例談“數形結合”思想在高考數學中的應用

? 湖北江漢大學數學與大數據系 周 嶺 許 璐

基金項目:江漢大學研究生科研創新基金項目“基于新課標新課改背景下提升中學生數學學科核心素養的探究”,項目編號為KYCXJJ202350;教育部產學合作協調育人2022年第一批立項項目“基于Python的大數據分析與應用課程混合教學模式探索”,項目編號為220506627242057.

著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休”.所謂“數形結合”就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來,通過“以形助數”或“以數解形”,即通過抽象思維與形象思維的結合,將復雜問題簡單化,抽象問題具體化,達到實現優化解題路徑的目的,起到事半功倍的效果.下面將結合高考數學試題實例,分析說明“數形結合”思想在解決問題中的作用和簡捷.

1 數形結合思想在解析幾何中的應用

例1(2023年全國新高考Ⅰ卷)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=( ).

分析：此題可以先將圓的方程化為標準形式,設出切線方程,利用點到直線的距離公式求出兩條切線的斜率,最后利用夾角公式求得sinα的值,但是計算相對復雜.

解析：依題意,圓的方程可化為(x-2)2+y2=5.

圖1

設過點P的兩條切線為PA和PB,則∠APB=α,可得

分析：此題常見解法是設出點A,B的坐標,利用已知條件列出三個方程,再解出方程求得點A,B的坐標,進而得出雙曲線C的離心率.這樣計算量會很大,如果利用數形結合的思想結合雙曲線的定義求其離心率將會大大簡化計算.

由雙曲線的定義,得|AF1|=|AF2|+2a=2x+2a.

如圖2,在△F1AF2中,由余弦定理,可得

圖2

整理,得5c2=9a2.

點評：這類題目考查了學生“數學抽象”的核心素養.解決此類題的關鍵在于將數學符號語言和圖形語言相互轉化,利用圖形的直觀性,結合相關定義、公式即可快速解題.

2 數形結合思想在立體幾何中的應用

例3(2022年新高考I卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( ).

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析：此題可以通過建立空間直角坐標系來判斷各選項是否正確,但計算較繁瑣.

解析：選項A,B的判斷略.

圖3

因為C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD的夾角,易得∠C1BC=45°,故選項D正確.

綜上所述,此題選:ABD.

點評：本題主要考查立體幾何中直線與直線的夾角、直線與平面的夾角,是對學生“邏輯推理”“直觀想象”核心素養的考查.此題如果通過建系來計算,將比較復雜,耗時較長;若采取“傳統”方法,結合圖形并運用立體幾何、三角函數相關知識,即可快速、直觀作出判斷.

3 數形結合思想在函數中的應用

例4(2021年全國乙卷)設a≠0,若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則有( ).

A.abC.aba2

分析：此題如果利用導數知識來求該函數的極大值點,再通過a與b的大小來判斷選項將非常復雜.如果通過數形結合先考慮函數的零點情況,注意零點附近左右兩側函數值是否變號,結合極大值點的性質,對a進行分類畫出該函數的圖象再來判斷選項將大大簡化了問題,既直觀又方便快捷[1].

解析：若a=b,則f(x)=a(x-a)3為單調函數,無極值點,不符合題意,故a≠b.

所以f(x)有x=a和x=b兩個不同零點,且在x=a附近左右兩側不變號,在x=b附近左右兩側變號.

因為x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,所以f(x)在x=a附近左右都小于0.

①當a<0時,由x>b,f(x)≤0,畫出f(x)的圖象如圖4所示.由ba2.

圖4

②當a>0時,由x>b,f(x)>0,畫出f(x)的圖象如圖5所示.由b>a>0,得ab>a2.

圖5

綜上ab>a2成立.故選:D.

例5(2021年新高考I卷)已知O為坐標原點,點A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),則( ).

分析：此題如果畫出圖形,利用數形結合思想解題,既直觀又簡捷.

圖6

例6(2021年新高考I卷)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

C.0

分析：此題要求作出曲線y=ex的兩條切線,通過幾何圖形進行直觀想象,很容易判斷各選項是否正確.

解析：作出y=ex的圖象.

易得,若想作出切線,點(a,b)需在曲線y=ex的下方和x軸上方,如圖7,即b

圖7

但點(a,b)在x軸及其下方時,僅能作出一條切線,如圖8.所以點(a,b)需在y軸上方,即b>0.

圖8

綜上,可得0

綜上所述,在高考數學中利用數形結合思想解題往往可以起到簡化計算、提高解題效率的作用.因此,平時教學中教師應通過數形結合思想豐富的展現形式不斷對其進行滲透,促進學生數與形相互轉換的能力,刺激學生學習數學的欲望,引導學生投入到數形結合分析的專題探究中[2],從而達到數學抽象思維具象化、發散化的教學目的,最終達到提升學生核心素養和全面發展的教育目的.