探析傳送帶問題的求解方法

2024-03-06 02:20:08成金德

數理化解題研究 2024年4期

成金德

(浙江省義烏市東大門學校,浙江義烏 322000 )

傳送帶是動力學中一類典型的物理問題,傳送帶與實際中的貨物傳遞有著緊密的聯系.由于傳送帶問題涉及受力分析、運動分析、勻變速運動規律、動力學規律,因此,傳送帶問題知識綜合性強,應用能力要求高.對于一些初學物理的學生,以及一些分析能力不強的學生,求解傳送帶問題時,往往不知從何下手,不僅高呼難度太大,而且對學習物理產生了畏難情緒.基于此,探討和分析傳送帶問題顯得很有意義.

1 概念論述

小物塊以初速度v0(v0≥0)在勻速運動的傳送帶上開始運動的力學系統可稱為“傳送帶”模型.

實際中的傳送帶是利用貨物和傳送帶之間的摩擦力來傳遞或運輸貨物的一種裝置,它能將貨物從一個地方運送到另一個地方.由于傳送帶問題涉及摩擦力的判斷、運動狀態的分析和運動學知識的應用,有些傳送帶問題包含的物理過程比較復雜,應用的知識綜合性較強,因此,傳送帶問題不僅是物理教學上的一個難點,也是教學考查中的一個熱點.

2 特點整合

2.1 水平傳送帶

(1)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以v0=0放上傳送帶.如圖1所示.

在摩擦力作用下,小物塊做勻加速直線運動,當小物塊的速度大小等于v時,若小物塊還沒有運動到另一端,則小物塊將與傳送帶一起做勻速運動.

圖1 水平傳送帶(1)圖

(2)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以初速度v0放上傳送帶.如圖2所示.

若v0>v時,小物塊在摩擦力的作用下,做勻減速直線運動,當小物塊的速度降至v時,若小物塊還沒有運動到另一端,則小物塊將與傳送帶一起做勻速運動;

若v0

(3)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以初速度v0放上傳送帶,與傳送帶相向運動.如圖3所示.

圖3 水平傳送帶(3)圖

若v0>v時,小物塊在摩擦力的作用下,做勻減速直線運動.若在速度減為零之前還沒有從左邊滑出,則小物塊在摩擦力作用下向右做勻加速運動,當速度達到v后,小物塊勻速從右端滑出;

若v0

2.2 傾斜傳送帶

(1)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊無速度放上傳送帶,如圖4所示.

在摩擦力作用下,小物塊沿傳送帶斜向上運動.

若小物塊的速度始終小于v,則小物塊將一直做勻加速運動;

若小物塊運動到傳送帶上端前速度達到v物=v,則小物塊勻速向上運動.

圖4 傾斜傳送帶(1)圖

(2)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖5所示.

若v0

若v0>v,則小物塊做勻減速運動.當小物塊運動到傳送帶上端前速度達到v物=v,若μ>tanθ,則小物塊做勻速運動;若μ

(3)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊無速度放上傳送帶,如圖6所示.

若小物塊的速度始終小于v,則小物塊將一直做加速運動;

若小物塊運動到傳送帶下端前速度達到v物=v,且μ>tanθ,則小物接著做勻速運動;

若小物塊運動到傳送帶下端前速度達到v物=v,且μ

圖6 傾斜傳送帶(3)圖

(4)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖7所示.

若v0

若v0≥v,且μ=tanθ,則小物塊一直做勻速運動;

若v0>v,且μ>tanθ,當小物塊的速度始終大于v時,小物塊做勻減速運動;當小物塊到達底端前速度達到v物=v,小物塊將做勻速運動.

若v0>v,且μ

(5)傳送帶以速度v做勻速運動,小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖8所示.

圖8 傾斜傳送帶(5)圖

若μ

若μ=tanθ,小物塊一直做勻速運動;

若μ>tanθ,小物塊做勻減速運動;當小物塊到達底端前速度達到v物=0,在摩擦力作用下小物塊反向做加速運動;若小物塊在到達頂端前速度達到v物=v,則小物塊做勻速運動.

3 解題思路

首先,由題給的初始條件,即依據小物塊的速度v物和傳送帶速度v帶間的關系,確定小物塊的受力情況,從而確定小物塊的運動情況;

其次,根據牛頓第二定律求出小物塊的加速度;

再次,當小物塊的速度與傳送帶的速度相等時,要注意分析小物塊受到摩擦力的突變情況,這是求解傳送帶問題的一個關鍵點;若摩擦力發生突變,則需要由受力情況及牛頓第二定律再次求出小物塊的加速度[1];

4 注意事項

第一,注意弄清小物塊相對于傳送帶的運動方向,以便準確判定小物塊所受摩擦力的方向;

第二,注意小物塊與傳送帶共速前,小物塊是否已經滑出傳送帶;若小物塊還沒有滑出傳送帶,則要依據小物塊的受力情況確定小物塊的運動情況,這是求解傳送帶問題的關鍵點;

第三,注意小物塊與傳送帶共速后,如果是水平傳送帶,則小物塊將隨傳送帶做勻速直線運動;如果是傾斜傳送帶,則需要比較mgsinθ與μmgcosθ的大小關系,以便確定小物塊所受摩擦力的方向;

第四,注意小物塊在傳送帶上留下的痕跡問題,本質上是小物塊與傳送帶間的相對運動的位移問題,但要特別注意是否存在在同一段傳送帶上出現二次(重復)摩擦的問題.

5 典例剖析

5.1 求小物塊在傳送帶上的運動時間

例1如圖9所示,是長為L=16 m、傾角為37°的傳送帶,其轉動速度為v=10 m/s.小物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5,在傳送帶頂端A處無初速度地釋放一個質量為m=0.5 kg的小物塊.已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2.求:

①傳送帶順時針轉動時,小物塊從頂端A滑到底端B的時間;

②傳送帶逆時針轉動時,小物塊從頂端A滑到底端B的時間.

圖9 例1題圖

分析①當傳送帶順時針轉動時,由于小物塊受到的摩擦力沿傳送帶斜向上,小物塊做勻加速運動,由牛頓第二定律得:

mg(sin 37°-μcos 37°)=ma1

解得:a1=2 m/s2

②當傳送帶逆時針轉動時,由于小物塊受到的摩擦力方向沿傳送帶斜向下,小物塊做勻加速運動,由牛頓第二定律得:

mg(sin 37°+μcos 37°)=ma2

解得:a2=10 m/s2

當小物塊運動的速度與傳送帶的速度相等時,設經歷的時間為t2,通過的位移為x2.由運動學公式得:

當小物塊與傳送帶的速度相等時,由于mgsin 37°>μmgcos 37°,因此,小物塊此后相對于傳送帶向下加速運動,受到的摩擦力方向變為沿傳送帶斜向上,由牛頓第二定律得:

接著,小物塊做以加速度a3的勻加速運動,通過的位移為:x3=l-x2=11m

解得:t3=1s(t3=-11 s舍去)

所以t總=t2+t3=2 s.

點評求解小物塊在傳送帶上運動的時間問題,務必注意弄清小物塊相對傳送帶的運動方向,從而確定其所受摩擦力的方向,再利用牛頓第二定律求出加速度,由速度公式或者位移公式求出小物塊的運動時間.

5.2 求小物塊離開傳送帶時的速度

例2如圖10所示,某傳送帶兩端A、B間的距離L=4m,傳送帶傾角θ=37°,傳送帶以v=4 m/s的速度順時針轉動.現將質量為m=1 kg的小物塊放在傳送帶的底端A點,小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.5,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos37°=0.8.小物塊在一沿傳送帶向上的大小為F=6N的恒定拉力作用下,使其由靜止開始沿傳送帶向上運動,當小物塊的速度與傳送帶速度相等時,撤去拉力,則當滑塊到達傳送帶頂端時,滑塊速度為多大?

圖10 例2題圖

分析開始時,小物塊受到重力、彈力、摩擦力和拉力等4個力的作用,由牛頓第二定律得:F-mgsin 37°+μmgcos 37°=ma1

解得:a1=4 m/s2

由速度公式:v=a1t1,得t1=v/a1=1.0s

在此過程中,小物塊通過的位移為:

撤去拉力后,由于mgsin 37°>μmgcos 37°,小物塊做勻減速運動,由牛頓第二定律得:

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2

解得:a2=2 m/s2

點評求解小物塊的速度問題,關鍵是弄清小物塊在傳送帶上的受力情況和運動情況,由牛頓第二定律求出小物塊的加速度,再結合運動學公式求小物塊的速度.

5.3 求小物塊在傳送帶上留下的痕跡長度

例3一水平傳送帶裝置如圖11所示.傳送帶的左、右兩個端點為A、B,AB長L=2 m,開始時,傳送帶處于靜止狀態.當質量m=2 kg的煤塊(可視為質點)輕放在傳送帶A點時,傳送帶立即啟動,啟動過程可視為加速度a=2 m/s2的勻加速運動,加速結束后傳送帶立即勻速運動.已知煤塊與傳送帶間動摩擦因數μ=0.1,設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力(g取10 m/s2).為了使煤塊在最短時間內通過傳送帶,則:

圖11 例3題圖

①傳送帶至少加速多長時間?

②在此種情況下,煤塊從A點運動到B點的過程中在傳送帶上留下的痕跡多長?

分析①為了使煤塊在最短時間內通過傳送帶,則必須讓煤塊一直做加速運動.煤塊在傳送帶上的加速度為:μmg=ma1,即:a1=μg=1.0 m/s2

煤塊從A點運動到B點的速度為:

顯然,傳送帶必須加速到2 m/s,則加速的時間為:t1=v/a=1 s

②煤塊從A點運動到B點的時間為:

傳送帶在加速過程中通過的路程為:

傳送帶在勻速過程中通過的路程為:

x2=vt2=2 m

則煤塊從A點運動到B點的過程中在傳送帶上留下的痕跡長度為:

s相=x1+x2-L=1 m

例4如圖12所示,某煤礦有一傳送帶與水平地面間的夾角θ=37°,傳送帶以v=10 m/s的速率逆時針轉動.在傳送帶上端A點靜止釋放一個質量為m=1.0 g的黑色煤塊,經過2 s運動到傳送帶下端B點并離開傳送帶,煤塊在傳送帶上留下一段黑色痕跡.已知煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5,sin37°=0.6,g=10 m/s2,求:

①傳送帶從A到B的長度;

②煤塊從A運動到B的過程中傳送帶上形成痕跡的長度.

圖12 例4題圖

分析①開始時,煤塊在重力、彈力和摩擦力的作用下做勻加速運動,由牛頓第二定律得:

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

解得:a1=10 m/s2,

由速度公式求得煤塊速度達到v=10 m/s的時間:t1=v/a1=1 s

接著,摩擦力方向發生突變,由斜向下變為斜向上,由牛頓第二定律得:mgsinθ-μmgcosθ=ma2

解得:a2=2 m/s2

煤塊在第2 s內通過的位移為:

可見,傳送帶AB間的長度為:

L=x1+x2=16 m

②煤塊速度小于傳送帶時有:

s相1=vt1-x1=5 m

煤塊速度大于傳送帶時有:s相2=x2-vt2=1 m

由于s相1>s相2,由此可知,煤塊在傳送帶上運動的過程中,在傳送帶上留下的痕跡長為5 m.

點評痕跡問題本質上是兩者發生相對運動的問題.例3中的煤塊的速度始終小于傳送帶,而例4中的煤塊,開始時煤塊速度小,后來煤塊速度大,有重復摩擦的部分,因此,在求解痕跡問題時,必須弄清有沒有重復摩擦的部分.

5.4 求解組合傳送帶問題

例5隨著電子商務的迅速發展,對物流的需求急劇增加,如圖13所示是物流運輸過程中卸貨的傳送裝置示意圖,水平部分AB和傾斜部分BC的長度均為2m,BC部分與水平面之間的夾角θ=37°.傳送帶以v=1 m/s的速度沿順時針方向勻速運轉,把包裹輕放到水平傳送帶A端,包裹經過B端前后速度大小不變且不脫離傳送帶.已知包裹與傳送帶間的動摩擦因數為0.5,包裹放上后傳送帶速度不變.取重力加速度g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:

①包裹到達B端時的速度大小;

②包裹從A端傳送到C端所需時間.

圖13 例5題圖

分析①包裹開始時做勻加速運動,由牛頓第二定律得:a1=μg=5.0 m/s2

當包裹的速度達到v=1 m/s時,通過的位移為:

可見,包裹的速度達到v=1 m/s后做勻速運動,到達B端時的速度為v=1 m/s.

②包裹在水平傳送帶上加速時間為:

t1=v/a1=0.2 s

包裹在水平傳送帶上勻速運動時間為:

t2=(L-x1)/v=(2-0.1)/1=1.9 s

包裹在傾斜傳送帶上運動時,一直做勻加速運動,由牛頓第二定律得:mgsinθ-μmgcosθ=ma2

解得:a2=2.0 m/s2

可求得包裹在傾斜傳送帶上的運動時間為:t3=1.0 s

可見,包裹從A端傳送到C端所需時間為:t=t1+t2+t3=3.1 s

點評:對于組合傳送帶問題,關鍵在于弄清小物塊從一個傳送帶轉到第二個傳送帶上時,其受力情況、速度等的變化情況.

5.5 求解傳送帶與板塊綜合問題

例6如圖14所示,傾斜放置的傳送帶A、B兩端長為L=0.8 m,傳送帶與水平面間的夾角為θ=37°,以v0=1 m/s的速度沿順時針方向勻速轉動,傳送帶底端B處與放在光滑水平地面上的平板小車平滑連接(可認為物體經過該連接處速率不變).一小物塊(可視為質點)從傳送帶頂端A處由靜止釋放,一段時間以后,小物塊到達傳送帶底端B處,隨后滑上平板小車的上表面.小物塊的質量m=1 kg,與傳送帶之間的動摩擦因數為μ1=0.5,與平板小車上表面之間的動摩擦因數為μ2=0.4;平板小車質量M=2 kg.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度g取g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求: