將代數問題幾何化的“魔術師”
——向量

邵付松

(上海市零陵中學,上海 200032)

高中數學實驗問題設計一直是高中數學教學研究的重要內容,這是因為只有精心創設的數學實驗問題才有利于喚起學生的積極思維.設計的數學實驗問題要具有可操作性、可探索性和層次性,問題的難度要適中,能產生懸念,才有利于激發學生去思考、觀察,從實驗問題中發現規律,提出猜想,進行探索與研究[1].通過教學建模、問題解決、理性思考和結論升華、變式探究、結論應用等環節,讓學生親歷“提出問題—分析問題—解決問題—應用反思”的過程,使學生成為定理的發現者與再創造者,從而充分感受探究、創造的苦與樂[2].恰當地借助信息技術,能夠幫助學生有效地建立起形與數的聯系,指導學生學會利用幾何圖形等數學直觀來描述問題、理解問題,運用空間想象認識事物,達成培育學生直觀想象素養的目標.而實施的關鍵在于通過突破課堂新知難點,直觀展現解決問題的關鍵環節,準確呈現完善學科知識結構[3].

1 問題引入

圖1 點到直線的距離

這是2018年上海高考的第12題,從題目所在的位置上不難看出這道題的難度系數比較高,但當我們從向量的角度出發來分析這道題目時,卻發現這道題沒有想象中那么難,這就是向量方法的魅力所在,因此掌握好向量這個解題技巧對考生有莫大的幫助.

2 教學案例

(a)正方向上的投影 (b)負方向上的投影圖2 向量的投影

3 典型例題研究

圖3 耐克函數

圖4 飄帶函數

解析如圖5所示,分析省略.

圖5 冪和函數

3 結束語

向量作為分析代數問題的重要工具,在很多高難度的問題中都有廣泛應用,因作者能力有限,這里不再進行推廣.高中數學作為一門高中學段的基礎學科,知識點之間存在許多奇妙的聯系,希望本文能提供一個啟發點,讓更多的學者來一起進行探索,揭開高中數學神秘的面紗.