單元教學(xué)設(shè)計與核心素養(yǎng)培養(yǎng)
——以“平面向量”單元教學(xué)為例

? 江蘇省宿遷中學(xué) 倪文林

1 問題提出

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中,對應(yīng)“課程基本理念”部分第一次創(chuàng)新性地提出“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”這一重要理念.對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與養(yǎng)成,一直滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,成為數(shù)學(xué)活動中的一種常態(tài).

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與養(yǎng)成,對于教學(xué)與學(xué)習(xí)有一定的指導(dǎo)與目標(biāo)意識,那么在高中數(shù)學(xué)教學(xué)單元中如何加以實(shí)施,能夠更加有效培養(yǎng)并提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生的全方位發(fā)展呢?本文中以“平面向量”單元教學(xué)為例,結(jié)合實(shí)例就數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)加以闡述,以期拋磚引玉.

2 問題解決

2.1 從數(shù)學(xué)問題中結(jié)合抽象加以數(shù)學(xué)運(yùn)算

借助平面向量的概念與公式等相關(guān)知識,合理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式等,通過數(shù)學(xué)變形與轉(zhuǎn)化,合理利用數(shù)學(xué)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

例1〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(三)數(shù)學(xué)試卷(2023年3月)·8〕已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖1所示.

圖1

因?yàn)閍·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,則y1y2=1.

所以|b+c|的最小值為2.

故選擇:C.

點(diǎn)評：本題根據(jù)平面向量“數(shù)”的結(jié)構(gòu)屬性,通過平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建加以數(shù)學(xué)運(yùn)算,合理引入平面向量的坐標(biāo),利用題設(shè)條件確定對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系,利用基本不等式的放縮、三角函數(shù)的應(yīng)用等來確定向量和的模的最值.

2.2 從邏輯推理中歸納總結(jié)加以直觀想象

借助平面向量的相關(guān)數(shù)據(jù)信息,特別是向量的位置關(guān)系(平行或垂直等),結(jié)合題設(shè)條件通過合理的邏輯推理,構(gòu)建與之對應(yīng)的平面幾何圖形加以直觀想象,從而利用圖形直觀分析解決平面向量問題.

圖2

故選擇:B.

點(diǎn)評：本題合理通過平面向量“形”的結(jié)構(gòu)特征,借助向量投影的定義加以直觀形象處理是解決平面向量數(shù)量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.這里借助局部與整體的平面向量的投影思維來處理,思維視角不同,解題思維一致,殊途同歸.局部視角需要必要的變形與轉(zhuǎn)化,整體視角的要求使得圖形更加復(fù)雜,各有利弊.

2.3 從數(shù)學(xué)思維中合理應(yīng)用加以邏輯推理

類似于特殊值思維等,都是平面向量及其應(yīng)用中最為常用的一些基本技巧方法.特別對于一些小題(選擇題或填空題),抓住問題的本質(zhì),通過合理巧妙的邏輯推理,對于解決平面向量及其相關(guān)的應(yīng)用問題有很好的效益.

圖3

故選擇:A.

點(diǎn)評：抓住平面向量“形”的結(jié)構(gòu)特征,從“形”的思維視角切入,結(jié)合“形”的位置關(guān)系等合理分析與處理.特別是涉及“形”中的對稱性、特殊思維等的應(yīng)用,可以巧妙邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2.4 從問題本質(zhì)中合理轉(zhuǎn)化加以數(shù)學(xué)建模

從題目條件的本質(zhì)入手,結(jié)合平面向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)等加以巧妙轉(zhuǎn)化與化歸處理,合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而借助熟悉的數(shù)學(xué)模型來分析與解決相應(yīng)的平面向量問題.

圖4

解析：在△BCD中,由BC=CD=1,∠DCB=90°+45°=135°,可得∠BDC=22.5°.

圖5

故選擇:A.

點(diǎn)評：求解平面向量的線性關(guān)系中的系數(shù)問題,合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.這里通過抓住平面向量“數(shù)”與“形”的雙重性質(zhì),可以從“數(shù)”的視角,也可以從“形”的視角來處理.“數(shù)”與“形”的融合與拓展,為平面向量問題的分析與求解提供了基本的思維方式.

3 感悟反思

相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與養(yǎng)成,對于具體的知識模塊來說仁者見仁,智者見智.在實(shí)際教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,要充分扎根于課堂,借助平面向量這一模塊知識,從本質(zhì)上加以合理挖掘與拓展,就數(shù)學(xué)核心知識、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面,巧妙應(yīng)用,有效實(shí)施.

特別在單元教學(xué)過程中,教師要根據(jù)平面向量模塊知識的本質(zhì)與特點(diǎn),從“數(shù)”與“形”兩個本質(zhì)屬性入手,在課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中加以滲透,提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).