2024年高考解三角形考點預測(下篇)

羅文軍

六、與角平分線有關的最值問題

例11.在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若（c+b）（sin C-sin B）=a（sin B+sin A）．

（1）求角C的大小；

（2）若M為AB上一點，CM平分∠ACB，CM=6，求a+4b的最小值．

解析：（1）由題設得，c+ba=sin B+sin Asin C-sin B，

由正弦定理可得，c+ba=b+ac-b，

所以，a2+b2-c2=-ab，

所以，cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，

所以C為鈍角，C=2π3；

（2）解法1：因為CM平分∠ACB，所以，∠ACM=∠BCM=12∠ACB=π3，

又因為SΔABC=SΔACM+SΔBCM，

所以，12absin2π3=12b·6sinπ3+12a·6sinπ3，

所以，ab=6（a+b），所以a+bab=16，所以1a+1b=16，

所以，（a+4b）1a+1b=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5，

所以16（a+4b）≥9，a+4b≥54，

當且僅當a=2b時等號成立，聯立a=2b，

ab=6（a+b），可得a=18，b=9時，a+4b取的最小值54．

解法2： 由角平分線定理可得，AMMB=ACBC=ba，

所以CM=aa+bCA+ba+bCB，因為CM=6，

所以，將上式兩邊平方可得，

36=aa+b2·b2+2·aa+b·b·ba+b·a·-12+ba+b2·a2，

整理可得，6（a+b）=ab，所以，1a+1b=16，下同解法1．

【點評】第（1）問運用正弦定理實現角化邊后，再運用整體代換法思想和余弦定理推論可求出角C，第（2）問解法1用的是等面積法，先運用角平分線性質和三角形面積公式，通過化簡將問題轉化成二元條件最值問題，再借助基本不等式和添系數的方法可求出最小值，解法2運用角平分線的向量形式和向量數量積運算，運用了兩邊平方法，把向量問題實數化，解題過程中蘊含“算兩次”思想、化歸與轉化思想和方程思想，考查了數學運算和邏輯推理素養．

七、解三角形與數列交匯問題

解三角形與數列的交匯問題，主要有三種類型：（1）三角形的三邊長成等比數列；（2）三角形的三邊長成等差數列；（3）三角形的三個內角成等差數列．

例12.在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知邊a，c，b成等比數列．

（1）證明：0

（2）點M在邊AB上，且BM=3MA，CM=c，求cos∠ACB．

（1）證明：因為邊a，c，b成等比數列，所以c2=ab，

由余弦定理，可得cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-ab2ab.

由重要不等式，a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立，

所以cos C≥2ab-ab2ab，所以cos C≥12，

因為0

（2）因為BM=3MA，所以CM=14CB+34CA，CM=c，

所以，c2=116a2+38abcos∠ACB+916b2……①

由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcos∠ACB……②

由①②，可得19c2=12b2+4a2，又因為c2=ab，

所以，4a2-12ab+12b2=0，

所以，4a=3b或a=4b.

又因為cos ∠ACB=a2+b2-c22ab=a2+b2-ab2ab，

當a=4b時，cos ∠ACB=16b2+b2-4b28b2=138>1，舍去，

當a=34b時，cos ∠ACB=9b216+b2-3b242·3b4·b=1324，

所以，cos∠ACB=1324．

【點評】第（1）問運用等比數列的定義、余弦定理推論和基本不等式以及余弦函數的性質，可得出C的范圍；第（2）問運用向量的數量積運算、余弦定理和余弦定理推論可得出cos∠ACB的值，蘊含函數與方程思想、分類討論思想，考查了數學運算和邏輯推理素養．

八、判斷三角形的形狀問題

例13.在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin B+sin Ccos B+cos C=sin A，且三邊b，c，a成等差數列．

（1）證明ΔABC為直角三角形；

（2）若ΔABC的內切圓面積為16π，求ΔABC的面積．

解析：（1）證明：由已知可得，2sinA2cosA2=2sinB+C2cosB-C22cosB+C2cosB-C2，

即2sinπ2-B+C2cosπ2-B+C2=2sinB+C2cosB-C22cosB+C2cosB-C2，

所以，2cosB+C2sinB+C2=sinB+C2cosB+C2，

所以，1-2cos2B+C2=0，所以，cos（B+C）=0，

所以，-cos A=0，因為0

所以，ΔABC為直角三角形．

（2）因為邊b，c，a成等差數列，所以2c=b+a，

由正弦定理可得，2sin C=sin A+sin B，

所以，2sin（A+B）=sin A+sin B，

所以，4sinA+B2cosA+B2=2sinA+B2cosA-B2，

又因為sinA+B2≠0，所以2cosA+B2=cosA-B2，

即2cosA2cosB2-2sinA2sinB2=cosA2cosB2+sinA2sinB2，

所以，3sinA2sinB2=cosA2cosB2，

所以，tanA2tanB2=13，因為A=π2，所以tanB2tanπ4=13，所以tanB2=13，

所以，sin B=2tanB21+tan2B2=2×131+19=35，

所以，sin C=sin A+sin B2=1+352=45，又因為sin A=1，

由正弦定理可得，b：c：a=sin B：sin C：sin A=3：4：5，

可設b=3m，c=4m，a=5m，其中m>0，

設ΔABC的內切圓的半徑為r，由題設πr2=16π，所以r=4，

由直角三角形的性質，b+c-a=2r，3m+4m-5m=2r=8，

所以，m=4，

SΔABC=12bc=12·3m·4m=6m2=96．

【點評】第（1）問是判斷三角形形狀問題，運用了二倍角公式和和差化積公式，再運用了三角形內角和定理和三角函數誘導公式，最后運用二倍角余弦公式可得出A的值，判斷出ΔABC的形狀，第（2）問運用了等差數列的定義，再運用正弦定理實現邊化角，最后借助直角三角形內切圓的性質通過計算，可得出ΔABC的面積．

例14.在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（b2+c2）sin（B-C）=（b2-c2）sin（B+C）．

（1）判斷ΔABC的形狀；

（2）若A=5π12，b=4，求ΔABC的面積．

解析：（1）由題設可得，c2sin（B+C）+sin（B-C）=b2sin（B+C）-sin（B-C），

所以，2sin Bcos C·c2=2cos Bsin C·b2，

所以，c2sin Bcos C=b2sin Ccos B，

由正弦定理和余弦定理，可得c2b·a2+b2-c22ab=b2c·a2+c2-b22ac，

整理，可得b2-c2b2+c2-a2=0，

所以，b=c或b2+c2=a2，

所以，ΔABC為等腰三角形或直角三角形；

（2）因為A=5π12，結合（1）可知ΔABC為等腰三角形，b=c=4，

SΔABC=12bcsin A=12×42×sinπ4+π6=8×6+24=26+2．

【點評】第（1）問先運用兩角和與差的正弦公式化簡后，再借助余弦定理推論化簡可得出ΔABC的形狀，第（2）問運用三角形面積公式可求出面積，解題過程中蘊含方程思想，考查了數學運算和邏輯推理素養．

方法總結：判斷三角形的形狀問題，通常要綜合運用余弦定理和正弦定理后，第一種思路是化歸為角的問題，通過三角恒等變換求出某個角或證明某兩個角相等；第二種思路是化歸為邊的問題，通過代數運算，證明某兩邊相等或三邊滿足勾股定理．

九、解三角形結構不良問題

解三角形中的結構不良題型主要為選擇條件型．

例15.在ΔABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=32，b=2，c=4，

（1）求ΔABC的面積；

（2）在下列條件中選擇一個作為已知，求線段AD的長：

①D為BC邊上一點，AD平分角∠BAC；

②D為BC邊上一點，AD為BC邊上中線．

解析：（1）由題設及余弦定理，可得cos B=a2+c2-b22ac=（32）2+42-222×32×4=528，

所以sin B=1-cos2B=1-（528）2=148，

所以SΔABC=12acsin B=12×32×4×148=372；

（2）選條件①，由角平分線定理可得，BDDC=ABAC=cb=2，

BD=23a=23×32=22，

在ΔABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B

=42+（22）2-2×4×22×528=4，所以AD=2；

選條件②，BD=12BC=322，

在ΔABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B

=42+（322）2-2×4×322×528=112，

所以AD=222．

【點評】這是一道結構不良問題，解答第（2）問需要考生選擇條件，選擇條件①的話，運用角平分線定理和余弦定理可以解答，選擇條件②的話運用三角形中線的性質和余弦定理可以解答，解題過程蘊含方程思想，本題具有一定的開放性，考查了考生的探究意識和創新意識，考查了數學運算和邏輯推理素養．

十、解三角形數學文化試題

解三角形數學文化題主要取材于中國古代經典名著中的名題或者世界數學歷史中的數學名題．

第16題圖例16.劉徽是我國古代三國時期數學家，《海島算經》是他寫的一部關于測高望遠之術的專著，其中第二題“望松”問題是關于測量山上松樹高度的問題，如圖，點E，H，G在水平線CI上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，EG稱為“表距”，EH稱為“前表卻行”，GI稱為“后表卻行”，DJ稱為“入表”，請運用含自然語言的等式表示出松樹的高度AB．

解析：記松高AB=x，后表卻行GI=a，前表卻行EH=b，表距EG=d，入表DJ=e，因為ΔDHJ～ΔAHB，所以HDAH=DJAB=ex，所以AH-ADAH=ex，

所以ADAH=1-ex，

又因為ΔADF～ΔAHI，所以ADAH=DFHI=EGEG-EH+GI，

所以1-ex=dd-b+a，解得x=eda-b+e，

松樹高度AB=入表×表距后表卻行-前表卻行+入表．

【點評】這是一道關于解三角形的數學文化試題，同時也是一道解三角形應用問題，考查了直角三角形相似，考查了考生的數學建模和邏輯推理素養．

例17.布洛卡是法國數學愛好者，他研究過在ΔABC中，P為其內部一點，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則ΔABC具有很多優美性質，后來人們為了紀念他把α叫做ΔABC的布洛卡角，點P叫做ΔABC的布洛卡點，設在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，b=5，c=6．

（1）求sin A的值；

（2）求ΔABC的布洛卡角α的正弦值sin α．

解析：（1）在ΔABC中，由余弦定理可得，cos A=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=34，

所以，sin A=1-cos2A=1-342=74；

（2）設ΔABC的外接圓半徑為R，

在ΔPAB中，∠APB=π-α-∠ABP=π-B，

由正弦定理可得，PBsin α=csin∠APB，

所以，PBc=sin αsin∠APB=sin αsin（π-B）=sin αsin B=sin αb2R=2Rsin αb，

所以，PB=2Rcsin αb，同理PA=2Rbsin αa，PC=2Rasin αc，

由三角形面積公式和正弦定理可得，

SΔABC=12absin C=12abc2R=abc4R，

因為，SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA，

所以，abc4R=12（PA·c+PB·a+PC·b）sin α，

所以，abc4R=

122Rbsin αa·c+2Rcsin αb·a+2Rasin αc·bsin α，

所以，a2b2c24R2=（b2c2+a2c2+a2b2）sin2α，

所以，sin α=abc2Rb2c2+a2c2+a2b2，

在ΔABC中，由正弦定理可得2R=asin A=474=1677，

所以，sin α=4×5×6167752×62+42×62+42×52=1567268．

【點評】這是一道數學問題試題，第（1）問運用余弦定理推論和同角三角函數基本關系式可以解答；第（2）問綜合運用正弦定理和三角形面積公式可解答，蘊含方程思想和化歸與轉化思想，考查了數學運算和邏輯推理素養．

十一、以四邊形為載體的解三角形問題

以四邊形為載體的解三角形問題，通常要連接對角線后，化歸到兩個三角形中解答問題．

例18.已知圓內接四邊形ABCD的邊長AB=BC=2，CD=1，DA=3．

（1）求對角線BD的長；

（2）求四邊形ABCD的面積．

解析：（1）由圓內接四邊形性質可得，A+C=π，

在ΔABD中，由余弦定理可得，

BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=4+9-12cos A……①

在ΔBCD中，由余弦定理可得，

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=4+1+4cos A……②

由①②可解得，BD=7，cos A=12，所以A=π3；

（2）S四邊形ABCD=SΔABD+SΔBCD=12AB·ADsin A+12BC·CDsin C

=12×2×3×32+12×2×1×32=23．

【點評】第（1）問運用兩次余弦定理，通過解方程可得出對角線BD的長；第（2）問把四邊形面積化歸為對角線分割成的兩三角形面積之和，運用三角形面積公式可解答，蘊含了方程思想與化歸與轉化思想．

例19.拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖.波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知ΔABC內接于半徑為4的圓，以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A′，B′，C′，若∠ACB=π6，求ΔA′B′C′的面積最大值．

解析：

如圖，由正弦定理可得，

csin∠ACB=csinπ6=8，所以c=4，

∠A′CB′=∠A′CA+∠ACB+∠B′CB=π2，

A′C=32b×23=33b，B′C=33a，故A′B′=33a2+b2.

由余弦定理可得，a2+b2-2abcosπ6=c2，即a2+b2-3ab=16，

又因為a2+b2≥2ab，所以a2+b2≥2（a2+b2-16）3，

所以a2+b2≤322+3，故A′B′≤33322+3，

SΔA′B′C′=34A′B′2≤34×13×322+3=1633+8，

所以，ΔA′B′C′的面積最大值為1633+8．

責任編輯徐國堅