公式延續,思維拓展
——“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”教學設計

? 江蘇省宿遷中學 王嘉琨

1 教材分析

“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”是高中數學新教材(人教A版)必修第一冊5.5.1的第2課時,是在第1課時“兩角差的余弦公式”基礎上的延續與拓展,也為后續三角恒等變換公式體系奠定基礎.

2 學情分析

學生在前面已經學習了誘導公式、兩角差的余弦公式等,初步具備了三角函數式中“變角”與“變名”思維,這都為本節課研究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式提供了知識、方法和思想上的準備.

3 教學目標

(1)以兩角差的余弦公式作為基礎,自主發現推導兩角和與差的正弦.余弦、正切公式,并理解這些公式之間的內在聯系.

(2)通過例題的訓練,加深對公式的理解和應用.

4 重點、難點

(1)教學重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導及其應用.

(2)教學難點:靈活運用公式進行三角函數式的化簡、求值等.

5 教學過程

(1)復習回顧,問題引入

問題1上一節課我們學習了兩角差的余弦公式C(α-β),你能說出這個公式以及它的推導過程嗎?

利用圓的旋轉不變性來推導的,具體步驟如下:第一步,在坐標系中畫出角度α,β,α-β與單位圓,并標出終邊與單位圓的交點;第二步,根據三角函數的定義寫出各點的坐標;第三步,利用圓的旋轉不變性得到等量關系;第四步,代入化簡得到公式.

問題2除了公式C(α-β)外,你還能提出一些新的研究問題嗎?你打算如何研究這些問題?

師生活動:教師引導學生提出新的研究問題,學生思考研究新問題的方法.

引導語:對于其他幾個公式,也可以利用單位圓來研究.不過,本書不采用這這種研究方法,而是利用公式C(α-β)來推導其他公式.數學上把這種將新問題轉化成已經解決的問題的方法叫作化歸與轉化的思想方法.

設計意圖：通過問題1幫助學生回顧利用圓的旋轉不變性推導兩角差的余弦公式的過程,明確研究公式C(α-β)的方法.

(2)公式探究,發現問題

問題3你能利用公式C(α-β)推導出兩角和的余弦公式嗎?

師生活動:先讓學生獨立思考,然后請學生回答推導思路,鼓勵學生用多種方法解決.

方案一:注意到α+β與α-β之間的關系,即α+β=α-(-β),再由公式C(α-β)推導;

方案二:可以利用換元的觀點來推導,用“-β”替換公式C(α-β)中的“β”也能獲得公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

設計意圖：從加減法的關系和整體代換的方法體現了數學中的化歸與轉化以及換元的數學思想方法.

(3)深入拓展,公式推導

問題4由C(α+β)能推導出sin(α+β)的公式嗎?

師生活動:學生獨立思考后,教師可以根據學生的反應追問下列問題.

思考1如何建立正弦與余弦值之間的關系呢?

預設答案:利用誘導公式五(或六),即可實現正弦、余弦之間的相互轉化.

思考2如何得到sin(α+β)的公式呢?

設計意圖：利用兩角和的余弦公式和誘導公式推導兩角和的正弦公式.

問題5如何得到sin(α-β)的公式呢?

師生活動:學生獨立完成,教師邀請學生展示和點評.

預設答案:用“-β”來替換sin(α+β)中的“β”,則有sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

引導語:把以上兩角和的正弦公式和兩角差的正弦公式分別記為S(α+β)和S(α-β).

設計意圖：通過整體化思維,以及化歸與轉化思想,利用兩角和的正弦公式來推導兩角差的正弦公式.

問題6已知任意角α,β的正切,你能推導出tan(α+β)和tan(α-β)嗎?

師生活動:學生獨立完成,教師邀請學生展示和點評.

預設答案:由正切與正弦、余弦的關系,可知

引導語:把以上兩角和的正切公式和兩角差的正切公式分別記為T(α+β)和T(α-β).

設計意圖：利用正弦、余弦、正切之間的關系推導兩角和與差的正切公式.

問題7和(差)角公式和我們以前學習的誘導公式之間有什么關系嗎?請用圖示說明.

師生活動:學生獨立思考后,和同學交流自己的想法,教師展示圖示,揭示它們之間的內在聯系.

誘導公式是和(差)角公式的特殊情況,如用S(α-β)推導誘導公式如圖1所示.

圖1

設計意圖：比較和(差)角公式和誘導公式的異同,構建知識間的內在聯系,加深對公式的理解.

(4)公式應用,熟練掌握

思考1：你打算如何求解?請說說你的思維過程.

思考2：如果去掉“α是第四象限的角”這個條件,結果和求解過程會有什么變化?

預設答案:

方案一:等式左右兩邊均使用和差公式展開.

例2利用和(差)角公式計算下列各式的值:

①sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°;

②cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°;

思考4：從例1和例2可以看出和(差)角公式有什么作用?(預設答案:求值或化簡.)

設計意圖：例1步步遞進,逐層深入,充分展示數學思維的發散性;例2強化公式的理解和應用,規范解題格式,訓練有序思維和逆向思維.

(5)系統歸納,總結提升

問題8你能用圖式來回顧本節課5個和(差)角公式的推導過程嗎?

師生活動:學生獨立完成(如圖2)后與同學交流.

圖2

問題9在和(差)角公式的推導過程中用到了什么數學思想方法?

預設答案:化歸與轉化的思想整體代換的思想等.

設計意圖：用框圖回顧推導過程,建立知識之間的內在聯系,歸納總結本節課的數學思想方法等.

6 教學反思

(1)公式延續,深入應用

本節課以兩角差的余弦公式為基礎,利用角的變換和函數名之間的轉換,將要推導的公式轉化為熟悉的公式來解決.整個推導過程不但能夠培養學生邏輯推理數學素養,還能讓學生領悟知識之間的內在聯系,初步體會三角恒等變換的特點以及轉化與化歸思想在數學研究中的應用價值.

(2)關注應用,能力提升

我們應該改變以往公式教學中“輕過程、重應用”的方式,在關注公式的理解和應用的同時,更應該讓學生全程參與到公式的發現和推導中來,因為推導過程所承載的數學育人功能是不可能只通過“公式的應用”來實現的;還可以鼓勵學生課后選擇一個公式作為基礎,采用不同的研究路徑重新研究這一過程,再一次經歷解決問題的過程.