基于漏斗函數(shù)雙電機(jī)伺服系統(tǒng)跟蹤與同步控制

張 楠 ,王樹波

(1.青島大學(xué)自動化學(xué)院,山東 青島 266071;2.山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 青島 266071)

0 引言

雙電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)已在工業(yè)和軍事領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。電機(jī)功率需求的降低和系統(tǒng)設(shè)計成本的降低使多電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)越來越受到人們的重視,但由于齒隙、摩擦以及其他未知擾動的影響,會降低系統(tǒng)的性能甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行不穩(wěn)定。因此為了補(bǔ)償間隙和摩擦,實(shí)現(xiàn)高精度的負(fù)載跟蹤控制一直是伺服系統(tǒng)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。國內(nèi)外學(xué)者提出了許多有效的控制策略并廣泛應(yīng)用,如反步控制[1]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[2]、動態(tài)面控制[3],然而以上方法都是根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能而進(jìn)行的控制器設(shè)計,并不能限制被控系統(tǒng)的狀態(tài)演化或跟蹤誤差。

規(guī)定性能控制技術(shù)[4]可以預(yù)置跟蹤誤差的收斂性,即在保證瞬態(tài)性能的同時不損失穩(wěn)態(tài)性能,但其存在潛在的奇異性問題[5]和誤差轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性。漏斗控制[6-7]由于其簡單的控制結(jié)構(gòu)、無記憶性和高增益特性并且可以保證跟蹤誤差足夠小且在漏斗邊界內(nèi)而受到更多的關(guān)注。但漏斗控制主要適用于階數(shù)為1或2的一類系統(tǒng),限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。

上述方法雖然提高了系統(tǒng)的跟蹤性能,但是沒有考慮到雙電機(jī)伺服系統(tǒng)的同步問題。雙電機(jī)同步運(yùn)行的效果不但會影響電機(jī)的使用壽命,更會影響負(fù)載的跟蹤效果。目前針對多電機(jī)同步問題,提出了交叉耦合控制[8]、相鄰交叉耦合控制[9]、環(huán)形耦合控制[10]、相對耦合控制[11]等策略。然而,隨著電機(jī)數(shù)量的增加,這些同步控制策略提高了控制器設(shè)計的復(fù)雜性,并且跟蹤與同步之間的耦合問題可能會影響控制系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。

因此,針對雙電機(jī)負(fù)載跟蹤這一問題,本文提出在漏斗控制中加入非光滑漏斗誤差面的方法,解決傳統(tǒng)規(guī)定性能控制存在的奇異性問題,并且能夠?qū)崿F(xiàn)高階多電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)的全階跟蹤誤差規(guī)定性能收斂。同時,為了解決雙電機(jī)同步控制問題,本文將平均偏差耦合策略與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法相結(jié)合,設(shè)計同步控制器實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)的同步運(yùn)行。

1 預(yù)備知識

1.1 雙電機(jī)伺服系統(tǒng)建模

圖1為一種典型的機(jī)電位置伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 雙電機(jī)伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of dual motor servo system

為了方便研究,假設(shè)傳動比為1,齒隙為2a。據(jù)圖1可得雙電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(1)

式中:Jmi和Jl是指電機(jī)慣性和負(fù)載慣性,bm和bl是電機(jī)粘性摩擦系數(shù)和負(fù)載粘性摩擦系數(shù),θmi和θl代表電機(jī)角位置和負(fù)載角位置,ui是系統(tǒng)輸入扭矩,Ti是電機(jī)和負(fù)載之間的傳遞力矩。zi為主、從動輪的相對角位移,定義zi=θi-θm,齒隙模型表示為

(2)

式中:k是扭矩系數(shù),α是齒隙寬度。Ti可以被重新表示為

Ti=kzi+kdαi,

(3)

式中:kzi是線性部分,kdαi是非線性部分,定義dαi表示為:

(4)

定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(5)

(6)

(7)

(8)

假設(shè)1:系統(tǒng)期望軌跡的1,2,3階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

假設(shè)2:非線性動力學(xué)f1,f2未知且有界。

由于存在未知非線性f1,f2,很難控制多電機(jī)驅(qū)動伺服系統(tǒng)。徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于近似系統(tǒng)非線性f1,f2如下所述:

(9)

2 漏斗控制器算法實(shí)現(xiàn)

在本章中將設(shè)計一個基于非光滑漏斗誤差曲面的漏斗控制器,主要目標(biāo)是對系統(tǒng)(1)提出一種跟蹤控制方案,使任意閉環(huán)信號具有全局一致有界性,同時輸出跟蹤誤差始終保持在規(guī)定的漏斗性能函數(shù)上。另一方面,將平均偏差耦合策略與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法相結(jié)合,設(shè)計了同步控制器。

2.1 非光滑漏斗誤差面概述

由于漏斗控制的高增益特性,跟蹤誤差可以被規(guī)定在漏斗區(qū)域內(nèi)。

將漏斗的邊界函數(shù)定義為

F(t):={z(t)∈R|φ(t)·|z(t)|<1},

(10)

(11)

因此, 當(dāng)跟蹤誤差z(t)靠近邊界時,要增加控制增益μ(t);相反,當(dāng)跟蹤誤差z(t)超出邊界,要相應(yīng)減少控制增益μ(t)。圖2給出了有界漏斗內(nèi)的誤差演化。

圖2 漏斗中的誤差演化Fig.2 Error evolution in funnel

設(shè)計漏斗邊界函數(shù)如下:

F(t)=(φ0-φ∞)e-at+φ∞,

(12)

為了進(jìn)一步提高跟蹤性能,本文采用如下非光滑誤差變換[12]來設(shè)計控制器:

(13)

其導(dǎo)數(shù)為

(14)

利用漏斗變量的高增益特性,每當(dāng)z1(t)→F(t)時ν1→∞,這意味著我們可以通過漏斗變量式(13)來實(shí)現(xiàn)誤差約束,此函數(shù)滿足初始條件的限制,并且新的變量ν1不受系統(tǒng)次數(shù)的限制,因此改進(jìn)的漏斗函數(shù)在實(shí)際中有著更廣泛的應(yīng)用。

2.2 跟蹤控制器的設(shè)計

不同于標(biāo)準(zhǔn)反推法設(shè)計,本文采用動態(tài)面與反推法相結(jié)合的控制方法,可以消除反步時的微分爆炸問題。

本文采用如下坐標(biāo)變換:

z1=x1-xd,

(15)

zn+1=xn+1-sn(n=1,2,3)。

(16)

引用如下一階低通濾波器:

(17)

式中:αn為虛擬控制信號,sn為濾波器的輸出,λn為濾波時間常數(shù)。

濾波誤差定義為

efn=sn-αn。

(18)

選擇實(shí)際虛擬控制律α1,α2,α3分別為

(19)

選擇控制輸入ui為

(20)

2.3 同步控制器的設(shè)計

對于多電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng),需要設(shè)計一個保證同步性能的同步控制器,定義兩電機(jī)位置的平均位置誤差、平均速度誤差、誤差函數(shù)為

(21)

同步控制器設(shè)計為

(22)

其自適應(yīng)律為

(23)

2.4 穩(wěn)定性分析

定理1:由系統(tǒng)(6),控制器(20)組成的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差變量z=(z1,z2,z3,z4)有界,且按指數(shù)收斂到原點(diǎn)的一個充分小的鄰域內(nèi),只要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)律取

(24)

(25)

式中:ψ1,ψ2,Γ1,Γ2為正設(shè)計參數(shù)。

證明:取Lyapunov函數(shù)

(26)

對式(26)求導(dǎo)可得

(27)

根據(jù)楊氏不等式得

(28)

將式(28)和式(24)、式(25)代入式(27)可得

(29)

可以進(jìn)一步寫成

V≤-CV+π,

(30)

式中:

(31)

(32)

對式(30)兩邊求積分可得

(33)

因此,所有的系統(tǒng)狀態(tài)都是有界的,雙電機(jī)伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差將收斂到原點(diǎn)的一個小鄰域內(nèi)。

根據(jù)式(26)和式(33)可得

(34)

(35)

進(jìn)一步說明:

(36)

由式(36)可以發(fā)現(xiàn),在典型漏斗變量中引入非光滑函數(shù),跟蹤誤差z1收斂在一個比預(yù)設(shè)的小得多的漏斗中。

定理2:考慮多驅(qū)動系統(tǒng)(5),當(dāng)同步控制信號和自適應(yīng)律選擇為(22)和(23),同步誤差是半全局最終一致有界的。

證明:取Lyapunov函數(shù)

(37)

對式(37)求導(dǎo)得

(38)

根據(jù)楊氏不等式得

(39)

將式(21),(22)和(39)代入式(38)可得

(40)

根據(jù)楊氏不等式得

(41)

將式(41)代入式(40)有

Vs≤-κVs+b,

(42)

對式(42)兩邊求積分可得

(43)

根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性理論,確定了同步誤差是半全局最終一致有界的。

3 仿真結(jié)果及分析

在Matlab上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對所設(shè)計的控制算法進(jìn)行驗(yàn)證,選擇雙電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)的參數(shù)為:Jm=0.185 kg·m2,bm=1.2 N·s/rad,Jl=0.028 kg·m2,bl=1.3 N·s/rad,k=56 N·m/rad,α=0.2 rad。

為了驗(yàn)證本文控制算法的有效性,將PI控制、動態(tài)面控制(dynamic surface control,DSC)與本文的非光滑漏斗控制(non-smooth funnel control,NSFC)控制方法進(jìn)行仿真對比與分析。

1) 非光滑漏斗控制:漏斗邊界函數(shù)設(shè)計如式(12),其參數(shù)為φ0=1,φ∞=0.1,a=0.9;跟蹤控制器設(shè)計如式(19)和式(20),參數(shù)選擇k1=50,k2=300,k3=350,k4=280;自適應(yīng)率設(shè)計如式(24),(25),參數(shù)選擇為ψ1=0.002,ψ2=0.035;同步控制器和其自適應(yīng)律設(shè)計如式(40),(41), 參數(shù)選擇為r=12,σ=0.01,ks=1。

2) PID控制器的參數(shù):kp=150,ki=5,kd=0.1。

3) 動態(tài)面控制器的參數(shù):k1=30,k2=400,k3=600,k4=650,λ1=0.001,λ2=0.001,λ3=0.000 1;

選擇系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x1=0.2,x2=0,x31=0.3,x32=0.1,x41=0,x42=0。

選擇期望信號為xd=0.5sin (t),負(fù)載跟蹤效果和電機(jī)同步效果如圖3—圖7所示。

圖3 三種方法的x1和xd的跟蹤曲線Fig.3 Tracking curve of sum of three methods

圖4 跟蹤誤差曲線Fig.4 Tracking error curve

圖5 雙電機(jī)位置同步曲線Fig.5 Double motor position synchronization curve

圖6 同步誤差曲線Fig.6 Synchronization error curve

圖7 控制輸入曲線Fig.7 control input curve

從圖3中可看出,相比于PI控制和動態(tài)面控制, 所提出的非光滑漏斗控制具有更好的跟蹤性能;從圖4中可以發(fā)現(xiàn),非光滑漏斗控制的跟蹤誤差都被包含在漏斗邊界函數(shù)內(nèi), 而PI控制和動態(tài)面控制的跟蹤誤差則超出了漏斗邊界,這是因?yàn)闆]有采用漏斗函數(shù)進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換;從圖5中可看出,本文所提出的平均偏差耦合同步控制器具有更好的同步效果。

為了比較控制器的控制性能,基于3種控制策略性能指標(biāo)詳細(xì)對比如表1所示。

表1 仿真結(jié)果性能指標(biāo)對比Tab.1 Comparison of simulation results and performance indicators

從表1中可以看出:

從表中數(shù)據(jù)可以看出,本文所提出控制器可以使得雙電機(jī)伺服系統(tǒng)迅速高效地運(yùn)行,達(dá)到較小的負(fù)載跟蹤誤差與電機(jī)同步誤差。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的非光滑漏斗誤差面具有更好的跟蹤誤差收斂,本文分別進(jìn)行了漏斗控制(funnel control,FC) 和基于非光滑誤差面的漏斗控制的仿真實(shí)驗(yàn),其對比結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 負(fù)載位置跟蹤曲線Fig.8 Load position tracking curve

圖9 跟蹤誤差曲線Fig.9 Tracking error curve

從圖8和圖9中可看出,與漏斗控制相比,非光滑漏斗控制在跟蹤誤差的暫態(tài)性能(超調(diào)量和調(diào)整時間)和穩(wěn)態(tài)性能(穩(wěn)態(tài)誤差)方面都具有更好的控制性能。

4 結(jié)論

本文以具有未知非線性的雙機(jī)電伺服系統(tǒng)為研究對象,設(shè)計了基于非光滑漏斗誤差面的跟蹤控制器,引入一階濾波器對虛擬控制信號進(jìn)行近似求導(dǎo)。該控制器能保證輸出跟蹤誤差始終收斂于規(guī)定的漏斗邊界函數(shù)內(nèi),同時設(shè)計的同步控制器實(shí)現(xiàn)了雙電機(jī)的同步運(yùn)行。采用Lyapunov方法證明了系統(tǒng)的跟蹤誤差和同步誤差是一致最終有界的。仿真結(jié)果表明,本文所提出的控制方法能夠提高系統(tǒng)的負(fù)載跟蹤與電機(jī)同步性能。