巧借導函數解決高中數學不等式壓軸難題

李 強

(蘇州大學實驗學校高中部,江蘇 蘇州 215131)

不等式問題是高中數學的必考知識點,同時也是重難點.高中數學不等式的壓軸難題主要出現在解答題最后一題的第二小問中,與函數、數列等知識點聯系較為緊密,考查形式多為不等式的證明或恒成立問題,難度較大.在求解時,我們可以根據已知條件,結合函數與方程思想,巧借導函數解決高中數學不等式壓軸難題.

1 利用導函數解決不等式證明問題

在利用導函數解決不等式證明問題時,需要結合構造法.根據所要證明的不等式,構造與之相關的函數,再利用函數的單調性、極值和最值加以證明[1].高中階段,常見的構造方法包括:

(1)直接構造法.將需要證明的不等式f(x)>g(x)轉化為證明f(x)-g(x)>0或f(x)-g(x)<0,進而通過構造輔助函數F(x)=f(x)-g(x)并證明函數F(x)與0的關系進而證明原不等式;

(2)適當放縮構造函數.根據已知條件適當放縮,或利用常見的放縮結論,如

lnx≤x-1,

ex≥x+1,

lnx0),

(3)構造形似函數.即將原不等式進行適當變形,如移項、通分、取對數,從而將不等式轉化為左、右兩邊為相同結構的式子的形式,再根據“相同形式”構造輔助函數,利用函數的性質求解[2];

(4)構造雙函數.若直接構造函數求導難以判斷函數的單調性和零點,那么我們可以分開構造雙函數f(x)和g(x),通過比較證明.

例1 (成都高三9月月考)已知函數f(x)=xlnx-2ax2+x,a∈R.

(1)若f(x)在(0,+∞)內單調遞減,求a的取值范圍;

解析(1)由題可得

f′(x)=lnx+2-4ax,x>0,

因為f(x)在(0,+∞)內單調遞減,

所以f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內恒成立.

(2)若函數f(x)有兩個極值點為x1和x2,則f′(x)=lnx+2-4ax在(0,+∞)內有兩根x1和x2.

兩式相減,得

lnx1-lnx2=4a(x1-x2).

設0

所以h(t)在t∈(0,1)上單調遞減.

所以h(t)>h(1)=0.

題后反思本題主要考查函數與不等式的綜合問題.在求解時需要利用構造法將不等式問題與函數結合起來,再結合導函數的性質,判斷函數與零點的關系進而證明.構造函數展開討論是解決本題的關鍵和突破點,思路要重點把握.

2 利用導函數解決不等式恒成立問題

在利用導函數解決不等式的恒成立問題時,有兩種常見思路:一種是先利用綜合法,結合導函數的零點之間的大小關系的決定條件,確定分類討論的標準.分類后,判斷不同區間函數的單調性得到最值,進而證明不等式[3].另一種,則是直接通過導函數,確定其與零點之間的關系,并以此劃分分類標準證明不等式恒成立.通常,若a>f(x)對x∈D恒成立,則只需要a>[f(x)]max;若af(x0)成立,則只需要a>[f(x)]min;若存在x0∈D,使a

例2(杭州高三一模)已知函數f(x)=(x-a)ex(a∈R).

(1)討論f(x)的單調性;

解析(1)因為f′(x)=(x-a+1)ex,

當x∈(-∞,a-1)時,f′(x)<0;

當x∈(a-1,+∞)時,f′(x)>0;

故f(x)的單調遞減區間為(-∞,a-1),單調遞增區間為(a-1,+∞).

(2)由g(x)=f(x)+lnx-x-b,b∈Z,

以此構造函數令h(x)=(x-2)ex+lnx-x,則

即x0=-lnx0.

所以[h(x)]max=h(x0)

=(x0-2)ex0+lnx0-x0

因為b∈Z,即b的最小值為-3.

題后反思本題主要考查的是不等式的恒成立以及函數的單調性問題.第一小問比較簡單,直接對f(x)求導,根據導函數與函數單調性之間的關系即可順利求解.第二小問中涉及了不等式的恒成立問題,求解時,首先需要將不等式進行變形,構造函數,進而對新函數進行求導,并判斷出在已知區間內函數的單調性情況,找出極值,綜合求解.本題主要考查同學們的推理能力和計算能力,屬于高中數學壓軸題中的中等難度題,思路和方法要重點掌握.

3 結束語

雖然不等式問題在高中數學壓軸題中較為常見,但在求解時也是有具體的方法和思路可循的.在解決高中數學的不等式壓軸難題時,我們需要利用函數與方程思想,將原不等式進行適當變形或直接利用構造法將不等式問題轉化為函數問題.再利用導函數與函數單調性、極值之間的關系綜合求解.當然,高中階段不等式壓軸問題中還常涉及含參變量問題、求取值范圍問題,同學們都需要在日常的學習和訓練過程中,及時對不等式壓軸問題進行歸納和總結,保證自己在考場上能做到游刃有余.