“三角函數”單元教學的起始課設計

? 西華師范大學數學與信息學院 袁釗穎

1 單元教學

單元教學是指在一個明確的主題下,以整體性為原則,基于數學學科核心素養的要求,按照知識發生發展的脈絡,選擇教學內容,使其構建成為一個具有完整知識體系的相對獨立的單元進行的教學[1].

單元教學從整體的角度分析教材,選擇內容進行教學設計,能夠使學生厘清知識發生發展順序,建立完整的知識體系.同時,由于單元教學是按照一條主線或知識的某種聯系開展的,學生在探究的過程中,能夠掌握這一類知識背后蘊含的研究方法和數學思想,為以后的學習和工作打下良好基礎.因此,單元教學能夠作為提高學生核心素養的有效實施路徑.

2 “三角函數”單元起始課教學過程設計

2.1 環節1:情境創設,引入新知

問題1“在現實世界中,各種各樣的運動變化現象都可以用函數模型進行表示,從而把握物體的運動規律”,你能用函數描述以下情境嗎?

情境1：一個正方形場地的面積為S,請表示該正方形的邊長y與面積S之間的關系.

情境2：將一張正方形紙對折,你能表示出對折次數x與所得層數y之間的關系嗎?

指數型:y=2x.

情境3：將一張正方形紙對折,經過幾次對折后,若已知所得層數為x,求對折次數y的表達式.

對數型:y=log2x.

情境4：如圖1,游客可以坐在摩天輪的座艙中俯瞰城市的景色,假設摩天輪做勻速圓周運動,摩天輪的中心O距離地面OQ=30 m,轉輪半徑為OP=10 m,轉動一周大約需要30 min,若你所在座艙位置為點P,你能否判斷經過一段時間后,摩天輪旋轉了多少度以及點P距離x軸的距離呢?

圖1

設計意圖：學生通過已經掌握的函數模型,能夠很快得到前三個情境問題的函數表達式,但最后一個卻不容易表達出來.由此引發認知沖突,激發學生的求知欲,讓學生意識到學習新函數模型的必要性,從而引出本單元學習的內容——三角函數.

2.2 環節2:回顧舊知,明確主線

問題2從三角函數的名稱上可以推斷出,三角函數是眾多函數模型中的一種.大家還記得我們學過哪些函數內容嗎?學過幾類函數模型?根據之前的學習過程,你能總結出研究函數模型的一般路徑嗎?

師生活動:學生通過回顧學習過程和翻閱教材,會自然而然先羅列出函數概念與性質、冪函數、指數函數和對數函數等內容,并按照知識的學習過程梳理出學習路線(如圖2所示)[2].

圖2

筆者帶領學生對比這幾條路線,發現函數的研究有著共同的步驟.同時,發現在學習這幾個函數概念前都會先了解與該函數有關的生活實例或者學習該函數所必備的預備知識,我們將這一過程統稱為背景知識,最終師生共同確定函數研究的一般路徑(如圖3所示).

圖3

設計意圖：在這個過程中,學生會回顧所學的所有函數知識,以及所涉及的數學思想方法,有利于喚起學生對舊知的記憶,并能將舊知應用于新知的學習中,建立起舊知與新知之間的橋梁.同時,總結出的函數研究路徑,不僅是學生學習三角函數單元的教學骨架,也是學生建立知識框架體系的主線,很好地體現了單元教學中整體性這一本質特征.

2.3 環節3:明確內容,構建框架

問題3在情境4中,當摩天輪分別旋轉了15 min,45 min,1 h時,摩天輪旋轉了多少度?

設計意圖：通過具體的生活情境,認識到摩天輪在此過程中旋轉了半周、一周半或者兩周,打破了學生在初中所學的角的范圍0°～360°,引發學生的認知沖突,由此說明角的概念擴展的必要性.

問題4在情境4下,點P從點A出發,逆時針旋轉t°后,點P距離x軸的高度h為多少?

師生活動:筆者為學生展示三角函數的概念,引導學生利用新的函數模型解決問題.得到結果h=10sint°.

追問:結合函數的概念,你能判斷上述表達式是一個函數嗎?如果不是函數,怎樣表達才能使之成為一個函數呢?

設計意圖：該表達式不是一個函數,因為t°不是實數.通過這樣一個過程,引導學生感知需要用另一種度量角的單位制來表達,激發學生的認知沖突,引發學生的主動思考,認識到引入弧度制的必要性.

根據上述描述,任意角和弧度制就成為我們學習三角函數的預備知識,在研究函數的一般路徑中,就可以將其歸入背景知識進行學習.

師生活動:按照函數學習的一般路線,在學習預備知識后,就開始進行三角函數的概念和表示的學習.教師展示三角函數概念,提煉出三角函數概念的重點——單位圓、終邊和角.

問題5函數的性質可分為運算性質和圖象性質.根據之前所學的知識,同學們知道在研究圖象性質時,應該怎樣研究以及具體研究什么內容嗎?

設計意圖：學生通過之前研究函數的經驗,能很快回答出通過描點、作圖去研究函數的單調性、最值和奇偶性等.此過程重點在于讓學生回想研究函數圖象性質時所需要掌握的數學思想方法,并明白數學方法的使用對象和途徑.

問題6在了解了三角函數的圖象和性質后,請思考三角函數之間存在著怎樣的運算性質?

問題6-1由三角函數的概念可以知道,三種三角函數的值都是由角的終邊與單位圓的交點唯一確定的,那么終邊相同的角的三種三角函數值之間是否存在某種聯系?這個問題我們將會在同角三角函數關系課時中得到解答.

問題6-2在上一個問題中,我們研究的是同角與邊的關系,那么不同的角與邊又會存在怎樣的關系呢?這個問題我們將會在誘導公式課時的學習中得到解答(筆者展示相關公式).

問題6-3同學們觀察剛剛所呈現的誘導公式,它們都是一個特殊角與任意角之間的關系.那么,我們能否推導出任意角與任意角之間的關系呢?這就是我們之后所要學習的三角恒等變換.

設計意圖：在問題6中,通過問題串的形式,向學生展示三角函數運算性質中將要學習的內容及各個運算性質主要解決什么問題.層層設問,激發學生主動思考,提高學生發現問題、解決問題的能力,并且通過一連串問題,厘清知識的前后順序,形成知識框架,為之后開展知識點的課時教學提供思路和骨架,明確教學路線[3].

2.4 環節4:課堂小結

師生活動:引領學生回顧本節課內容,再通過小組交流,形成三角函數單元的知識框架.最后對各小組展示的內容進行點評總結,確定三角函數單元教學知識框架(如圖4所示).

三角函數—預備知識———任意角與弧度制三角函數的概念與表示正弦函數余弦函數正切函數 性質圖象性質周期性對稱性單調性最值 運算性質同角三角函數的基本關系誘導公式三角恒等變換 應用