反套路 重計(jì)算 孕思想
——2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)理科試題評(píng)析與反思

? 四川省溫江中學(xué) 王奮際 張 君 楊永清

2023年高考早已落下帷幕,筆者作為一線數(shù)學(xué)教師,結(jié)合自己和部分同行做全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)試題的感受,以及筆者的學(xué)生在考場(chǎng)上和考后的感受,對(duì)2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)理科試題進(jìn)行評(píng)析與反思.筆者所在學(xué)校的學(xué)生大致處于中等及中等偏上的水平,對(duì)試卷整體的感受有一定的代表性.

1 全面考查而重點(diǎn)突出

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)理科試題較2022年甲卷數(shù)學(xué)理科試題,難度有所增加,但總體保持平穩(wěn).試卷沒(méi)有偏題、怪題,注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度,與2022年甲卷(約1 600字)相比,2023年甲卷約1 300字,減少約19%.但題目簡(jiǎn)潔不等于試題簡(jiǎn)單,表面看平平無(wú)奇,內(nèi)里卻蘊(yùn)含深刻思想.

1.1 知識(shí)考查有重點(diǎn)

統(tǒng)觀全卷,全面考查高中數(shù)學(xué)知識(shí),分布合理,兼顧基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.某些板塊與其他板塊聯(lián)系廣泛,比如三角函數(shù)板塊,第7,10,11,12,13,16,21等近三分之一的題目都不同程度對(duì)其進(jìn)行了考查.

1.2 素養(yǎng)考查有側(cè)重

喻平教授指出:“邏輯推理、直觀想象是基礎(chǔ),數(shù)學(xué)運(yùn)算是媒介,數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析是應(yīng)用,其本質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象.”可見(jiàn),六大核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密,亦有側(cè)重.

令人印象最深刻的有兩點(diǎn):一是直觀想象素養(yǎng)的考查,以第11,18題為代表的立體幾何題目,讓學(xué)生暴露出不少問(wèn)題,學(xué)生不甚適應(yīng),考后普遍感覺(jué)難算、難想;二是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查貫穿全卷,學(xué)生普遍反映選填題運(yùn)算較花時(shí)間,個(gè)別學(xué)生甚至因?yàn)檫x填題用時(shí)過(guò)多,導(dǎo)致解答題時(shí)間不足.

1.3 難度設(shè)置反套路

全卷送分題不多,都需要一定的運(yùn)算與思維,但難度特別大的題目沒(méi)有.單獨(dú)看選擇題第12題、填空題第16題等傳統(tǒng)意義上的壓軸題,難度并不大;第1題開(kāi)始就體現(xiàn)了一定的抽象性,第10,11題難度適中,基本與第12題持平;學(xué)生原本認(rèn)為應(yīng)該容易“過(guò)關(guān)”的第18題難度陡升,對(duì)學(xué)生心理素質(zhì)和臨場(chǎng)決策能力是一個(gè)巨大的考驗(yàn).

1.4 情感態(tài)度價(jià)值觀

情境創(chuàng)設(shè)方面,全卷堅(jiān)持立德樹(shù)人,緊跟時(shí)代大潮.第6題以滑雪為背景,呼應(yīng)2022年北京冬奧會(huì)后的冰雪經(jīng)濟(jì);第9題以志愿者公益活動(dòng)為背景,引導(dǎo)服務(wù)社會(huì)的意識(shí);第19題以研究臭氧效應(yīng)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)為背景,引導(dǎo)環(huán)境保護(hù)的意識(shí).

全卷服務(wù)于優(yōu)秀創(chuàng)新人才的選拔.第10,11,21題都有一定的創(chuàng)新性,思維難度大,運(yùn)算量也大,要求學(xué)生兼具創(chuàng)新品質(zhì)與堅(jiān)強(qiáng)意志.

反思與啟示1:注重知識(shí)跨板塊、跨學(xué)科的遷移應(yīng)用.如,三角函數(shù)、平面向量等.事實(shí)上,人教A版高中數(shù)學(xué)(2019年)新教材不僅增加了很多實(shí)際應(yīng)用例子,還專門(mén)設(shè)置了數(shù)學(xué)探究欄目,比如在數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)中就有“用向量法研究三角形的性質(zhì)”探究欄目.

反思與啟示2:對(duì)學(xué)生臨場(chǎng)決策能力的訓(xùn)練很重要,如改變解答題出現(xiàn)順序、不同難度題目出現(xiàn)順序、難題對(duì)應(yīng)知識(shí)板塊等,讓學(xué)生對(duì)高考試卷的變化有心理準(zhǔn)備.

反思與啟示3:在平時(shí)教學(xué)中注重結(jié)合正能量、社會(huì)熱點(diǎn)情境,關(guān)注教材中有現(xiàn)實(shí)背景的例題教學(xué).如,一般科學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法、個(gè)人所得稅納稅方式等.

2 立體幾何中的反套路

本套試卷的立體幾何題成為學(xué)生答題過(guò)程中的攔路虎.普遍反映選擇題中第11題比第12題更難,解答題中第18題讓很多學(xué)生不知該用哪種方法,決策困難,影響全卷答題.

第18題:如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.

圖1

(1)證明:A1C=AC;

(2)已知AA1與BB1的距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

此題第(1)問(wèn)的難點(diǎn)在于條件“A1到平面BCC1B1的距離為1”,同時(shí)一條棱長(zhǎng)未知.對(duì)于線面距離的處理,切入點(diǎn)較多,但每個(gè)切入點(diǎn)又都有其難度,學(xué)生在選擇方法時(shí)容易陷入困難.

圖2

代數(shù)角度:以C為原點(diǎn),CA,CB,CA1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,但CA,CB的長(zhǎng)度未直接給出,需要先設(shè)未知數(shù),通過(guò)列方程組解得,部分考生在考場(chǎng)上難以準(zhǔn)確算出答案.

此題第(2)問(wèn)也可以從兩個(gè)角度分別思考.

本題的解答,綜合運(yùn)用幾何和代數(shù)兩種方法,可使解題過(guò)程得到最大的簡(jiǎn)化,充分體現(xiàn)立體幾何的考查要有幾何味,不能一味靠建立坐標(biāo)系來(lái)解答.

反思與啟示4:在教學(xué)中,采用單元整體教學(xué),幫助學(xué)生建立知識(shí)的整體架構(gòu)并體會(huì)研究問(wèn)題的一般觀念,正如章建躍博士談到的“研究對(duì)象在變,研究套路不變,思想方法不變”,讓學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用這些“不變”的思想方法.學(xué)生不能因?yàn)閷W(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系,就忽略研究幾何問(wèn)題的一般方法.

3 處處可見(jiàn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)的媒介,本套試卷重點(diǎn)進(jìn)行了考查,計(jì)算量較以往增加了不少,特別是選填題部分,給考生的時(shí)間分配提出了挑戰(zhàn).

(1)求p;

此題第(2)問(wèn)條件簡(jiǎn)潔,圖形簡(jiǎn)單,比較容易入手選擇面較廣,可以設(shè)直線MN的方程,也可以設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為不等式求最值問(wèn)題,還可以考慮用拋物線焦半徑公式或極坐標(biāo)解題,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題,但具體操作時(shí)又會(huì)遇到不同的情況.

圖3

反思與啟示5:新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)包括理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.因此,教學(xué)中除了訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算的速度、熟練度外,還要培養(yǎng)合理選擇運(yùn)算方法和程序的能力.比如,從幾何、代數(shù)、數(shù)形結(jié)合等不同角度思考問(wèn)題;利用函數(shù)、向量、不等式、三角函數(shù)等不同的數(shù)學(xué)工具完成計(jì)算.

4 關(guān)注數(shù)據(jù)分析的過(guò)程

本套試卷對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查,給出了列聯(lián)表的生成過(guò)程,統(tǒng)計(jì)味十足.

如,第19題,難度不大,展現(xiàn)了一個(gè)簡(jiǎn)單的科學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程,如何將連續(xù)數(shù)據(jù)(體重增加量)轉(zhuǎn)化為二元分類數(shù)據(jù)(是否小于中位數(shù)),再利用卡方檢驗(yàn)回答“小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量是否有差異”的問(wèn)題.“小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量是否有差異”是沒(méi)有固定答案的,如果改變數(shù)據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn),如用下四分位數(shù)、上四分位數(shù)等代替中位數(shù),可能得到不同的結(jié)果.

無(wú)獨(dú)有偶,2023年新高考Ⅱ卷19題也是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)的選定,題目告訴考生:沒(méi)有一個(gè)臨界值能夠做到不誤診、不漏診,只能盡量滿足少誤診、少漏診.

反思與啟示6:統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)科邏輯與其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容不一樣,推理方法上屬于不完全歸納,統(tǒng)計(jì)推斷有可能犯錯(cuò),結(jié)論具有不確定性,統(tǒng)計(jì)對(duì)結(jié)論的判斷標(biāo)準(zhǔn)有好與壞之分,而非對(duì)與錯(cuò).教學(xué)中讓學(xué)生準(zhǔn)確理解統(tǒng)計(jì)思想,有助于考場(chǎng)上迅速理解題意.

5 抓基礎(chǔ)促進(jìn)綜合能力

全卷落實(shí)“四翼”考查要求.以綜合性的考查為例,第10題則綜合了三角函數(shù)圖象與直線方程,第21題則綜合了導(dǎo)數(shù)、不等式和三角函數(shù).但筆者認(rèn)為,基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性與應(yīng)用性的考查并不獨(dú)立.

(1)當(dāng)a=8時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

此題第(2)問(wèn)是典型的恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題,學(xué)生從高一學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容開(kāi)始,就知道此類問(wèn)題可以含參討論或分離參數(shù),學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后還可以靈活選擇切線等更多方法,這些都是高中數(shù)學(xué)解題的“童子功”,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性.同時(shí),三角函數(shù)最具特點(diǎn)的性質(zhì)有周期性、有界性等,抓住特點(diǎn)解題就不難,這是需要學(xué)生建立的基本觀念.

反思與啟示7:本題的解答,切入點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)同類問(wèn)題的基本方法,利用三角函數(shù)的核心性質(zhì),解題時(shí)可以用到換元、數(shù)形結(jié)合、研究特殊點(diǎn)、放縮、洛必達(dá)法則等常用技巧.教學(xué)中,綜合性難題的突破應(yīng)該是建立在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能之上的.這也是新課程提出的,讓學(xué)生明確研究一個(gè)對(duì)象的基本套路,在一般觀念下研究數(shù)學(xué)對(duì)象.

綜上所述,2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)理科試題體現(xiàn)了新課程理念,為一線教師指明了教學(xué)方向,是一套精彩的好試卷.