重視基礎與情境 培養素養與能力
——對2022年高考數學甲卷的評析與思考

王昌林

(四川電影電視學院實驗中學,四川 內江 611331)

高考是高中教育教學工作中十分重要的環節,是檢驗教育教學成果的重要手段.高考試題的命制受多種內在與外在因素的影響.對高考試卷進行系統分析研究, 可以充分把握試題的本質、認識試題的情景、理解試題的設問、拓寬試題的解法、加強試題的拓展, 同時還可以領悟高考命題動向, 把握命題規律, 從而減少復習的盲目性、隨意性,使高考復習更加具有針對性.

1 試卷的特點

2022年高考數學甲卷的命題堅持以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導,貫徹黨的教育方針,落實立德樹人根本任務,充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用,構建引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系.依據高校人才選拔要求和國家課程標準,加強對關鍵能力和學科素養的考查,減少死記硬背和“機械刷題”;突出數學本質,重視數學思維,堅持素養導向與能力立意的命題原則;倡導理論與實際聯系,學以致用,體現高考數學的科學選拔功能和育人導向作用.

試卷整體過渡平穩且勇于創新.試卷穩步推進改革,科學把握數學題型的開放性與數學思維的開放性,全面體現基礎性、綜合性、應用型以及創新性的考查要求.從試卷的結構來看,繼續延續了近年來的模式;從試卷的難度來看,簡單題注重基礎知識的考查,中檔題注重知識的運用,難題則注重方法技巧的掌握.

2 試卷分類評析

從考查的知識來看,考查的知識點與往年比無太大變化,例如解答題部分仍考查的是數列、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數,選考部分仍是極坐標與參數方程、不等式選講等六個板塊,圓錐曲線與導函數仍然是最難的,具體分析如下.

2.1 文理難度區分,展現人文關懷

2022年高考數學甲卷無論是文科還是理科試卷都具有入手較為容易、入口較寬的特點,第1至6題考查的是數學的基本定義和基本運算,只需基本的數學知識與方法就能完成作答.其中理科第1題、第3題和文科的第1題、第3題位置相反,且理科較文科運算量大;試卷通過改變知識點的考查以及減少運算量等方式有意識地區別考查難度.

2.2 設置真實情境,滿足樹人要求

“立德樹人,五育并舉”是中共中央、國務院印發《關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》中的重要內容,也是對解決“為誰培養人,培養什么人,怎樣培養人”問題最堅定有力的回答.試題設置真實情境,命制具有教育意義的試題,發揮數學考試的教育功能和引導作用.

例3 (文科第19題)小明同學參加綜合實踐活動,設計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖1所示:底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

圖1 例3題圖

(1)證明:EF∥平面ABCD;

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).

評注例3不再像以往為了考查立體幾何知識而設置考題,而是加入了具體的現實生活背景.包裝盒在日常生活中隨處可見,精美的包裝比比皆是,但并不是每一個人都會留意其內涵.正是例3中“△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直”這些特殊的圖形與位置方才構建出如圖1所示的幾何之美.這是美育的滲透,引導考生善于用發現的眼光去發掘生活中的數學.

2.3 弘揚優秀文化,發揮育人功能

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)指出,數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義,以及與數學文化的人文活動[1].《課標》強調要將數學文化融入數學教學活動中.通過在教學中滲透數學文化,讓學生了解數學的發展歷程,認識數學在科學技術和人類社會發展中所起的重要作用,引導學生認識和感悟數學的文化價值,樹立文化自信、提升人文素養以及數學核心素養.

圖2 例4題圖

評注沈括的《夢溪筆談》是我國歷史上重要的數學著作之一,英國科學史家李約瑟評價為“中國科學史上的里程碑”.絕大多數考生都知道“割圓術”,但對于“會圓術”卻少有知曉.其實無論是《夢溪筆談》還是《算經十書》,不僅是當時數學成就的體現,還深深地融入我們的生活之中,例4簡明扼要,應用方便,代入計算即可得到弧長s的近似值,具有實際可操作性.

2.4 堅持適度開放,重視能力培養

結論開放型試題也稱結構不良試題,與結構良好的試題相比,其條件不再是不多不少,需要解決的問題目標不再是明確的,因此其沒有固定的思路和解法.結構不良問題初始狀態、目標狀態、中間狀態至少有一個不確定,有利于引導學生在解決問題的過程中,根據具體情境,從多個角度分析,考慮多個可能,尋找不同路徑,提出多種解決方法,以考查學生思維的系統性、靈活性、深刻性、創造性[2].

例6 (2021年全國甲卷理科第18題)已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.

評注例5與例6均是半開放的結構不良試題.全國甲卷連續兩年堅持結構不良試題的命制是向新高考看齊,更是為了引導高中數學教育教學工作應當重視學生能力的培養.正如現實生活一樣,我們遇到的問題多是結構不良型,在數學考試中設置結構不良問題,目的就是為了實現從能力立意到素養導向的轉變.

2.5 注重素養導向,突出選拔目的

數學核心素養是學生在接受教育過程中,逐步形成的具備數學本質特征而適應個人終身發展和社會發展需要的關鍵能力與思維品質.《課標》將數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析作為數學學科六大核心素養,其目標是將以人為本的教育理念落地生根,實實在在地落實到人.在高考中,通過復雜情境的設計來增強題目的綜合性,考量學生能否根據已知信息,從合理的角度思考問題,用合理的方法解決問題,充分展現學生對于推理和論證的確認、分析、評價、展示的全過程,從而突出選拔目的.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

例8 (文科第12題)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則( ).

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.6 聚焦學科本質,關注思維考查

《課標》指出:高中數學課程應該返璞歸真,努力揭示數學定義、法則、結論的發生、發展過程和本質.在試題中對學生的數學思維進行考查,有利于檢驗學生的觀察能力與分析能力;同時數學思維作為影響學生學習成果的潛在因素,無論是在學生的日常知識學習中,還是對身邊事物的感知上,都具有一定的影響.

例9 (理科第20題)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程; (2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

3 備考與教學思考

3.1 研讀課標意見,強化主干知識

2019年國務院辦公廳印發《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》要求,各省(區、市)要結合推進高考綜合改革,制定普通高中新課程實施方案,2022年前全面實施新課程、使用新教材.學業水平選擇性考試與高等學校招生全國統一考試命題,要以普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據,實施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱.

表1 2022年高考數學全國甲卷試題考查內容與題號、分值分布

從表1統計情況來看,2022年高考數學全國甲卷試題對于《課標》中的主干知識是考查的重點,因此,認真研讀《課標》具有必要性,尤其是對于課標中的“冷門”點,如直線的法向量、正態分布、極差、標準差、向量的投影、方位角等.同時,認真研讀《課標》對高考中各知識點的難度要求也可以有一個準確的認識,從而在復習中既可以避免遺漏一些重要考點,也避免做無用功.

3.2 關注思維邏輯,培養應用能力

2022年新高考全國Ⅰ卷被眾多考生稱為“史上最難”,數學試題是真的變難了嗎?其實不然,2022年的高考數學試題較以往更加優化試題的呈現方式,以及加強對關鍵能力和學科素養的考查.從高考考試要求來看,高考數學的學科素養包括理性思維、數學應用、數學探索和數學文化,2022年還提出了主要考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力這五個方面.顯然,通過死記硬背和“機械刷題”獲得高分的考生是缺乏素養與能力的.例如:2022年新高考全國Ⅰ卷第8題為外接球加最值問題的組合,考生若僅會套用外接球模型是不能求出正四棱錐體積取值范圍的;全國乙卷第9題,考生若是沒有較強的空間想象能力和分析問題能力,很難將問題轉化為三次函數的最值問題,進而利用導數求解;甲卷理科第10題,采用設點的方式求解,其運算過程是復雜的,但若是將點P與橢圓右端點相連接,根據對稱性并借助橢圓第三定義即可快速求解.

3.3 教學返璞歸真,備考回歸本質

數學知識是樸實的,其認識過程是真實的.高度的抽象性、邏輯的嚴謹性以及應用的廣泛性是數學的三個最基本特征;統一性和簡單性是抽象性的自然結果;精確性和確定性是數學邏輯嚴謹性的具體表現;而數學學科本質則是落實育人目標的數學育人方式.隨著現代信息技術的發展,各種方便快捷的電子課件、白板的廣泛使用,對傳統課堂的板書內容大有取代之勢.教師的板書越來越少,更有甚者還出現“零板書”的現象.板書作為輔助教學的一種基本手段,它既是對知識的再加工,又是對教學藝術的再創造,同時還是對教學過程以及邏輯關系的再現,因此,教學需要規范的返璞歸真的板書,拒絕虛假熱鬧.除此以外,主干知識的教學與備考也應該回歸本質,只有明白知識的發生過程與認識路徑,才能在面對問題時快速探尋其本質,例如: 2022年全國甲卷理科第20題,根據題干已知條件以及直線MD,ND與橢圓C的另一個交點分別為點A與點B作出示意圖后可以得出其命題背景為二次曲線中的蝴蝶定理;2022年全國乙卷理科第20題,根據直線PA、直線PB皆與橢圓E相切,可以得出點P與直線AB為橢圓E的一對極點和極線.

4 結束語

高中數學的學習是建立在扎實的基礎知識上的,備考亦是如此.高考數學試題中定然不會出現“怪題”與“偏題”,所有試題皆是基于必備知識的,因此,應當注重對基本概念、定理和公式的理解和掌握,避免過于追求題目的難度,而忽視基礎知識的鞏固.在備考階段,只有系統地復習了基礎知識,重點關注了課本中的重要知識點、定理和公式的由來以及它們之間的聯系,通過反復的練習和總結,鞏固基礎知識的掌握程度,才能真正做到以不變應萬變.