高二期末考試模擬卷（B卷）

■河南省鄭州市第一〇一中學 馮連福

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AC∩BD=O,點P在線段AD1上,且PD1=2AP,則下列向量中與相等的向量是( )。

3.下列說法正確的是( )。

A.直線x-y-1=0 的一個法向量為(1,1)

B.直線x+y-1=0的一個方向向量為(-1,-1)

4.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果。其中有這樣一個結(jié)論:平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)λ(λ≠1)的點的軌跡是圓,后人稱這個圓為阿氏圓。已知點O(0,0),A(3,0),動點P(x,y)滿足,則點P的軌跡與圓C:(x-1)2+y2=1的公切線的條數(shù)為( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知公比為2的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1,a2+1,a3+1成等差數(shù)列,則S6=( )。

A.64 B.63 C.126 D.128

6.如圖1 所示,一個棱數(shù)為24,棱長為2的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得。若點E為線段BC上的動點,則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍是( )。

圖1

7.已知正數(shù)數(shù)列{an}是公比不等于1的等比數(shù)列,且a1a2023=1,試用推導等差數(shù)列前n項和的方法探求:若,則f(a1)+f(a2)+…+f(a2023)=( )。

A.2 022 B.4 044

C.2 023 D.4 046

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,則( )。

A.an=2n+2

B.{an}的前n項和為n(n+3)

C.{(-1)nan}的前100項和為-100

D.{|an-10|}的前20項和為284

10.已知直線l過拋物線E:y2=4x的焦點F,與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,分別過A,B作拋物線的準線的垂線,垂足分別為A1,B1,以線段A1B1為直徑作圓M,O為坐標原點,下列判斷正確的有( )。

A.x1+x2≥2

B.△AOB為鈍角三角形

C.點F在圓M的外部

D.直線A1F平分∠OFA

11.如圖2,在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=1,則下列說法正確的是( )。

圖2

A.異面直線PB與AC所成的角為60°

B.直線PD與平面PAC所成的角為30°

C.平面PBD與平面PAB的夾角為30°

D.點C到平面PBD的距離為

12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,其中點A在第一象限,點M是AB的中點,作MN垂直于準線,垂足為N,則下列結(jié)論正確的是( )。

A.若以AB為直徑作圓M,則圓M與準線相切

B.若直線l經(jīng)過焦點F,且-12,則p=4

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.已知{an}為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an+1=2Sn+2,則a4=_____。

14.已知直線l:kx-y-3k+4=0與曲線有且只有一個公共點,則k的取值范圍為____。

15.如圖3,已知P為橢圓C:0)上一點,F1,F2分別為其左右焦點,A為其右頂點,O為坐標原點,點A到直線OP的距離為d1(d1≠0),點P到x軸的距離為d2,若d2=,且|PF1|,|PO|,|PF2|成等比數(shù)列,則橢圓C的離心率為_____。

圖3

16.如圖4,在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,已 知 點E,F分別為直線BD,AD1上的動點,給出下面四個結(jié)論:

圖4

①異面直線AD1,BD所成的角為60°;

②點F到平面B1C1C的距離為定值;

③若F為AD1的中點,則點F到直線BD的距離為2;

則其中正確結(jié)論的序號是____。

四、解答題(本題共6小題,共70分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10分)已知{an}是公差為2的等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4。

(1)求{an}與{bn}的通項公式;

18.(本小題12分)已知A、B為拋物線E上不同的兩點,拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為(1,0),線段AB恰被M(2,1)平分。

(1) 求拋物線E的方程;

(2) 求直線AB的方程;

(3) 求|AB|的值。

19.(本 小 題12 分)如圖5,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸的正半軸交于M,N(點M在點N的左側(cè))兩點,且|MN|=3。

圖5

(1)求圓C的方程;

(2)過點M任作一直線與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點,連接AN,BN,試探究:直線AN與直線BN的斜率之和kAN+kBN是否為定值?

20.(本小題12 分)在①|(zhì)AE|=2,②AC⊥BD,③∠EAB=∠EBA,這三個條件中選擇一個,補充在下面問題中,并給出解答過程。

如圖6,在五面體ABCDE中,已知____,AC⊥BC,ED//AC,且|AC|=|BC|=2|ED|=2,|DC|=|DB|=3。

圖6

(1)求證:平面ABC⊥平面BCD。

(2)求直線AD與平面ABE夾角的正弦值。

(3)線段BC上是否存在一點F,使得平面AEF與平面ABE夾角的余弦值等于? 若存在,求的值;若不存在,請說明理由。

21.(本小題12分)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動,在我國源遠流長。某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學知識,例如:用一張圓形紙片(如圖7),按如下步驟折紙:

圖7

步驟1,設圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一定點,記為F;

步驟2,把紙片折疊,使圓周正好通過點F(即折疊后圖中的點A與點F重合);

步驟3,把紙片展開,并留下一道折痕,記折痕與AE的交點為P;

步驟4,不停重復步驟2 和步驟3,就能得到越來越多的折痕。

現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片,設點F到圓心E的距離為2 3,按上述方法折紙。以線段EF的中點為原點,線段EF所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy,記動點P的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程。

(2)設曲線C與x軸從左到右的交點為點A,B,點P為曲線C上異于A,B的動點,設PB交直線x=4于點T,連接AT交曲線C于點Q。直線AP、AQ的斜率分別為kAP、kAQ。

(i)求證:kAP·kAQ為定值;

(ii)證明直線PQ經(jīng)過x軸上的定點,并求出該定點的坐標。

22.(本小題12 分)已知圓E:x2+y2+,點M是圓E上的動點,點,N為MF的中點,如圖8所示。過N作SN⊥MF交ME于S,設 點S的 軌 跡為曲線C。

圖8

(1)求曲線C的方程。

(2)過點P(0,1)的動直線l與曲線C相交于A,B兩點。在平面直角坐標系xOy中,是否存在與點P不同的定點Q,使恒成立? 若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由。