嚴謹性思維的培養措施

? 江蘇省江都中學 王 斌

思維的嚴謹性屬于思維品質的一種,主要指對待問題時要遵循邏輯規則,在概念清晰的狀態下進行準確判斷、有據推理,體現思維的縝密性.在教學中,教師常發現學生遇到一些跨度大的證明題就不知從何下手;有些需要分類討論的問題,常常出現遺漏的現象.這些問題的發生,都是因為思維不夠嚴謹而導致的.因此,在教學實踐中,筆者特別對培養學生思維的嚴謹性作了一定的研究,與同行共勉.

1 問題誘導,準確表述

想要在數學學習中獲得嚴謹的思維,必須準確無誤地表述并理解數學概念、定理、公式、定義、法則等基礎知識.尤其是概念中呈現的一些關鍵性詞語,必須保證能用數學符號進行精確化的表達.為了達到這一目的,教師可設計一些具有引導性的問題,以激發學生探究的熱情,讓學生對抽象的知識產生良好的情感傾向.

問題的設置需要有一定的技巧.教師要盡可能地創設一些處于學生認知發展區內,具有一定挑戰性且讓學生踮起腳尖才能解決的問題,或需要學生通過合作交流才能獲得結論的問題.從心理學的角度來講,此類問題能真正激起學生的學習動機,從而產生探究行為,為形成嚴謹的數學思維奠定基礎.

例1觀察3,6,9,12,15……這組數據,說說它們之間存在怎樣的關系.

這組數據對于學生而言并不陌生,在初中階段即有接觸.在學生給出答案后,教師又讓學生說說2,4,6,8,10,12……這組數據之間存在的聯系.這個問題同樣簡單,學生表述毫無障礙.接著,教師又提出一個新的問題:“這兩組數據之間具有怎樣的聯系?”學生經觀察后,認為:第一組數據相鄰兩個數的差為3;第二組數據相鄰兩數之差為2.此時,教師再次提問:這兩組數據的第十個數分別是多少?

隨著問題的逐漸深入,學生的思維也隨著問題呈逐層上升趨勢.通過對一個個問題的表述,學生很快就自主抽象出等差數列的概念,進而得到等差數列的通項公式:an=an+(n-1)d.

緊接著,教師又提出以下問題串,要求學生逐個表述:

(1)分別說說兩組數據的前五項的和及計算方法.

(2)大家想想,有沒有更簡單的計算方法?

(3)怎么計算前n項的和呢?

由淺入深的問題誘導,使得學生的思維跟著一個個問題拾級而上.從對最簡單問題的表述到公式推理的形成,一環接一環,嚴謹而又周密,學生的思維也呈螺旋式上升.此過程除了以階梯狀的問題貫穿外,學生的表述也是重點,隨著表述越來越完整,學生的思維也越來越嚴謹,久而久之,學生也對學習也充滿了信心.

其實,這種誘導方式除了能鍛煉學生的表達能力、嚴謹思維之外,在一定程度上還激發了學生的探究欲.學生在自我推導與合作學習中,對問題展開相應的研究與推斷,這為培養學生的自主學習能力及核心素養奠定了基礎.

2 適當引導,嚴密推理

教學時,一般是將一個個知識點分解到課堂中逐個講解,這種教學方式體現了知識的獨立性.但這種模式也導致了部分學生不會進行知識間的聯系,出現思考問題方向單一、思維僵化、缺乏靈活性等現象,這些現象嚴重地削弱了學生思維的延伸性與系統性.我們知道,數學是一門系統性很強的學科,所有的知識點都不是孤立存在的,知識的前后有著緊密的聯系,難度呈遞進式上升,學科與學科之間也有著千絲萬縷的關聯.

因此,教師應有意識地引導學生感知、感悟知識間的這種遞進關系,讓學生從多層面或多維度去面對問題,實現解題.如此,可培養學生形成聯想式的思考模式,在思考與探討中獲得嚴謹的數學思維.

學生看到此題,首先考慮到數列,卻不知從何處下手.

師:通過問題中的指數,大家能聯想到什么?問題中有哪些量隨著其他量的變化而發生變化?

不少學生做到此步,思維卡殼了.教師提醒學生再回過頭來看看,待求證的是什么?

有什么辦法能證明an>an+1呢?教師提出:求證一個命題的真偽,一般可采取數學歸納法或反證法,本題該選擇哪種方法呢?

學生一致選擇了數學歸納法,并順利解題(過程略).

從本題的教學來看,不僅凸顯了教師引導的重要性,還凸顯了從多角度思考與分析問題的必要性.解題時,學生通過各個關卡的逐個突破,最后再將各個突破點聯系到一起,不僅解決了本題,還有效地鍛煉了思維,整個過程邏輯清晰、思路明朗、逐層遞進,有效地促進了學生嚴謹性思維的形成與發展.

3 分類討論,全面考慮

教學中,我們常發現學生在問題的探討中,總存在不夠全面、顧此失彼的現象,不少學生因為不能整體、全面地分析問題而導致丟分.為了鞏固和提高學生的邏輯性,可有針對性地利用一些試題來訓練學生的思維,讓學生結合實際情況,從問題的多角度進行分析與探討.教學中,筆者常用蘊含分類討論思想的問題,來激發學生全面思考的能力,以幫助學生更好地形成周密性思維.

例3設函數f(x)=x2+ln(a+x),若f(x)有極值,求a的取值范圍.

方程2x2+2ax+1=0判別式Δ=4a2-8.

①當Δ<0時,f(x)無極值.

②當Δ=0時,f(x)也無極值.

本題充分體現了分類討論思想的“化整為零”和“集零為整”的策略,揭示了分類對象需清晰、標準統一,杜絕重復、遺漏、越級等原則,將思維的嚴謹性充分展現出來.因此,分類討論不僅能帶動學生從問題的全面性去思考,還能幫助學生縝密思維,提高認識,提高數學核心素養.

總之,紙上談兵終覺淺,只有真正地參與并親歷實踐,才能不斷地自我突破,實現優化、修正原有的固化思維.教學中,教師可充分發揮引導功能,引導學生從多角度出發,周密、嚴謹思考問題,培養學生形成良好探究習慣的同時,幫助學生養成能促進其終身可持續發展的思維品質.