掌握概率模型 準確求解概率

樂和順

(湖北省隨州市曾都區第一中學,湖北 隨州 441300)

高中數學人教A版選擇性必修第三冊第七章《隨機變量及其分布列》中新增了概率的乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式等內容,在章末復習題中還增加了概率與數列相結合的問題.與之前的教材相比,概率模型的種類增多了、難度相應也提升了.學生學習這部分知識時,不容易構建恰當的概率模型,導致對概率的求解出錯.為讓學生能夠掌握好這部分知識,結合學生學習這部分內容時出現的問題,筆者在章節復習的教學中嘗試從以下幾個方面著手彌補,對學生掌握這部分內容起到較大幫助.

1 熟練掌握各種概率模型的使用場景

1.1 概率模型

①條件概率;②概率的乘法公式;③全概率公式;④貝葉斯公式;⑤二項分布;⑥超幾何分布;⑦正態分布.

1.2 各種概率模型的實質及其適用的范圍

①若事件A被幾個兩兩互斥的事件(這幾個事件的概率和必須等于1)所分割,需要求解事件A的概率就應用全概率公式,依據概率的乘法公式、加法公式求出事件A的概率[1];

③求兩個事件的積的概率就可以用概率的乘法公式;

④通過實例(放回抽樣、不放回抽樣)引導學生分辨清楚二項分布與超幾何分布的本質區別,避免學生錯用概率模型導致求解概率出錯.

例1 長時間玩手機可能影響視力.據調查,某校學生大約40%的人近視,而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1 h,這些人的近視率約為50%.現從每天玩手機不超過1 h的學生中任意調查一名學生,求他近視的概率.

又由全概率公式

2 培養學生的解題能力

有些概率題的題目較長,學生不能靜下心來認真讀題,對題目條件理解不準確導致求解出錯;還有部分學生對題目的要求讀不懂,理解不透,從而弄錯概率模型.教師在平常的課堂教學中,要有意識地通過典例指導學生認真讀題,抓住題干中的有效信息進行分析整合,構建合理的概率模型,準確求解事件的概率,不斷提高學生收集信息、分析數據以及解決問題的能力.

例2 隨機變量a服從正態分布N(1,σ2),且P(00,a≠1,則函數y=ax+1-a的圖象不經過第二象限的概率為( ).

A.0.375 0 B.0.300 0 C.0.250 0 D.0.200 0

分析很多學生對題干“已知a>0,a≠1,則函數y=ax+1-a的圖象不經過第二象限的概率”沒有真正領悟,不能理解“已知a>0,a≠1”的真正含義,忽略條件“已知a>0,a≠1”,直接依據“函數y=ax+1-a的圖象不經過第二象限”求解,錯選答案D.本題實際上應是一個條件概率:在條件“a>0,a≠1” 發生下求函數y=ax+1-a的圖象不經過第二象限的概率.

解析記事件A:a>0,a≠1,事件B:函數y=ax+1-a的圖象不經過第二象限.

因隨機變量a服從正態分布N(1,σ2),且P(0

所以P(B)=0.5-P(1

故選C.

例3 第24屆冬季奧運會于2022年2月在北京和張家口舉辦,為了普及冬奧知識,某校組織全體學生進行了冬奧知識答題比賽,從全校眾多學生中隨機選取了20名學生作為樣本,得到他們的分數統計如下:

分數段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數1228331

我們規定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良好;80分及以上為優秀.

(1)從這20名學生中隨機抽取2名學生,恰好2名學生都是優秀的概率是多少?

(2)將上述樣本統計中的頻率視為概率,從全校學生中隨機抽取2人,以X表示這2人中優秀人數,求X的分布列與期望.

分析本題第(2)問,很多學生會按超幾何模型求解隨機變量X的概率,其原因是對題目的條件“將上述樣本統計中的頻率視為概率,從全校學生中隨機抽取2人”沒能理解清楚,從全校學生中隨機抽取X人其成績為優秀的概率應通過“樣本中的頻率估計總體的概率”得到,此實驗即為n重伯努利試驗,即隨機變量X應服從二項分布.

X 0 1 2 P 1625825125

3 指導學生掌握相關事件及其關系

學生對概率題感到困難的一大原因是沒有弄清楚題干中的復雜事件的構成,不能合理地表示基本事件及其關系,從而無法確定采用哪個概率模型求解.教師在教學中要指導學生抓住情景設置中的問題,從問題入手,認真分析要求的概率對應的事件與題干中其他事件的關系,可以把要求的概率對應的事件設為基本事件,合理表示出與其他事件的關系.

例4 某卡車為鄉村小學運送書籍,共裝有10個紙箱,其中5箱英語書、2箱數學書、3箱語文書.到目的地時發現丟失一箱,但不知丟失哪一箱.現從剩下9箱中任意打開兩箱,結果都是英語書,則丟失的一箱也是英語書的概率為____.

分析因題中需求“丟失的一箱也是英語書”的概率,可把“丟失的一箱是英語書”記為基本事件B1,那么“丟失的一箱為數學書”就可記為B2,“丟失的一箱為語文書”可記為B3,又已知“從剩下9箱中任意打開兩箱都是英語書”,可把此事件作為另一基本事件,記為A,則事件A被三個互斥事件B1,B2,B3所分割,事件A概率的求解就要用全概率公式,本題的難點得到突破[2].

解析用A表示“丟失一箱后任取兩箱是英語書”,用B1表示“丟失的一箱為英語書”,用B2表示“丟失的一箱為數學書”,用B3表示“丟失的一箱為語文書”.因事件A被三個互斥事件B1,B2,B3所分割,則由全概率公式得

由貝葉斯公式得

4 結束語

概率是高中數學六大主干知識之一,教師要依據新課程標準落實好這部分的教學內容,指導學生立足課本基礎知識,幫助學生真正理解各類概率模型,力求對教材內容融會貫通.同時,概率知識多以生產生活中的實際問題為背景,信息量大,有助于培養學生的閱讀能力、邏輯推理能力以及數據分析等數學學科核心能力.教師在教學這部分內容時,可以通過具體的問題情境,啟發學生積極思考,提高自身的閱讀能力,善于從題干中獲取有效信息進行數據分析整合,理解蘊含的數學知識本質,構建合適的數學概率模型,準確求解概率.作為教師,還要善于結合學生出現的問題,認真分析錯因,尋求解決對策,幫助學生逐步提高分析問題與解決問題的能力,不斷提升學生的數學素養.