挖掘課程內(nèi)涵,關(guān)注條件概率

? 福建省同安第一中學(xué) 王 鋒

2022年高考是八省市實施新高考的第二年,新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在概率與統(tǒng)計的考查中,均突出了條件概率的地位,新高考I卷第20題第(2)小題第(i)小問考查了條件概率公式,要求學(xué)生能用條件概率公式進(jìn)行證明,第(ii)小問考查了條件概率的意義和計算;新高考II卷第19題第(3)小題直接考查條件概率的運(yùn)算.雖然兩題難度不大,但是對條件概率的重視非同一般,充分體現(xiàn)了舊教材下的新高考向新教材下的新高考的逐步過渡,也為教學(xué)與學(xué)習(xí)指明方向.

1 概念問題

與條件概率有關(guān)的概念問題,主要涉及條件概率模型的判斷,以及與其他概率模型之間的聯(lián)系與區(qū)別等,不要產(chǎn)生概念之間的混淆.

例1(多選題)下面幾種概率是條件概率的是( ).

A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,各投籃一次都投中的概率

B.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率

C.有10件產(chǎn)品,其中3件次品,抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗,恰好抽到一件次品的概率

分析：結(jié)合各選項中不同概率與統(tǒng)計的問題場景,利用條件概率的定義加以展開與分析,進(jìn)而得以確定條件概率問題.

解析：選項A中,甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,甲、乙各投籃一次都投中為相互獨(dú)立事件,不是條件概率模型;

選項B中,甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率問題,為條件概率模型;

選項C中,有10件產(chǎn)品,其中3件次品,抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗,恰好抽到一件次品的概率,是古典概型模型,不是條件概率模型;

故選擇:BD.

點(diǎn)評：抓住條件概率的定義,利用相關(guān)事件的發(fā)生條件之間的聯(lián)系,結(jié)合其他概率類型、如相互獨(dú)立事件模型、超幾何分布模型、獨(dú)立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ偷?正確區(qū)分,準(zhǔn)確判斷.

2 計算問題

有時,也可利用具體問題的場景,結(jié)合相應(yīng)的概率公式加以分析,解決一些與條件概率相關(guān)的概率應(yīng)用問題.

例2(2022年高考數(shù)學(xué)天津卷·13)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為______;已知第一次抽到的是A,則第二次抽到A的概率為______.

分析：由題意,利用撲克牌的抽取屬于無放回的情況來確定對應(yīng)的概率問題,結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率,再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下,第二次抽到A的概率.

解析：由題意,設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則

點(diǎn)評：以常見的撲克牌及其對應(yīng)的無放回抽取試驗,巧妙融入獨(dú)立事件的概率和條件概率,借助條件概率公式進(jìn)行計算與求值,是條件概率在高考中比較常見的一種考查方式.正確判斷條件概率模型,并準(zhǔn)確掌握條件概率公式,是解決計算與求值等相關(guān)條件概率問題中的關(guān)鍵.

例3如果{an}不是等差數(shù)列,但若?k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么我們稱{an}為“局部等差”數(shù)列,已知數(shù)列{xn}的項數(shù)為4,記事件A:集合{x1,x2,x3,x4}?{1,2,3,4,5},事件B:{xn}為“局部等差”數(shù)列,則條件概率P(B|A)=______.

分析：由題意,通過條件概率的場景創(chuàng)設(shè),分別計算出事件A和事件B的基本事件數(shù),結(jié)合概率公式即可求解.

解析：由題意,事件A的基本事件數(shù)為

事件B的基本事件有:

含1,2,3的局部等差數(shù)列為1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個;含3,2,1的局部等差數(shù)列同理也有3個.

含3,4,5和5,4,3的共有6個.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2個;含4,3,2的也有2個.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4個;含5,3,1的也有4個.

局部等差數(shù)列共計6+6+2+2+4+4=24(個).

點(diǎn)評：當(dāng)涉及的基本事件是有限個和等可能發(fā)生時,經(jīng)常可以利用古典概型的概率公式,分別求解事件A所包含的基本事件數(shù),以及事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件數(shù).借助古典概型的概率公式來求解對應(yīng)的條件概率問題,也是處理此類問題中比較常用的一種技巧方法.

3 應(yīng)用問題

與條件概率相關(guān)的應(yīng)用問題,主要涉及條件概率的概念、計算公式以及與其他相關(guān)知識的綜合,要在實際應(yīng)用情境中進(jìn)行滲透與創(chuàng)新.

例4〔2023屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(二)〕統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象,通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫,來幫助人們作出合理的決策.

(1)現(xiàn)有池塘甲,已知池塘甲里有50條魚,其中A種魚7條,若從池塘甲中捉了2條魚.用ξ表示其中A種魚的條數(shù),請寫出ξ的分布列,并求ξ的數(shù)學(xué)期望.

(2)另有池塘乙,為估計池塘乙中的魚數(shù),某同學(xué)先從中捉了50條魚,做好記號后放回池塘,再從中捉了20條魚,發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.

(ⅰ)請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數(shù);

(ⅱ)統(tǒng)計學(xué)中有一種重要而普遍的求估計量的方法——最大似然估計,其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹,即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度,采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數(shù).

分析：(1)根據(jù)超幾何概率公式即可求解概率,進(jìn)而可得分布列和期望;(2)根據(jù)抽樣比即可求解總數(shù),利用條件概率公式進(jìn)行概率計算,并根據(jù)最大似然思想,結(jié)合概率之間比值關(guān)系的轉(zhuǎn)化與大小關(guān)系的判斷,并結(jié)合概率的單調(diào)性即可求解最大值,進(jìn)而解決問題.

解析：(1)由題意可知ξ的可能取值為0,1,2,則

故ξ的分布列為

ξ012P129175431753175

故池塘乙中的魚數(shù)為200.

所以,估計池塘乙中的魚數(shù)為199或200.

點(diǎn)評：以概率與統(tǒng)計為問題為創(chuàng)新場景,合理融入概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識,是新高考數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計部分考查的基本方式.合理融入條件概率模型,借助條件概率的判斷、公式的應(yīng)用、數(shù)值的計算等,并結(jié)合其他概率模型與統(tǒng)計知識來綜合,全面考查概率與統(tǒng)計中的相關(guān)知識與數(shù)學(xué)能力等.

條件概率作為新舊教材中概率與統(tǒng)計部分的一個重要知識點(diǎn),在新課程改革與新高考模式下,從一定程度上突出了條件概率的地位,合理引領(lǐng)新舊教材下的變化以及新高考模式下的創(chuàng)新與改革.特別是引導(dǎo)高中教學(xué)逐步向新教材過渡,新高考更加注重教考銜接,在突出教材主干知識與核心內(nèi)容的同時,也積極關(guān)注新教材、新高考熱點(diǎn)與趨勢.