一道雙曲線聯考題的解法與結論推廣

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學,貴州 貴陽 550081)

雙曲線是一種重要的圓錐曲線,是高考命題的重點內容,尤其是近年高考或各地模擬考試中,雙曲線內容常出現在解答題中進行考查,體現了高考命題者對雙曲線內容的青睞.下面對一道高三雙曲線聯考題的解法和結論進行探究.

1 考題再現

(2)若M(-4,6)為曲線Γ上一點,直線MA,MB分別與直線l1交于D,E兩點,問以線段DE為直徑的圓是否過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

圖1 2023年2月浙江省七彩聯盟返校聯考數學21題圖

2 解法探究

2.1 第(1)小題解析

解析根據題意,易得F(4,0).

=2|x-1|,

d=|x-1|,

點評由于點F是雙曲線Γ的右焦點,直線l1是雙曲線Γ的右準線,所以該小題實質上考查的是雙曲線的第二定義.

2.2 第(2)小題解析

(3t2-1)y2+24ty+36=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),所以

直線MA的方程為

令x=1,得

由圖形的對稱性可知,定點必在x軸上,設定點P(m,0),則

故以線段DE為直徑的圓過定點P(-2,0)或P(4,0).

解法2 如圖2,過點A作AA1⊥直線l1,垂足為點A1,過點B作BB1⊥直線l1,垂足為點B1,過點M作MN⊥直線l1,垂足為點N,連接FE,FD.

圖2 解法2示意圖

又由△AA1D∽△MND,得

所以在△AFM中,FD是∠AFM的角平分線.

所以∠AFD=∠DFM.

同理在△BFM中,FE是∠BFM的角平分線.

所以∠BFE=∠MFE.

所以∠EFD=∠DFM+∠MFE

所以FD⊥FE.

故以線段DE為直徑的圓過定點F(4,0),根據對稱性可知也過定點(-2,0).

點評該小題考查的是圓過定點問題.解法1首先引入參變量t,設出直線l的方程,通過聯立方程組求出兩交點縱坐標的和與積,然后利用直徑所對的角是直角,構造向量,運用向量數量積為0建立等式關系,求出定點.其中由圖形的對稱性猜測定點位置,從而明確方向,進而簡化計算.解法1是解決這類問題的通性通法.解法2根據題意條件,通過作出輔助線,挖掘并利用隱含的三角形相似、三角形內角平分線性質得到線段的垂直關系,從而找到圓過的定點,其解題過程十分簡捷、巧妙,體現了平面幾何知識在簡化解析幾何計算中的優越性.但解法2邏輯推理要求高,思維難度大,不易切入.

3 推廣探究

我們在這里將目光放到對第(2)問的推廣探究上.

3.1 延伸推廣

從對上述聯考題的條件和結論的分析可以看出,F是雙曲線Γ的右焦點,直線l1則是雙曲線Γ的右準線,M是雙曲線Γ左支上的一點,其結論是以線段DE為直徑的圓過的定點是焦點F和焦點F關于線段DE的對稱點.由此,我們來思考下面的兩個問題:

(1)能否把聯考題的結論延伸為一般雙曲線的情形?

(2)若F是雙曲線Γ的左焦點,直線l1則是雙曲線Γ的左準線,M是雙曲線Γ右支上的一點,是否可以得到同樣的結論?

答案是肯定的!于是由聯考題推廣為一般情形下雙曲線的兩個結論:

結論1和結論2的證明可按聯考題第(2)問的證法2的過程進行,這里從略.

3.2 類比推廣

圓錐曲線有許多相似的性質或結論,由于雙曲線與橢圓均為有心二次曲線,能否將雙曲線的結論1和結論2分別類比到橢圓,得到同樣的結論?答案也是肯定的,于是有:

圖3 結論3示意圖

證明如圖4,過點A作AA1⊥直線l1,垂足為點A1,過點B作BB1⊥直線l1,垂足為點B1,過點M作MN⊥直線l1,垂足為點N,連接FE,FD.

圖4 結論3證明圖

又由△AA1D∽△MND,得

所以FD是△AFM的∠AFM的外角平分線.

所以∠AFD=∠DFM.

同理,FE是△BFM的∠BFM的外角平分線.

所以∠BFE=∠MFE.

所以∠EFD=∠DFM+∠MFE

所以FD⊥FE.

結論4的證明可按結論3的證明過程進行,這里從略.

4 結束語

對典型試題的解法與結論推廣進行探究,就是指對問題從不同視角來審視,以不同的切入點探究問題,其實質是對試題的“二次開發”.通過對試題的剖析和思考,展開問題的來龍去脈和知識間的縱橫聯系,站在一定的高度去思考問題,突出數學本質,使知識達到融會貫通,使思維得到升華,進而優化數學思維品質[1].