研討新高考試題 啟示高三復習建議
——對全國數學新高考Ⅱ卷的評析

? 安徽省蚌埠第三中學 程雷虎

2023年全國數學新高考Ⅱ卷引起了社會的廣泛關注,除了海南、遼寧、重慶三個省市延續使用外,還增加了山西、黑龍江、安徽、云南、吉林等過渡地區,在使用過程中,考生反映此套試卷的解答題部分比全國數學新高考Ⅰ卷要難,計算量大,一不小心就“前功盡棄”.本文旨在對2023年全國數學新高考Ⅱ卷展開深入剖析,揭示該套試題“不易”的背后所隱藏的“廬山真面目”,提出一些思考與建議,以期對2024屆高三復習提供有益參考.

1 試卷結構特點

2023年全國數學新高考Ⅱ卷秉承著與前兩年新高考Ⅱ卷結構基本保持一致的風格,試題總題量為22小題,滿分150分,其中單選題、多選題、填空題、解答題分值分別為40分、20分、20分、70分.具體知識點分布見表1.

表1

2021～2023年全國數學新高考Ⅱ卷知識分布的對比見表1.

可以確定的是2023年全國數學新高考Ⅱ卷在結構上與前兩年新高考Ⅱ卷基本保持一致,難度上略有變動,但數學原理一致,沒有偏題、怪題.學數學,就是要學會在千差萬別的題中識別永恒不變的數學原理.

2 試卷總體特點

本套試卷遵循《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》[1]的各項要求,注重基礎,體現方法,突出思想,考查能力.考查考生的數學素養和探究意識,注重能力立意,突出考查考生的運算求解能力與邏輯思維能力,體現數學的科學價值和理性價值.試卷覆蓋中學數學的主干內容,選填部分難度適中,解答題難度偏中上,在結構、難度、命題方向及命題手法上與新高考接軌,“五育”并舉,并且針對不同層次教育教學實際水平,合理控制了試卷難度,利于不同水平考生能力的發揮.試題科學、規范,設問新穎、靈活,與當前教育形態相匹配,利于教師反思2024屆新高三復習教學方向,有利于促進中學實施素質教育.

2.1 立足基礎知識,考查主干內容

2023年全國數學新高考Ⅱ卷的設計立足于中學數學的基礎知識、基本技能和基本方法,如第1,2,3,5,7,10,13,14,17,18題都是直接考查基礎知識和基本方法.此外,試卷還注重對高中必修課程和選擇性必修課程所學主題內容的全面考查,集合、復數、初等函數、平面向量、數列、不等式、排列組合、圓錐曲線等內容在選擇題、填空題中得到了有效的考查.其中,第11題以導數問題突顯不等式跨界分析,注重數學知識綜合能力的考查;多選題設問合理,條件直指問題,突出了新課程的選擇性.在此基礎上,試卷還強調對主干內容的重點考查,體現了對數學知識考查的全面性、基礎性和綜合性.如在解答題中重點考查了三角函數與解三角形、立體幾何、直線與圓錐曲線、函數與導數、概率統計、數列等主干內容.其中,概率統計以類似疫情核酸檢測為背景,交匯函數綜合考查;圓錐曲線對雙曲線的二級結論進行考查.

2.2 注重能力立意,突出通性通法

2023年全國數學新高考Ⅱ卷試題以能力立意為核心,堅持多角度、多層次地考查推理論證能力、空間想象能力、閱讀理解能力、實際應用能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力.如試卷第9題以多選形式全面考查圓錐內容,題目考查基礎知識,四個選項設問逐層遞進,前面的選項為后面的選項提供條件,各選項分別考查圓錐的不同性質,互相聯系,重點突出,有效扎實地考查數學運算素養;第20題考查了空間想象能力;第17,18,20,21,22題考查了推理論證能力、運算求解能力和探究能力;第19題考查了利用概率統計思想和函數思想解決實際問題的能力.

試題注重對數學通性通法的考查,命題時以一道題為載體,呈現給考生的是一類題,通過一道題考查考生掌握解決這一類問題的通用方法.如試卷第20題的第(1)問考查空間異面垂直的證明,第(2)問考查二面角的求法;試卷第5,10,15,21題通過直線與圓、三類圓錐曲線的位置關系給出了直線與圓、圓錐曲線研究的基本方向與基本特點;第22題揭示了函數與導數命題中以不等式和極值為背景的命題手法及解題方法,再次呼應熱點,突出通性通法,啟示研究方向,引導2024屆高三復習思路.

2.3 知識點的交匯題依然會考查

第19題是概率統計與函數知識點交匯的題型,回看其他新高考數學試題,不難發現,2021年新高考Ⅱ卷第21題是概率統計與函數性質的交匯題型,2022年新高考Ⅱ卷第22題是導數與不等式證明的交匯題型.新高考數學大題中的知識點交匯考查可以說在這兩年中依然有出現,實際上,新課程標準中高中數學內容有三角、數列、函數、概率與統計、立體幾何、解析幾何、數學建模等主題,而要求這些主題的學習應建立在整體思維的基礎上,為了考查考生的整體意識、綜合能力和應用能力,知識點的交匯考查在今后的新高考中出現的可能性很大.

2.4 閱讀能力、題意理解與計算能力要求較高

本套試卷選填題,除了填空題第16題難度相對大點,可以說是“一馬平川”,注重基礎.但從解答題第18題開始,難度陡然提升.解答題的難度一方面體現在閱讀理解上,要求學生需認真閱讀、仔細審題,很多考生由于閱讀能力差,無法理解題中的含義,因此無從下手.如第19題,很多考生很難從頻率分布直方圖上得出漏診率和誤診率.另一方面,解答題對于計算的要求也極高,需要學生有扎實的計算功底且能打破計算障礙.如第18題,設置了分段數列求和問題,不僅需要考生理解分段數列求和的分類思想,還要有扎實的計算功底.很多考生在做題的過程中,由于計算繁瑣望而卻步.在今后的數學教學中,要求我們引導學生加強閱讀理解和運算求解能力的提升.

2.5 情境題型設計,體現素質教育

本套試題注重情境題型設計,既綜合性地靈活考查了數學學科素養,又體現了當前教育形態(堅持立德樹人,實施素質教育,培養德智體美勞全面發展的社會主義接班人).試卷中問題情境豐富,設問方式通俗易懂.如試卷第3題以體育運動為背景設置了排列組合題,在考查學生數學知識的同時,又引導學生加強體育鍛煉,將體育教育融入數學教育;第12題以信道傳輸0,1信號為背景設置了相互獨立事件的概率,試題設置的情境真實、貼近生活,同時源于教材例題;第19題以醫學檢測為背景,讓學生在實際問題中體會生活,培養學生感恩意識,懂得“哪有歲月靜好,只是有人在負重而行”.這些問題都反應了數學與實際生活的結合,這就要求學生不能只做“書呆子”,而應該將所學的數學知識運用到生活,“五育”并舉,推動社會的發展和進步.

3 教學啟示與備考建議

3.1 深度研讀課程標準,明確高考考試方向

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》[1]中蘊含著學科內涵、能力目標等核心素養要求,在研讀課程標準時,需要加大深度,不僅要讀,還要研,要將標準中的學科內涵和能力目標等進行細化.在對比這兩年新高考數學試卷的基礎上,從總體上分析和把握2024年新高考試卷可能的動向.

筆者認為,2024屆的高考復習要繼續注重對主干知識的講解,注重對數學基礎性、應用性和學科思政的滲透,將中國教育的方針政策與高中數學知識有機結合起來,構建數學問題的直觀模型,讓學生感受優秀的數學思想;當然,還要加強閱讀理解能力、運算求解能力,以及高中數學知識應用的綜合性,體會數學知識與現代生活息息相關.

關注核心素養導向的趨勢,結合近兩年新高考試卷,建議讓高三學生明確當前高考考查的側重點以及關注的核心素養.

(1)數列作為離散函數的代表,讓學生掌握數列研究的基本方法和基本思想的同時,在復習過程中應適當增加數列性質及求和性質的研究,增加數列題型的計算練習.

(2)函數性質方面,要注意考查形式的多樣性,注意多種初等函數的綜合性.應重點復習函數性質的判斷方法和基本思想,以及掌握特殊函數的性質與圖象.

(3)三角函數作為周期函數的特殊代表,考查比較常規.復習時要把握方向,適當控制難度,重點解決三角函數的圖象與性質的理解和應用、三角知識在解決數學問題中的應用(正弦定理、余弦定理等);要關注三角函數的圖象和性質在研究一般函數性質時的特殊作用.

(4)幾何與代數.首先,解析幾何應通過算法選擇、算理分析的教學與示范,徹底落實運算問題,加強學生學習品質的提升,理解代數方法在研究解析幾何問題中的作用;注重解析幾何中的通性通法的講解,加強解析幾何中幾何意義的解讀和解題方法的比較,真正讓學生理解解析幾何的特點,提升學生的數學認識和水平.其次,立體幾何要規劃空間位置關系的性質與判斷,重點強調核心位置關系的邏輯推理訓練,解決數量關系的刻畫與求解,凸顯空間想象能力.

(5)函數與導數綜合問題,要突出函數性質的應用,研究重要函數模型背景及性質,熟悉常見的命題手法,適當關注高等數學背景知識.

(6)概率與統計問題,應加強時代性、應用性,突出數據處理能力、題面閱讀能力.教學中,應培養學生良好的審題習慣,恰當提取數據信息,滲透學科知識的交叉,讓學生體會數學學習的廣泛適用性,培養應用意識和建模意識.

3.2 回歸教材,夯實基礎,理解概念

教材中的例題、習題大多都是很多題型的濃縮版.事實上,很多高考試題來源于教材,是教材例習題的變式或推廣.因此,以教材為素材組織高三復習是提高學生復習效果的有效途徑.新高考數學很多問題都很基礎,源于教材,教師在復習過程中一方面要讓學生將教材中的定義、概念吃透,真正理解概念,這樣才不會出現似懂非懂的現象.另一方面,教師要思考教材的編寫意圖,基礎知識點如何延伸,解題方法如何運用,充分發揮教材導向作用,激發學生的基礎意識,培養數學核心素養,提升學生舉一反三的能力.

3.3 突出通性通法,優選解題方法,規范解題過程

高考中的很多問題,其解題方法大多源于教材例題和習題,需要教師通過研究性復習教學,將教材中的解題方法提煉出來.同時,要注意教材中的解題思路和解題規范性,突出通性通法,弱化解題技巧,重在問題的分析和解題書寫步驟的規范,培養學生嚴謹的數學推理思維.在復習過程中,教師還應注重培養學生的計算能力,突破計算上的障礙,注重解題優化的意識.