2024年普通高等學校招生全國統一考試數學新高考Ⅰ卷模擬試卷
2024-03-06 02:20:06李昌成
數理化解題研究 2024年4期
李昌成
(烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)
一、單選題：本大題共8小題,共40.0分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項.
1.設集合U=R,A={x|1 A.{x|x≥2} B.{x|x≤2} C.{x|1 圖1 第1題圖 A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i 4.已知三棱臺ABC-A1B1C1中,三棱錐A-A1B1C1的體積為4,三棱錐A1-ABC的體積為8,則該三棱臺的體積為( ). 5.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取2個球,則所取的2個球中至少有1個白球的概率是( ). 6.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分圖象如圖2所示,則下列判斷錯誤的是( ). A.函數f(x)的最小正周期為2 B.函數f(x)的值域為[-4,4] 圖2 第6題圖 7.若a>b>1,0 A.ac C.abc 8.某四棱錐的底面為正方形,頂點在底面的射影為正方形中心,該四棱錐內有一個半徑為1的球,則該四棱錐的表面積的最小值是( ). A.16 B.8 C.32 D.24 9.如圖3,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是線段AD1上的動點,則下列命題正確的是( ). A.異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值 B.三棱錐D-BPC1的體積是定值 C.直線CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值 D.若點Q是線段BD上動點,則直線PQ與A1C不可能平行 圖3 第9題圖 10.已知函數f(x)=x3-x+1,g(x)=f(x)-ax(a∈R),則( ). A.f(x)有兩個極值點 B.f(x)的圖象與x軸有三個交點 C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D.若g(x)存在單調遞減區間,則a≥-1 11.已知拋物線C:x2=2y的焦點為F,準線為l,A,B是C上的兩點,O為坐標原點,則( ). A.l的方程為y=-1 B.若方程kf(x)=x2恰好只有一個實數根,則k<0 C.若x1>x2>0,總有m[g(x1)-g(x2)]>f(x1)-f(x2)恒成立,則m≥1 13.(x2-x+2)5的展開式中x3的系數為____. 14.已知圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,點P是直線y=4上的動點,過P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則|AB|的最小值為____. 15.已知函數f(x)=x3+mx,若f(ex)≥f(x+1)對x∈R恒成立,則實數m的取值范圍為____. 17.已知數列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,數列{bn}的前n項和為Sn,且Sn=2-bn. (1)求數列{an},{bn}的通項公式; (2)設cn=an+bn,求數列{cn}的前n項和Tn. (1)求△ABC外接圓的半徑; (2)若c=3,求△ABC的面積. 19.如圖4,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分別是CC1,BC的中點,AE⊥A1B1,D為棱A1B1上的點. 圖4 第19題圖 (1)證明:DF⊥AE; 20.某劇場的座位數量是固定的,管理人員統計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價xi(單位:元)和上座率yi(上座人數與總座位數的比值)的數據,其中i=1,2,3,4,5,并根據統計數據得到如圖5的散點圖: 圖5 第20題圖 (1)由散點圖判斷y=bx+a與y=clnx+d哪個模型能更好地對y與x的關系進行擬合(給出判斷即可,不必說明理由),并根據你的判斷結果求回歸方程; (2)根據(1)所求的回歸方程,預測票價為多少時,劇場的門票收入最多. (1)求雙曲線C的方程; (2)已知Q(0,-2),D為PQ的中點,作PQ的平行線l與雙曲線C交于不同的兩點A,B,直線AQ與雙曲線C交于另一點M,直線BQ與雙曲線C交于另一點N,證明:M,N,D三點共線. 22.已知函數f(x)=aln(x+1)-sinx. 參考答案 1.由Venn圖可知,陰影部分的元素由屬于集合A但不屬于集合B的元素構成,所以陰影部分表示的集合為A∩(UB).因為集合U=R,A={x|1 故選D. 故選B. 圖6 第3題解析圖 故選B. 故選B. 故選C. 故選D. 7.因為a>b>1,0 因為a>b>1,0 即alogbc 因為a>b>1,0 即abc>bac,故C錯誤. 因為a>b>1,0 故選B. 設t=h-2>0,可得h=t+2. 故選C. 9.因為CB1⊥BC1,CB1⊥AB,BC1∩AB=B,所以CB1⊥平面ABC1D1.又C1P?平面ABC1D1,得CB1⊥C1P,所以異面直線C1P與CB1垂直,選項A正確.三棱錐D-BPC1以BDC1為底面,因為AD1∥平面BDC1,所以點P到平面BDC1的距離為定值,故三棱錐D-BPC1的體積是定值,選項B正確. 點C在平面ABC1D1的射影是定點(BC1與B1C的交點),線段CP長度顯然隨位置變化而變化,故直線CP和平面ABC1D1所成的角的正弦在變化,角的大小不是定值,選項C錯誤. 故選AB. 圖7 第9題解析圖 10.已知f(x)=x3-x+1,則f′(x)=3x2-1. 令f′(x)=3x2-1=h(x),得h′(x)=6x=0,得x=0,此時f(0)=1,得曲線y=f(x)的對稱中心為(0,1),故C項正確. 由g(x)=f(x)-ax,得g′(x)=f′(x)-a=3x2-1-a,若g(x)存在單調遞減區間,即g′(x)<0有解,得a>3x2-1有解,等價于a>(3x2-1)min,則a>-1,故D項錯誤. 故選AC. 故選BC. 圖8 第11題解析圖 圖9 第12題解析圖 故選ACD. 14.圓C:x2+y2-4x-2y+1=0, 即(x-2)2+(y-1)2=4. 圖10 第14題解析圖 如圖10,由于PA,PB分別切圓C于點A,B,則|PA|=|PB|,CA⊥PA,CB⊥PB,所以S四邊形APBC=2S△ACP=|CA|·|PA|. 因為|CA|=|CB|=r=2,所以S四邊形APBC=2|PA|. 所以|AB|最短時,|CP|最短,點C到直線y=4的距離即為|CP|的最小值,所以|CP|min=3. 15.令y=ex-(x+1),所以y′=ex-1.顯然當x>0時,y′>0,則y在(0,+∞)上單調遞增;當x<0時,y′<0,則y在(-∞,0)上單調遞減.即x=0時取得最小值ymin=0,故ex≥x+1恒成立. 若f(ex)≥f(x+1)對x∈R恒成立,則f(x)在R上單調遞增,則f′(x)≥0恒成立,f′(x)=3x2+m≥0,m≥-3x2,又(-3x2)max=0,故m≥0. 故答案為[0,+∞). (1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0. 如圖11,因為直線l與橢圓E相切,所以△=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=0,解得4k2=b2-1. 圖11 第16題解析圖 即m=2n. 17.(1)由題知,a1=1,an+1-an=2,所以數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. 當n=1時,b1=S1=2-b1,所以b1=1. 當n≥2時,Sn=2-bn, ① Sn-1=2-bn-1. ② 由①-②,得bn=-bn+bn-1. 利用分組求和可得, 整理,得b2+c2-a2=-bc. 所以由余弦定理,得 解得b=1或b=-4(舍). 19.(1)因為AE⊥A1B1,A1B1∥AB, 所以AE⊥AB. 又因為AA1⊥平面ABC,AB?平面ABC, 所以AA1⊥AB. 又AA1∩AE=A,AA1,AE?平面A1ACC1, 所以AB⊥平面A1ACC1. 圖12 第19題解析圖 又因為AC?平面A1ACC1,所以AB⊥AC. 所以AB,AC,AA1兩兩垂直. 所以DF⊥AE. 令x=3,則y=1+2λ,z=2(1-λ). 則n=(3,1+2λ,2(1-λ)). 所以當D為A1B1中點時滿足要求. 20.(1)y=clnx+d能更好地對y與x的關系進行擬合. 設z=lnx,先求y關于z的線性回歸方程. 所以y關于x的回歸方程為y=-0.5lnx+3.2. (2)設該劇場的總座位數為M,由題意得門票收入為M(-0.5xlnx+3.2x),設函數f(x)=-0.5xlnx+3.2x,則f′(x)=-0.5lnx+2.7,當f′(x)<0,即x>e5.4時,函數單調遞減,當f′(x)>0,即0 故預測票價為220元時,劇場的門票收入最多. (2)因為P(4,2),Q(0,-2),D為PQ的中點,所以D(2,0),kPQ=1. 設直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN), 所以kMN=kMD. 故M,N,D三點共線. 22.(1)由題意得:函數定義域為(-1,+∞). 令g(x)=(x+1)cosx,則 g′(x)=cosx-(x+1)sinx. g′(x)=cosx[1-(x+1)·tanx]. 所以a≤[g(x)]min=0. 即a的取值范圍為(-∞,0]. 當x>e-1時,ln(x+1)>lne=1≥sinx,所以f(x)>0在(e-1,+∞)上恒成立. f(e-1)=1-sin(e-1)>0,
二、多選題:本大題共4小題,共20.0分.在每小題有多項符合題目要求.
三、填空題:本大題共4小題,共20.0分
四、解答題:本大題共6小題,共70.0分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
