最小范數約束的改進MVDR波束形成算法

李 濤,孫心毅,成建波

(中國人民解放軍92728部隊,上海 200436)

0 引言

自適應波束形成已廣泛應用于雷達、聲吶、無線通信、語音信號處理等領域[1-3]。常規波束形成性能受各種誤差的影響小,具有較好的穩健性,但是其角度分辨力無法突破“瑞利限”。基于樣本矩陣求逆的自適應波束形成算法可以獲得高分辨波束形成,在期望信源方位形成波束增益,并在干擾方位形成零陷,其中最小方差無畸變響應(MVDR)波束形成算法即采用典型的采樣矩陣求逆算法。該算法使陣列在期望方向上的信干噪比最大,而使輸出功率最小,在理想條件下具有優越的性能[3-5]。但該算法在陣列流形誤差、噪聲功率等非理想因素均會導致MVDR自適應波束形成器性能下降,難以有效均衡和同時優化干擾和噪聲抑制。為提高自適應波束形成器的穩健性,近年來各種新的算法相繼提出,包括對角加載[6-7]、特征子空間投影[8-9]以及子陣預處理[10]、方差矩陣重構[11]等算法。對角加載的加載量恒定,不能適應環境的變化,且以犧牲干擾抑制性能為代價;子空間類方法由于需要進行噪聲和信號子空間的判別,對先驗知識的依賴性較強,對信噪比要求較高,且在陣列流形誤差小時退化為MVDR算法;子陣預處理通過預處理可提高信信噪比,但會提高子陣噪聲輸出的相關性;方差矩陣重構對目標和干擾方向的先驗信息要求較高。本文從獲取線性約束最小范數解的角度,討論MVDR波束形成算法的改進方法。

1 信號模型及MVDR算法

考慮一個由N個全向陣元組成的均勻線性陣列,陣列間距為d。假設M個遠場窄帶信號(M

x(t)=[x1(t)x2(t) …xN(t)]T=A(θ)s(t)+n(t),

(1)

式中:A(θ)=[a(θd)a(θ1) …a(θM-1)]為N×M維陣列流形矩陣,a(θd)和a(θi)為對應的方向向量,且有

(2)

λ為信號波長,s(t)與n(t)分別為信號矢量和噪聲矢量。

最小方差無失真響應(MVDR)波束形成算法通過在各陣元間附加一個權系數,使陣列在期望信號方向上的信干噪比(SINR)最大,而使輸出功率最小,其原理簡單,在干擾位置處能夠形成零陷。MVDR權重優化問題可以表示為

(3)

式中:R=E[x(t)xH(t)]。使用拉格朗日乘數法可以得到式(3)的最優解為

(4)

為獲得自相關陣R的估計,基于窄帶信號的特點,R可通過時間相關過程估計,即

(5)

式中:L為樣本總量。

為提高MVDR波束形成器在小樣本下的穩健性,對角加載算法是在式(3)條件上增加權重向量長度的優化項,即

(6)

式中,λ為加載因子。式(7)的最優解為

(7)

考慮到信號互不相關,信號與噪聲互不相關,則式x(t)的自相關陣為

(8)

(9)

(10)

2 基于最小范數解的改進MVDR算法

為實現在干擾位置處能夠形成零陷,關鍵是獲得線性約束方程

wHa(θd)=1 s.t.wHa(θi)=0 (i=1,2,…,M-1),

(11)

為獲得最優w,將式(8)自相關陣R表示為

(12)

且

(13)

(14)

(15)

式中:UB=[u1u2…uM]。由式(15)獲得了B的特征分解,進一步,可令A′的奇異值分解為

(16)

為構建A′的雙正交基,令

(17)

顯然有CHA′=I,即C與A′互為雙正交基,且有

(18)

易知

A′HCCHA′=A′HDA′=I,

(19)

即

則有

xH(t)Da(θd)(aH(θd)Da(θd))-1=s1(t)+
n(t)Da(θd)(aH(θd)Da(θd))-1,

(20)

式(20)的過程實現了期望信號、干擾信號的分離,滿足式(11)的條件,且由于

span(D)=span(UB)=span(A′)=span(A(θ)),

易知,取

(21)

時,w∈span[A(θ)],可取得最小范數意義上的最優解。

式(21)只是獲得了信號分離意義上的最優解,為適用于波束形成,也就是抑制陣列接收信號不含期望信號,即a(θd)?A(θ)時波束形成輸出,可將式(21)表示為

(22)

其中

式(22)中,易知a(θd)∈A(θ)時,分母第二項等于0,與式(19)的結果一致;當a(θd)?A(θ)時,由于分母第二項迅速增大,從而抑制輸出,與式(4)的原理一致。

(23)

由于式(11)的條件和最小范數約束,式(22)實現了干擾信號的最優約束和以此為前提的噪聲最佳抑制,由于其干擾抑制的最優性,使得其非常利于后續在時間維的濾波處理,因為此時時間維濾波處理的唯一優化目標是噪聲抑制,這是容易實現的,例如窄帶或者匹配濾波等,這一點將在仿真實驗分析中繼續說明。

3 仿真實驗及分析

仿真實驗驗證算法2個方面的性能,實驗1驗證不同信噪比下的算法性能,實驗2驗證不同信噪比情形下,經過波束形成后的信噪比提高性能。

實驗1 設陣元個數為5,陣元間距為半波長,信號采樣率為400 MHz,信號載頻為55 MHz,方位為0.1π,方位誤差為0.03π。2個不等功率窄帶信號分別從0.2π,0.3π方向入射到陣列。圖1(a)、圖1(b)分別給出了信噪比為-3 dB和-31 dB時的波束形成結果。

圖1 不同信噪比下的波束形成結果Fig.1 Beamforming results at different SNR

由圖1的結果可以看出,采用式(22)本文算法的結果能夠在干擾位置處形成零陷,較之于MVDR,LSMI和特征子空間投影(EIG)算法有更好的干擾抑制性能,這得益于其最小范數最優解的結果,但同時,由于式(22)是在取得最優干擾抑制的前提下再優化噪聲抑制性能的,因此其噪聲抑制效果會降低,這體現在曲線在整體上較之其他三類算法更高。但由于在抑制干擾的前提下再從時間維進行噪聲抑制會更容易,因此最終會提高整體性能,這一點將在實驗2中進一步試驗說明。

實驗2 在實驗1的條件下,對波束合成輸出進行時間維窄帶濾波,由10 000次蒙特卡羅仿真統計期望信號信噪比。圖2給出了不同陣元信噪比SNR0條件下的期望信號信噪比。

圖2 不同陣元信噪比條件下期望信號信噪比Fig.2 The desired SNR at different element SNR

如圖2所示,在不同陣元信噪比條件下,顯示出本文算法較之MVDR,LSMI和特征子空間投影(EIG)算法具有更優良的噪聲抑制性能,尤其是在陣元信噪比SNR0較低時,這同樣得益于其最小范數最優解的結果。

4 結論

針對MVDR算法難以有效均衡和同時優化干擾和噪聲抑制的問題,提出一種基于最小范數解的改進MVDR波束形成算法。通過對陣列接收信號的自相關陣進行特征分解,取大特征值減去噪聲功率及大特征值對應特征向量,構建線性約束方程的最小范數解,代替MVDR算法中的自相關陣的逆的形式形成加權系數,其中噪聲功率由小特征值的平均值估計,獲得的權系數對應于線性約束條件下的最小范數解。仿真分析表明,該算法能夠有效地在干擾位置處形成零陷,且利于后續在時間維的噪聲濾波處理,較之于MVDR等算法有更好的干擾和噪聲抑制性能。