和a<0三種情況,結合二次函數的圖象性質與極值的定義即可判斷.由題意當a=0時不成立,當a≠0時f′(x)有兩個零點x=-1與x=a.

①當a>0時,f′(x)開口向上,且-10,x∈(-1,a)時f′(x)<0,所以f(x)在x=-1處取到極大值;

②當a<0時,f′(x)開口向下.當a=-1時,f′(x)≤0,f(x)單調遞減,f(x)無極大值;當a<-1時,在區間x∈(a,-1)上f′(x)>0,x∈(-1,+∞)上f′(x)<0,故f(x)在x=-1處取到極大值;

當-10,故f(x)在x=-1處取到極小值.

綜上有a>0或a<-1.

6 解不等式

利用導數證明不等式通常有如下流程:首先,構造新函數F(x),接著通過導數解析函數F(x)的單調區間,最后通過判斷定義域內F(x)與0的大小關系來證明不等式.這類題目重點在于靈活準確地構造函數,再利用函數解不等式.

例6已知函數f(x)的導數為f′(x),且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0對x∈[0,+∞)恒成立,則下列不等式一定成立的是( ).

A.f(1)>2ef(2) B.3f(2)>2ef(3)

C.2f(1)

分析這道題的考點為用導數判斷或證明已知函數的單調性.設g(x)=xexf(x),則g′(x)=ex[(x+1)f(x)+xf′(x)]≥0,所以函數g(x)單調遞增.g(2)=2e2f(2)>g(1)=ef(1),即f(1)<2ef(2),故A,C錯誤;g(2)=2e2f(2)

從上述解題步驟可看出,構造新函數是利用導數證明不等式最重要的環節,之后在相應區間上判斷單調性,最后形成結論.事實上,解題過程中常會綜合用到多種方法,教師應指導學生靈活應用所學知識,樹立運用多種方法解決問題的意識,能夠把復雜問題簡單化.

7 結束語

綜上可知,導數涵蓋了多元化的邏輯思維,可以豐富學生的解題思路,解答題目更便捷,促進學習效率提升.若要使導數的價值和作用發揮至最大,學生必須深入理解導數知識點,熟練掌握導數基礎知識和變換形式,在不斷練習中鞏固技能,切實做到活學活用,提升解題效率.